On matematiikka , joka on polynomi on osoitus muodostettu vain tuotteita ja summien vakioita ja indeterminates , yleensä huomattava X , Y , Z ... Nämä tavoitteet laajalti käytetty käytännössä, jos vain koska ne paikallisesti saatiin likimääräinen arvo on johdettavissa funktio (ks rajoitettu kehitys ) ja antavat sileiden muotojen edustamisen (katso artikkeli Bézier-käyrä , joka kuvaa tietyn polynomifunktion tapauksen )
Polynomi , on yleisesti algebran , jossa on määrittelemättömän yli yksikkö rengas on osoitus muodossa:
jossa X on symboli kutsutaan epämääräinen polynomin, oletetaan olevan eroaa kaikista osa rengas, kertoimet i ovat renkaassa, ja n on luonnollinen kokonaisluku .
Jos sovelletussa matematiikassa , analyysissä ja lineaarisessa algebrassa on yleistä sekoittaa polynomi polynomifunktioon, se ei ole sama yleisessä algebrassa. Tämä artikkeli käsittelee pääasiassa muodollista polynomia yhdellä määrittelemättömällä.
Polynomien historia on erottamaton algebran historiasta . Alun perin luotu ratkaisemaan yhtälöt, ne sekoitetaan polynomifunktioihin. Tutkimuksen syventyessä on tarpeen erottaa selkeämmin muodollinen polynomi polynomitoiminnosta . Tämä kehitys tapahtuu yhdessä yleisen algebran kehittämisen kanssa . Kertoimet jättävät sitten tavallisten numeroiden, kuten reaalilukujen tai kompleksien, toimialueen kuulumaan yhtenäisiin kommutatiivisiin renkaisiin tai mihin tahansa kommutatiiviseen elimeen . Muodollisten polynomien tutkimus avaa oven virallisten sarjojen tutkimukseen .
Polynomi f, jolla on määrittelemätön, määritellään muodon muodolliseksi ilmentymäksi
missä kertoimet a 0 , .., a n ovat renkaan A elementtejä , ja X on muodollinen symboli, jota kutsutaan polynomin määrittelemättömäksi.
Muodollisemmin voimme määritellä polynomin joukoksi elementtejä renkaasta, joka katoaa tietystä sijasta. Siten edeltävä kaava on välitön seuraus (turvautumalla klassisiin matemaattisiin merkintöihin, nimittäin Kronecker-merkintöihin). Tällöin polynomin kertoimet osuvat yhteen liittyvän sekvenssin elementtien kanssa.
Joukko polynomeja, joilla on määrittelemätön X kertoimilla renkaassa A , merkittynä A [ X ], voidaan muodostaa sarjasta sekvenssejä, joilla on rajallinen tuki (siis nolla tietystä luokasta, jota kutsutaan myös sekvensseiksi lähes nolliksi ) A: n alkuaineista. , joka tarjoaa sille rengasrakenteen . Tässä rakenteessa termi AX k edustaa jäljempänä, joka on nolla kaikkialla, paitsi että .
Asteen polynomin on määritelty, jos polynomi ei ole nolla (toisin sanoen, jos sen kertoimet eivät kaikki ole nolla), jonka se on suurin eksponentti x , jota ennen kerroin ei ole nolla. Merkitsemme yleensä polynomin astetta P , deg ( P ) tai d ° ( P ) . Sopimuksen mukaan nollapolynomin aste on yhtä suuri kuin −∞ .
Kaksi polynomia ovat yhtä suuret ja vain, jos niiden kertoimien jaksot ovat samat. Polynomit, joiden kertoimet ovat A: ssa, voidaan lisätä yksinkertaisesti lisäämällä vastaavat kertoimet ja kerrotaan käyttämällä kertolaskun jakautumista summauksen yli ja seuraavaa sääntöä:
aX j bX k = ab X j + k kaikille luonnollisille numeroille j ja k .Voimme varmistaa, että joukko kaikki polynomit kertoimet kehässä itse muodostaa renkaan, ja että kartan tähän rengas, joka lähettää on X 0 on injektio morfismi . Polynomien rengasta, jonka kertoimet ovat A: ssa, merkitään A [ X ] ja pidämme A : ta A [ X ]: n alirenkaana mainitulla morfismilla.
Jos on kommutatiivinen, sitten [ X ] on assosiatiivinen algebran on .
Voi tuottaa rengas [ X ] kohteesta lisäämällä uusi erä X on ja vaativat X kommutoi kaikkien osien joukon . Jotta saadusta joukosta tulisi rengas, kaikki X : n voimien lineaariset yhdistelmät on myös liitettävä joukkoon.
Milloin tahansa polynomin P ( X ) on [ X ], voidaan liittää polynomifunktio, yleinen määritelmä ja saapumista . Saamme arvo tämän funktion annetulle argumentti x korvaamalla kaikkialla symbolilla X on P ( X ), jonka X . Algebristit erottavat polynomin ja polynomifunktion, koska joillakin A- renkailla (esimerkiksi rajallisilla kentillä ) kahdella eri polynomilla voi olla sama liittyvä polynomifunktio. Näin ei ole todellisuuksien tai kompleksien kokonaisuudessa, joten "analyytikot" eivät erota kahta käsitettä.
Esimerkki : On äärellisen kentän ℤ / 2ℤ, polynomia X + X 2 on ei-nolla, mutta siihen liittyvä polynomifunktio on.
Morfismi arviointi : yleisemmin polynomin P ( X ), voidaan korvata symboli X tahansa elementti E kuuluvat assosiatiivinen algebran E on. Kartta, joka Jonkin polynomin P ( X ) on[ X ], liittää elementti P ( e ) ja E (määritelty edellä), kutsutaan arviointi morfismi on e ja[ X ] on E . Hyvin yleinen tapaus onon kenttä K ja E matriisialgebra n x n ja K , tai algebran endomorphism vektorin avaruuden yli K . Määritämme siis matriisien ja endomorfismienpolynomit:
Näin ollen minkä tahansa polynomin P ( X ), on tuntematon X , P ( u ) on " endomorphism polynomi " jokaiselle endomorphism u ja P ( M ) on "polynomimatriisi" matriisin jokaisessa M .
Vuonna kommutatiivinen algebra , ja tarkemmin sanottuna käytettäessä kiinteä rengas (aina vaihdannainen ja yhtenäisen määritelmän mukaan), erityistä huomiota kiinnitetään tutkimuksen jaettavuus välillä polynomit. Vahvempia tuloksia on, kun kertoimet otetaan kehosta.
Jos f ja g ovat polynomien [ X ], sanomme, että f jakaa g , jos on olemassa polynomi q on [ X ] siten, että FQ = g .
Voimme sitten todistaa, että "kukin juuri tuottaa lineaarisen tekijän" tai muodollisemmin, että: jos P on polynomi kohdassa A [ X ] ja a on A: n elementti siten, että P ( a ) = 0, niin polynomi X - jakaa P (päinvastainen on välitön). Osamäärä voidaan laskea Horner-menetelmällä .
Tietyt polynomit, joilla on erityisiä ominaisuuksia, erottuvat sitten:
Jos K on kommutatiivinen kenttä ja f ja g ovat polynomien K [ X ] kanssa g ≠ 0, niin on olemassa polynomi q ja r on K [ X ] kanssa: f = q g + r , ja siten, että aste r on tiukasti pienempi kuin g- aste . Polynomit q ja r määritetään yksiselitteisesti f: n ja g: n avulla . Tätä kutsutaan f : n g: n euklidiseksi jaoksi tai "jakautumiseksi pienenevien voimien mukaan" ja se osoittaa, että rengas K [ X ] on euklidinen rengas .
K [ X ] on siis euklidinen rengas (vain polynomien renkaat, joiden kentällä on kerroin, ovat euklidisia renkaita), ja tämä antaa sitten mahdollisuuden määritellä PPCM: n , GCD: n käsitteet toteuttamalla pgcd : n euklidisen algoritmin haku. Löydämme myös Bézoutin identiteetin polynomien välillä ensisijaisen keskenään: jos P ja Q ovat ensisijaisia niiden joukossa, on olemassa kaksi polynomia U ja V siten, että UP + VQ = 1.
Itive [ X ]: n primitiivinen polynomi A on pelkistämätön vain ja vain, jos sitä pidetään ℚ [ X ]: n polynomina , se on pelkistämätöntä in [ X ]: ssä. Lisäksi jos A = BC in [ X ]: ssä, ei ole nollarationaalista λ niin, että λ B ja λ -1 C ovat ℤ [ X ]: ssä.
Huomautus: jos yn [ X ] : n polynomit A , B , C vahvistavat A = BC ja jos A on yhtenäinen , niin B ja C ovat myös yhtenäisiä ( paitsi etumerkki).
Ne ovat kahta tyyppiä: A [ X ] -renkaan tai alkavan A- renkaan jatkeet .
Jos A on kiinteä rengas (siis kommutatiivinen ja yhtenäinen), se on sama sen polynomirenkaalle; voidaan siis rakentaa alalla fraktioiden of [ X ], jota kutsutaan alalla järkevä toimintoja kertoimilla ja toistaiseksi X .
Toinen rakenne johtaa laajennusten koko verkkotunnukseen .
Jos on olennainen rengas, ja jos P on erinomainen polynomi [ X ], voimme rakentaa kiinteä rengas P sisältää , jossa P on juuri . Kun on elin, P myös: repeämä alalla P .
Rakentaminen harkitsee ihanteellinen I tuottaman P . Se on alkuideaali on [ X ], ja jopa maksimaalinen ihanne , jos on kenttä. Osamäärä rengas [ X ] / I on näin ollen kiinteä rengas, ja jopa kenttä, jos on yksi.
Sitten upotamme A tähän renkaaseen A P injektoimalla morfismilla, joka yhdistää luokansa mihin tahansa elementtiin. Jos merkitään r luokan X sitten P ( r ) on luokka P . Koska P on ihanteellisessa I , sen luokka on nolla, joten P ( r ) = 0.
On mahdollista toistaa tämä prosessi, kunnes saadaan elin, joka sisältää kaikki juuret. Tätä kehoa kutsutaan hajoavaksi kappaleeksi .
Kenttä on algebrallisesti suljettu, kun repeämiskenttien etsiminen on turhaa, toisin sanoen kun kaikki polynomit jaetaan. Tämä pätee erityisesti ℂ.
On [ X ], jos P on polynomi määritellään polynomilla d P määritellään on nimeltään saadun polynomin P (erityisesti, d 0 = 0 ).
Soveltamista [ X ] on [ X ] on moduuli morfismi (ja siten ryhmät ), tarkastaminen lisää ( PQ ) = P d Q + Q d P . Sellaisena se on ohitussovellus .
Johdetun polynomin tärkeä ominaisuus on se, että juuri on moninkertainen vain ja vain, jos se on myös johdetun polynomin juuri. (Katso esittely ja tarkemmat lausunnot polynomin juuren artikkelin §: stä "Juuren moninkertaisuuden erotusperuste" .)
Jos K on kommutatiivinen kenttä, renkaalla K [ X ] on kaksi jakoa. Ensimmäinen on euklidinen ja antaa polynomien joukolle euklidisen rengasrakenteen, joka mahdollistaa polynomien aritmeettisen kehityksen, joka on hieman samanlainen kuin kokonaislukujen. Tämä aritmeikka on tärkeä polynomien tekijöille . Toinen sanotaan kasvavien voimien mukaan . Se on hyödyllinen löydettäessä hajoaminen rationaalisen jakeen tai rajoitetun laajenemisen yksinkertaisiksi elementeiksi .
Näiden polynomien tapaus mainitaan vain tässä, koska rengasta A [ X , Y ] voidaan yksinkertaisesti pitää muuttujan Y polynomien renkaana, jonka kertoimet ovat kohdassa A [ X ].
Polynomin aste on silloin suurin arvo, joka saadaan ottamalla kunkin määrittelemättömän eksponenttien summa kussakin monomiaalissa.
on asteen 4 polynomi, jossa on kolme määrittelemätöntä.
Keskuudessa polynomit n määrittelemätön, tutkimus symmetrinen polynomien ja niiden ryhmän permutaatiota on tärkeä alue algebran.
Näiden polynomien sanotaan myös olevan monimuuttujia , toisin kuin yksimuuttujaiset polynomit , yhdellä muuttujalla.
On myös mahdollista tuoda muuttujan negatiiviset voimat ja siten saada ns . Laurent- rengas A [ X , X −1 ] . Onko ryhmä algebran ℤ rengas .