On matematiikka , joka on osamäärä rengas on rengas, että yksi konstrukteista on osamäärä joukko rengas jokin sen kahdenvälistä ihanteita .
Olkoon olla rengas . Lisäyksen ja moninkertaistaminen ovat yhteensopivia kanssa ekvivalenssirelaatio päälle jos (ja vain jos) tämä on muotoa: x ~ y ⇔ x - y ∈ I , käytettiin noin kaksi pyrstö ihanne I of .
Voimme antaa osamäärä asetettu / I kanssa lisäämällä ja kertomalla osamäärät kuin :
.Tämä tarjoaa / I kanssa rengasrakenteen, kutsutaan osamäärä rengas mukaan I (sen lisäaine ryhmä on osamäärä ryhmä on ( , +), jonka I ).
Kanoninen kartta π : → / I on tällöin rengas Homomorfismi , on ydin minä .
Z / n Z- renkaan käyttö lukuteoriassa havainnollistaa osarenkaiden käyttöönoton tehokkuutta. Siten Diophantine yhtälö ax + by = 1 , joita voidaan hoitaa menetelmillä aritmeettinen melko perus, voidaan myös tulkita merkki käänteistä renkaassa osamäärä Z / b Z . Tämän kannalta on olemassa ratkaisuja, jos ja vain jos luokan on käännettävissä elementti osamäärän rengas, ts jos ja vain jos prime kanssa b . Mahdolliset x: n arvot ovat sitten kokonaislukuja, jotka projisoidaan Z / b Z : ssä tähän a- luokan käänteiseen .
Osamäärien Z / p Z tapaus, jossa p on prime, on erityisen hedelmällinen. Rengas Z / p Z on silloin kommutatiivinen kenttä, ja me hyötymme tämän rakenteen rikkaudesta. Fermat'n pieni lause tai Wilsonin lauseen kaksi esimerkkiä alkeis aritmeettinen jotka voivat hyötyä tällaisesta hoidosta.
Jatkeessa tätä ajatusta, on kommutatiivinen algebra , osamäärä renkaaseen maksimaalinen ihanne on järjestelmällisesti kommutatiivinen kenttä, jota kutsutaan jäljelle jäävään . Kuten edellisissä esimerkeissä, sen käyttö voi palauttaa tietoa renkaasta, joka on jaettu; se voi olla myös päämäärä sinänsä, koska se tarjoaa tehokkaan menetelmän uusien kommutatiivisten kenttien rakentamiseksi. Edellisissä esimerkeissä, mainitsimme rakentamisen alalla C ja kompleksilukujen tällä tekniikalla; se on tietyssä tapauksessa rakentamisen murtuma rungon jaoton polynomi , jossa kertoimet kommutatiivinen alalla. Tämä prosessi mahdollistaa myös kaikkien rajallisten kenttien rakentamisen .
Kaikki kommutatiivinen rengas on osamäärä rengas polynomien , että ihanteellinen syntyy kaikki elementit muodossa tai . Tämän huomautuksen avulla voidaan todistaa mikä tahansa kommutatiivisen algebran yleismaailmallinen lausunto tyydyttäväksi osoittamalla se kokonaislukukertoimisten polynomien renkaille (tämän idean jatke, katso esimerkiksi yleinen todiste Cayleyn lauseesta - Hamilton ).
Sormusten osuudet, jotka eivät välttämättä ole maksimaalisia ihanteita, ovat läsnä kaikkialla algebrallisessa geometriassa . Ensimmäinen esimerkki on säännöllisten funktioiden rengas affiinisen algebrallisen joukon yli .
Seuraava lause tai hyvin läheiset variantit luonnehtivat osamäärää:
Olkoon minun olla kaksi- puolinen ihanne rengas ; merkitsemme π: n A : n kanonista projektiota A / I: lle . Muuten morfismi renkaiden of renkaaseen B nolla I . Silloin on yksi ja vain yksi morfismi päässä A / I ja B , joiden .
Tätä universaalia ominaisuutta voidaan käyttää myös vaihtoehtoisena määritelmänä " I ": n A : n osamäärälle, ja ymmärretään, että sen olemassaolo todistetaan sitten ottamalla huomioon rakentaminen yllä määriteltyyn osamäärään ja että l ainutlaatuisuus isomorfismi näkyy muutamassa rivissä.
Soveltamalla sitä ytimeen päätellään seuraava lause:
Anna φ morfismi renkaita renkaan renkaaseen B nolla I . On ainutlaatuinen isomorphism renkaiden välillä / Ker φ ja Im φ joka kytkee kaavio alla:
Johdamme välittömästi " isomorfismin ensimmäisen lauseen ":
Anna φ morfismi renkaita , joiden rengas on huomataan . Joten:
.Siten kuva, jolla on morfismi A- alkurengas, on aina isomorfinen A: n osamäärälle .
Osamäärä rengas osamäärän rengas rengas voidaan tulkita suoraan osamääränä .
Tarkemmin sanottuna anna BE renkaan ja minä olla kaksi- kaulalliseen ihanne of ; merkitsemme π: n A : n kanonista projektiota A / I: lle . Järjestetyn joukon (sisällyttämällä) kahden- ihanteiden A / I on järjestyksessä-arvossa bijektio kanssa kahdenvälisten ihanteiden sisältää I , juuri:
Hakemus on bijektio välillä joukko kaksipuolinen ihanteita sisältää I ja kaikki puolinen ihanteet A / I .
Kun tiedämme, että A / I: n kaksipuoliset ihanteet ovat muotoa J / I, voimme olla tarkempia ja selvittää osamäärän rakenteen, tulos tunnetaan nimellä " kolmas isomorfismilause ":
Olkoon A rengas, minä kaksipuolinen idea A: sta ja J kaksipuolinen ihanteesta A: sta, joka sisältää I: n . Sitten J / I on A / I: n kaksisuuntainen ihanne , ja siellä on isomorfismi:
.Samoilla merkinnöillä kuin edellisessä osiossa, osarenkaan A / I alirenkaat vastaavat A: n alirenkaita, jotka sisältävät I: n täsmälleen ihanteiden tapaan. Tarkasti:
Sovellus on bijection kaikkien I: tä sisältävien alirenkaiden A ja kaikkien A / I: n alirenkaiden välillä .
Tässä osiossa alamme päinvastoin rengas ja alirengas B on , ja yksi on kiinnostunut renkaat osamäärät ja B . Se ei ole niin yksinkertaista kuin edellisessä tilanteessa: renkaiden osamääriä A ei yleensä ole, jotka voidaan laittaa bijektioon kaikkien osarenkaiden B joukon kanssa .
Siellä on vielä jotain sanottavaa, jos emme jaa minkään B: n kaksipuolisen ihanteen osamäärää , vaan muodon B ∩ I kaksipuolisen ihanteen kanssa , jossa I on A: n ideaali . Toinen isomorphism teoreema sitten tarjoaa vaihtoehtoisen kuvauksen osamäärä rengas B / B ∩ I ;
Tai rengas, B rengas osa- ja I kaksipuolisen ihanne . Sitten B + I on A: n alirengas ja B ∩ I on B: n ihanne , ja siellä on isomorfismi:
.Olkoon BE kommutatiivinen rengas :