Archimedealainen

Alun perin Archimedesin aksiooman lausunto on seuraava: "Kahden eriarvoisen suuruuden kohdalla on aina pienemmän kokonaislukukerta, suurempi kuin suurempi. "

Rakenne sanotaan olevan Arkhimedeen jos sen elementtejä tarkastaa verrattavissa omaisuutta.

Ryhmä

Ryhmä täysin järjestetty ( G , +, ≤) on mainitun Arkhimedeen  (fi) jos kaikki elementit ja b on G välillä 0 < < b , on olemassa luonnollinen luku n , niin että n > b .

Muodollisesti se on kirjoitettu:

∀klo,b∈G(0<klo<b⇒∃ei∈EIklo+klo+...+klo⏟n kertaa>b).{\ displaystyle \ kaikki a, b \ G \ quadissa (0 <a <b \ Rightarrow \ on olemassa n \ in \ mathbb {N} \ quad \ underbrace {a + a + \ ldots + a} _ {\ text { n kertaa}}> b).}

Hypoteesi a > 0 on välttämätön, mutta rajoitus b > a: lle on satunnainen: jos a > 0, niin kaikille b ≤ a , kokonaisluku n = 2 on sopiva.

Mikä tahansa täysin järjestetty Archimedean ryhmä uppoutuu ( ℝ , +, ≤) - etenkin se on abelilainen .

Rengas

Olkoon ( A , +, ×, ≤) täysin järjestetty rengas .

Sanomme, että ( A , +, ×, ≤) tyydyttää Archimedeksen aksioman tai on Archimedean, jos järjestetty ryhmä ( A , +, ≤) on Archimedean.

Runko

Olkoon ( K , +, ×, ≤) täysin järjestetty kenttä (täysin järjestetyn renkaan erityistapaus). Jako a: lla > 0 osoittaa, että se on Archimedean vain ja vain

∀x∈K,∃ei∈EI kuten ei>x{\ displaystyle \ forall x \ in K, \ n on olemassa \ \ \ mathbb {N} {\ text {esimerkiksi, että}} n> x}

toisin sanoen jos ℕ: tä ei lisätä . Tällainen kenttä on isomorfinen (järjestettynä kenttä) on osa kehon siitä, että reals .

Tarkemmin sanottuna voimme osoittaa, että seuraavat ominaisuudet ovat samanarvoisia:

1. K on arkhimedealainen.
2. Keho ℚ rationaalinen on tiheä K: ssa .
3. Sekvenssi (1 / n ) lähenee arvoon 0 ( järjestyksen topologiaa varten ).
4. Sekvenssi (1 / n ) lähentyy.
5. K on upotettu reaalilukujen kenttään ℝ, toisin sanoen on isomorfinen (järjestetty kenttä) field: n alikentälle.
6. Jos (A, B) on raja on K , sitten kaikki ε> 0, on olemassa elementti A, ja b osa B siten, että b - a <ε.
7. Kaikki lisääntyvät ja lisätyt sekvenssit ovat Cauchylta .

Todiste ominaisuuksien 1, 2, 3 ja 4 vastaavuudesta

1, 2: katso artikkelin Tiheä järjestys § ”Esimerkkejä” .

2 ⇒ 3: Jos ℚ on tiheä, kaikilla K: n ε> 0: lla on rationaalinen tarkasti 0: n ja ε: n välillä, joten kokonaisluvut q > 0 ja p ovat olemassa siten, että

∀ei≥q,e>sq≥1q≥1ei>0.{\ displaystyle \ forall n \ geq q, \ quad \ varepsilon> {\ frac {p} {q}} \ geq {\ frac {1} {q}} \ geq {\ frac {1} {n}}> 0.}

3 ⇒ 4 on ilmeinen.

4 ⇒ 1: K: ssa , jos (1 / n ) yhtyy

1ei(ei+1)=1ei-1ei+1→0+{\ displaystyle {\ frac {1} {n (n + 1)}} = {\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {n + 1}} \ - 0 ^ {+}}

siksi

ei(ei+1)→+∞,{\ displaystyle n (n + 1) \ - + \ infty,}

niin että ℕ ei kasva.

Huomautukset

Tämä aksioma esiintyy myös aksioomana IV, 1 "jatkuvuuden ryhmästä IV" Hilbertin vuonna 1899 ehdottamissa euklidisen geometrian aksioomeissa . Hilbert osoittaa esimerkiksi, että todiste kahden samansuuruisen ja saman korkeuden suuntaisen rinnakkaisen välillä on välttämättä Archimedeksen aksioma.

Hilbert osoittaa myös, että kentällä, jos emme oleta kommutatiivista kertolaskua, tämä tuotteen kommutatiivisuus seuraa väistämättä ruumiin Arkhimedean luonnetta. Osoittaa, että ab = ba , ajatuksena on ottaa mielivaltaisesti pieni osa d , ja käyttää Arkhimedeen merkki kehon liittää välillä nd ja ( n + 1) d ja sulkevat b välillä md ja ( m + 1) d , kahdelle kokonaisluvulle m ja n . Käytämme tätä rajausta johtaaksemme siitä mielivaltaisesti pienen ab - ba: n raja - arvon ja päätelläkseen, että tämä ero on nolla.

Kuten mikä tahansa Archimedeksen kenttä, reaalikenttä täyttää "multiplikatiivisen Arkhimedean ominaisuuden": minkä tahansa todellisen M: n ja minkä tahansa todellisen y > 1: n kohdalla on olemassa luonnollinen luku n, niin että y n ≥ M (tämä ominaisuus on esitetty artikkelissa "  Geometric sekvenssi  ").

Esimerkkejä

Esimerkki 1

(ℚ, +, ×, ≤) ja (ℝ, +, ×, ≤) ovat arkhimedeankappaleita. Sillä ℚ se on välitöntä; ℝ: lle tämä on osa aksiomeja tai johtuu niistä valitun aksiomaattisen mukaan: vrt. "  Reaalilukujen rakentaminen  ".

Esimerkki 2

Tässä on esimerkki muusta kuin Archimedean renkaasta. Tarkastellaan polynomien rengasta ℝ [ X ] yli ℝ. Sanomme, että R > 0 vain ja vain, jos R ei ole nolla ja sen hallitseva kerroin on positiivinen, ja että P ≤ Q jos ja vain jos P = Q tai Q - P > 0.

Tällöin (ℝ [ X ], +, ×, ≤) on täysin järjestetty rengas, mutta se ei ole Archimedean.

Kaikilla kokonaisluvuilla n on X > n . Tässä järjestetyssä renkaassa X on "äärettömän suuri".

Tämän järjestyksen kanoninen laajentaminen ℝ [ X ]: n murtolukukenttään on siis non ( X ): n koko arkkidealainen järjestys , jossa 1 / X on "  äärettömän pieni  ".

Esimerkki 3

Harkitse ryhmää, jolla on leksikografinen järjestys . Joten tämä ryhmä ei ole arkhimedealainen. Jokaiselle ehdottomasti positiiviselle kokonaisluvulle n meillä on: Z×Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ kertaa \ mathbb {Z}}

0 < n (0, 1) = (0, n ) <(1, 0).

Huomautuksia ja viitteitä

1. (in) Andrew W. Lasi , osittain järjestetty ryhmät , World Scientific ,1999( lue verkossa ) , s.  56, Hölderin lause .
2. Lasi 1999 , s.  55.
3. Katso esimerkiksi N. Bourbaki , Matematiikan elementit - Algebra VI - 7. Järjestetyt elimet ja ryhmät - §2- ex. 26 tai Saunders Mac Lane ja Garrett Birkhoff , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ], T1 - V - 5 Reaalilukujen kenttä - esim. 12. Huomautus artikkelissa Reaalilukujen rakentaminen selittää myös tämän.
4. (in) Holger Teismann , "  Kohti täydellisemmän Luettelo Axioms Täydellisyys  " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol.  120, n o  2helmikuu 2012( DOI  10.4169 / amer.math.kuukausittain 120.02.099 ).
5. Jean-Pierre Ramis , André Warusfel ym. , Matematiikka: All-in-one, että lisenssi - L1 , Dunod , Coll.  "Sup Sciences",2013, 2 nd  ed. ( 1 st  toim. 2006) ( lukea verkossa ) , s.  526, ehdotus 8.
6. (en) Serge Lang , Algebra , Addison-Wesley ,1974, 6 th  ed. , s.  272.
7. (in) PM Cohn , Basic Algebra: ryhmät, kunnat ja renkaat , Springer ,2004( lue verkossa ) , s.  274, th. 8.6.2.
8. A. Bouvier , M. George F. Le Lionnais , Sanakirja matematiikan , PUF ,1979, s.  57.
9. Se uppoutuu edellisen järjestyksen mukaiseen ℝ [ X ]: ään kartan ( p , q ) ↦ pX + q avulla .

Katso myös

Bibliografia

David Hilbert , Geometrian perustukset, Dunod, Pariisi 1971 tai Gabay, 1997

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Geometria muu kuin arkhimedealainen  (en)
• Corps ei määrännyt Archimedeasta  (en)
• Koko osa
• Virallinen sarja

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">