Bézier-käyrä

Bezier käyrät ovat käyrät polynomi parametrinen suunnittelu kehitetty ruumiinosien autoja . Ne suunnitteli Paul de Casteljau vuonna 1959 Citroënille ja itsenäisesti Pierre Bézier vuonna 1962 Renaultille (Paul de Casteljaun työ oli luottamuksellista, Bézierin nimi on siirtynyt jälkipolville). Heillä on monia sovelluksia kuvasynteesissä ja fonttien renderoinnissa . He synnyttivät monia muita matemaattisia esineitä .

Ennen Bézieriä oli säätökäyriä, joita kutsuttiin uriksi , mutta vikana oli muuttaa niiden ulkonäköä koordinaattien kierron aikana, mikä teki niistä käyttökelvottomia CAD: ssä . Bézier lähtötaso oli geometrinen lähestymistapa perustuu lineaarisuuteen on euklidinen avaruus ja jo olemassa teoria massakeskipisteen  : jos määritelmä on puhtaasti geometrinen, ei referenssipiste ensimmäisten toimenpiteiden rakentamisen jälkeen on riippumaton siitä, mikä ei ollut ei päde rihlat ( urat mukainen bézier periaatteiden myöhemmin kutsutaan B-urat ).

Yleinen teoria

Bezier käyrä n + 1 kohdat ( P 0 , ..., P n ) , on pisteiden joukko määritelty parametriesityksen , ja t ∈ [0; 1] ja jossa BP(t)=∑i=0eiBiei(t)⋅Pi{\ displaystyle P (t) = \ summa _ {i = 0} ^ {n} B_ {i} ^ {n} (t) \ cdot \ mathbf {P} _ {i}}n
iovat Bernsteinin polynomit .

Pisteiden P 0 , ..., P n sekvenssi muodostaa “  Bézier- ohjauspolygonin ”.

Esimerkkejä

• Kun n = 2, Bernsteinin polynomi on

12=(1-t+t)2=((1-t)+t)2=(1-t)2+2(1-t)t+t2{\ displaystyle 1 ^ {2} = (1-t + t) ^ {2} = ((1-t) + t) ^ {2} = (1-t) ^ {2} +2 (1-t ) t + t ^ {2}}

Sitten lisätään n +1 ohjauspistettä polynomin jokaiselle kertoimelle:

P(t)=(1-t)2P0+2(1-t)tP1+t2P2{\ displaystyle P (t) = (1-t) ^ {2} \ mathbf {P} _ {0} +2 (1-t) t \ mathbf {P} _ {1} + t ^ {2} \ mathbf {P} _ {2}}

jossa t ∈ [0; 1] . Siksi se on 2-asteen Bézier-käyrä.

• Kun n = 3, meillä on:

13=(1-t+t)3=((1-t)+t)3=(1-t)3+3(1-t)2t+3(1-t)t2+t3{\ displaystyle 1 ^ {3} = (1-t + t) ^ {3} = ((1-t) + t) ^ {3} = (1-t) ^ {3} +3 (1-t ) ^ {2} t + 3 (1-t) t ^ {2} + t ^ {3}}

Sitten lisätään n +1 kontrollipistettä kullekin polynomin kertoimelle ja saadaan,

P(t)=(1-t)3P0+3(1-t)2tP1+3(1-t)t2P2+t3P3{\ displaystyle P (t) = (1-t) ^ {3} \ mathbf {P} _ {0} +3 (1-t) ^ {2} t \ mathbf {P} _ {1} +3 ( 1-t) t ^ {2} \ mathbf {P} _ {2} + t ^ {3} \ mathbf {P} _ {3}}

jossa t ∈ [0; 1] . Siksi se on 3-asteen Bézier-käyrä.

Merkintä Koska Bernsteinin polynomit muodostavat osuuden yhtenäisyydestä, meillä on . Kerrointen summa ei siis ole nolla kaikille t: lle , joten käyrän kaikki pisteet P ( t ) on määritelty oikein.∑i=0eiBiei(t)=1{\ displaystyle \ summa _ {i = 0} ^ {n} B_ {i} ^ {n} (t) = 1}

Ominaisuudet

• Käyrä on ohjauspisteiden kuperan kirjekuoren sisällä .
• Käyrä alkaa pisteen P 0 ja päät pisteen P n , mutta ei ennalta syötön kautta muut kohdat, jotka kuitenkin, määrätä yleinen muoto käyrän.
• P0P1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}}on käyrän tangenttivektori P 0: ssa ja kohdassa P n .Pei-1Pei→{\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {n-1} P_ {n}}}}
• Bézier-käyrä on äärettömän erilainen (luokan ).VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
• Bézier-käyrä on segmentti vain ja vain, jos ohjauspisteet ovat linjassa.
• Jokainen Bézier-käyrän rajoitus on myös Bézier-käyrä.
• Ympyrän kaaren ei voida kuvata Bézier käyrä, riippumatta sen aste.
• Bézier-käyrä, jonka järjestys on 2, on fragmentti parabolista, jos sitä määrittävät pisteet eivät ole kohdakkain.
• Käyrän hallinta on globaali: ohjauspisteen muokkaaminen muuttaa koko käyrää eikä kontrollipisteen naapurustoa.
• Suorittaa affiinimuunnos käyrän, se riittää suorittamaan muunnoksen kaikki kohdat.

Kuutiomaiset Bézier-käyrät

Neljä pistettä P 0 , P 1 , P 2 ja P 3 määrittävät kuutioisen Bézier-käyrän. Käyrä piirretään pisteestä P 0 alkaen kohti P 1 ja kohti P 3 suuntaan P 2- P 3 . Yleisesti, käyrä ei kulje joko P 1 tai P 2  : nämä pisteet vain antaa suuntaa tiedot. P 0: n ja P 1: n välinen etäisyys määrää liikkumisnopeuden P 1 : n suunnassa ennen kääntymistä suuntaan P 3 .

Edellä esitetystä käyrän parametrinen muoto kirjoitetaan kontrollipisteiden affiinisena yhdistelmänä

P(t)=P0(1-t)3+3P1t(1-t)2+3P2t2(1-t)+P3t3{\ displaystyle \ mathbf {P} (t) = \ mathbf {P} _ {0} (1-t) ^ {3} +3 \ mathbf {P} _ {1} t (1-t) ^ {2 } +3 \ mathbf {P} _ {2} t ^ {2} (1-t) + \ mathbf {P} _ {3} t ^ {3}}

kun 0 ≤ t ≤ 1 .
Voimme selvästi nähdä tässä Bernsteinin polynomien yksikön osio-ominaisuuden: Newtonin järjestysluokan 3 binomikaavan mukaan

(1-t)3+3t(1-t)2+3t2(1-t)+t3=[t+(1-t)]3=13=1{\ displaystyle (1-t) ^ {3} + 3t (1-t) ^ {2} + 3t ^ {2} (1-t) + t ^ {3} = [t + (1-t)] ^ {3} = 1 ^ {3} = 1}

Ohjauspisteisiin liittyvien kertoimien summa on 1.

Bézier-käyrät ovat mielenkiintoisia kuvankäsittelyssä kahdesta syystä:

• Pisteet voidaan laskea nopeasti rekursiivisella menettelyllä, joka käyttää jakamista kahdella ja perustoimintoja ohittaen kaikki liukulukuisen reaaliluvun aritmeettiset operaatiot.

(AT′B′VS′D.′)=(1000121200142414018383818)⋅(ATBVSD.){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A '\\ B' \\ C '\\ D' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ yli 2 } Ja {1 \ yli 2} & 0 & 0 \\ {1 \ yli 4} ja {2 \ yli 4} ja {1 \ yli 4} & 0 \\ {1 \ yli 8} ja {3 \ yli 8 } Ja {3 \ yli 8} ja {1 \ yli 8} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} A \\ B \\ C \\ D \ end {pmatrix}}}

Tai vastaava

D.←(VS+D.)/2{\ displaystyle D \ vasen nuoli (C + D) / 2}, VS←(B+VS)/2, D.←(VS+D.)/2{\ displaystyle C \ vasen nuoli (B + C) / 2, \ D \ vasen nuoli (C + D) / 2}, B′: =B←(AT+B)/2, VS′: =VS←(B+VS)/2, D.′: =D.←(VS+D.)/2{\ displaystyle B ': = B \ vasen nuoli (A + B) / 2, \ C': = C \ vasen nuoli (B + C) / 2, \ D ': = D \ vasen nuoli (C + D) / 2}

Huomio  : toisin kuin matematiikassa, tässä ovat pisteet (tarkemmin vektorit) eivätkä vektorin komponentit . Lisäksi toisessa formulaatiossa ilmoitetut toiminnot on suoritettava järjestyksessä, ylhäältä alas, vasemmalta oikealle ja toistamalla toiminnot, vaikka ne esiintyisivät useita kertoja identtisesti, tämä edellisten tietojen uusien arvojen kanssa toimintaa. (matemaattisesti, tämä on kuin hajottaa 4 x 4 matriisi kuin tuote 6 4 x 4 matriiseja , joissa kaksi 1: n , kaksi ½: n, ja 0: n kaikkialla muualla). AT,B,VS,D.,AT′,B′,VS′,D.′{\ displaystyle A, B, C, D, A ', B', C ', D'}

Tarkemmin, voidaan hajottaa käyrän P ( t ) otetaan kaksi käyrää P L ja P- R joiden kohdat ovat vastaavasti ( L 1 , L 2 , L 3 , L 4 ) ja ( R 1 , R 2 , R 3 , R 4 ) painikkeella

(L1′L2′L3′L4′)=(1000121200142414018383818)⋅(ATBVSD.){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L_ {1} '\\ L_ {2}' \\ L_ {3} '\\ L_ {4}' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 ja 0 & 0 \ \ {1 \ yli 2} ja {1 \ yli 2} & 0 & 0 \\ {1 \ yli 4} ja {2 \ yli 4} ja {1 \ yli 4} ja 0 \\ {1 \ yli 8} ja {3 \ yli 8} & {3 \ yli 8} & {1 \ yli 8} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} A \\ B \\ C \\ D \ end {pmatrix}}} ja (R1′R2′R3′R4′)=(1838381801424140012120001)⋅(ATBVSD.){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} R_ {1} '\\ R_ {2}' \\ R_ {3} '\\ R_ {4}' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {1 \ yli 8} ja {3 \ yli 8} ja {3 \ yli 8} ja {1 \ yli 8} \\ 0 ja {1 \ yli 4} ja {2 \ yli 4} ja {1 \ yli 4} \ \ 0 & 0 & {1 \ yli 2} & {1 \ yli 2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} A \\ B \\ C \\ D \ end {pmatrix}}}

Tämän rekursiivinen kutsu käyrä P ( t ) , koska bézier-käyrä kulkee ensimmäisen ja viimeisen ohjauspiste, asema päiden kunkin palan ( L 1 , L 4 = R 1 ja R 4 ) on tiedossa. Kun tällainen juoni toteutetaan kriteeri pysäyttämiseksi toistumisen voidaan liittää välisen etäisyyden osa-käyrä piirretään ja segmentin [ L 1 , L 4 ] esimerkiksi.

Huomaa  : Kelluvan reaaliluvun aritmeettinen käyttö on saatavana suoraan nykyaikaisissa prosessoreissa, ja siitä on tullut paljon nopeampi kuin rekursioon tarvittava muistin allokointi . Lisäksi menetelmä, joka tarjoaa piirrettävän käyrän pikselit siirtymättä vaihe vaiheelta, ei salli antialiasointia . Rekursio ei siis enää ole oikea tapa piirtää Bézier-käyriä; edullisesti käytetään menetelmää, joka kulkee pikselien läpi askel askeleelta ja laskee jokaisessa vaiheessa "tangenttivirheen", jota voidaan käyttää antialiasointiin .

Bézier-käyrän pisteen laskeminen voidaan suorittaa myös Horner-menetelmällä laskemalla ensin polynomin vektorikertoimet a i :

kloi=(mi)∑j=0i(-1)i-j(ij)Pjvarteni=0 ...m{\ displaystyle \ mathbf {a_ {i}} = {\ begin {pmatrix} m \\ i \ end {pmatrix}} \ summa _ {j = 0} ^ {i} (- 1) ^ {ij} {\ alku {pmatrix} i \\ j \ end {pmatrix}} \ mathbf {P_ {j}} \ qquad {\ mbox {for}} \ qquad i = 0 ... m}

Esimerkkejä

Lineaarinen Bézier-käyrä (asteen 1) Ohjauspisteet P 0 ja P 1 määrittävät yhtälön antaman Bézier-käyrän: B(t)=P0(1-t)+P1t , t∈[0,1].{\ displaystyle \ mathbf {B} (t) = \ mathbf {P} _ {0} (1-t) + \ mathbf {P} _ {1} t {\ mbox {,}} t \ sisään [0, 1].} Siksi se on segmentti [P0, P1]. Neliöllinen Bézier-käyrä (asteen 2) Neliöllinen Bézier-käyrä on käyrä B ( t ), jonka ohjauspisteet P 0 , P 1 ja P 2 määrittelevät . B(t)=P0(1-t)2+2P1t(1-t)+P2t2 , t∈[0,1].{\ displaystyle \ mathbf {B} (t) = \ mathbf {P} _ {0} (1-t) ^ {2} +2 \ mathbf {P} _ {1} t (1-t) + \ mathbf {P} _ {2} t ^ {2} {\ mbox {,}} t \ sisään [0,1].} Näitä toisen asteen käyriä käytetään edelleen laajalti nykyään (esimerkiksi TrueType- muotoisten kirjasinten glyph-määritelmissä ja OpenType- kirjasimissa TrueType-yhteensopivassa lajikkeessa). Jos ne kuitenkin mahdollistavat kahden yhdistetyn käyrän tangentiaalisen jatkuvuuden varmistamisen, ne eivät (yleensä) mahdollista säilyttää kaarevuuden jatkuvuutta yhteenliitäntäpisteissä. Tämän haittapuolen voittamiseksi on sitten tarpeen lisätä toisiinsa liitettyjen kaarien määrää, jotta voidaan vähentää kunkin kaarevuuskatkoja, mikä rajoittaa niiden arvoa ja voi johtaa monimutkaisempaan käyrien suunnitteluun (enemmän pisteitä ja ohjausta) osoittaa asentoon). Cubic Bézier -käyrä (asteen 3) Kuutiokokoinen Bézier-käyrä on käyrä B ( t ), jonka määrittävät ohjauspisteet P 0 , P 1 , P 2 ja P 3 . Sen parametrinen muoto on: B(t)=P0(1-t)3+3P1t(1-t)2+3P2t2(1-t)+P3t3 , t∈[0,1].{\ displaystyle \ mathbf {B} (t) = \ mathbf {P} _ {0} (1-t) ^ {3} +3 \ mathbf {P} _ {1} t (1-t) ^ {2 } +3 \ mathbf {P} _ {2} t ^ {2} (1-t) + \ mathbf {P} _ {3} t ^ {3} {\ mbox {,}} t \ sisään [0, 1].} Nämä ovat Bézier-käyrät, joita käytetään eniten graafisessa suunnittelussa (koska ne mahdollistavat paitsi yhdistettyjen käyrien tangentiaalisuuden jatkuvuuden myös niiden kaarevuuden välttämisen välttämättä monien pisteiden ja pisteiden sijoittamista. Ohjaus). Niitä käytetään esimerkiksi PostScript- kielellä ja "type 1" -kirjasinten kuvioiden määrittelyssä sekä OpenType-kirjasimissa niiden CFF-lajikkeessa ( Compact Font Format ), joka käyttää samoja kärkien ja ohjauspisteiden määritelmiä.

• Kuutiokokoinen Bézier-käyrä, joka arvioi ympyrän kaaren Bézier-käyrän piirtämiseksi, joka on likimääräinen ympyrän, jonka säde on r , 90 ° kaaren, on oltava 4 pistettä, jotka on määritelty 2 segmentillä, jotka ovat kohtisuorassa X- ja Y-akseleille, jotka kulkevat ympyrän keskipisteen läpi. Pituus kunkin segmentin on oltava rk kanssa (ks Composite bézier käyrä (fi) ).k: =4(2-1)3≈0,5522847498{\ displaystyle k: = {\ frac {4 \ vasen ({\ sqrt {2}} - 1 \ oikea)} {3}} \ noin 0 {,} 5522847498} 

Bézier-käyrä, jonka aste on suurempi kuin 3 Niitä käytetään harvoin. Mieluummin pelkistämme itsemme yhdistettyjen kuutiokäyrien käyttöön kaarevuuden jatkuvuuden edun säilyttämiseksi. Tätä varten on välttämätöntä ja riittävää, että käyrän viimeinen piste on ensimmäinen toinen. Näin saadaan jatkuva käyrä. Esimerkiksi käyrän määritellään pisteiden , B , C , D , E , F ja G , käytämme kuutiometriä määrittämät käyrät , B , C , ja D , ja D , E , F , ja G ja jatkuvuus on siten taattu. Olla käyrä C 1 on D , me tarvitse [ C , D ] = [ D , E ], ja jos lisäksi halutaan, että se on C 2 on D , sitten [ B , D ] = [ D , F ], ja sama peräkkäisille johdannaisille. Kuitenkin, tämä muutos menettää jatkuvuus C 3 on D (ja ainoa tapa ratkaista tämä on lisätä ylimääräisiä tarkistuspisteen (lisäämiseksi määrää kuutiometriä kaaria saada parempi approksimaatio ja ainakin varmistaa jatkuvuus C 3 on alkupisteet, mutta ei lisättyjen kontrollipisteiden ympärillä). Yli 4-asteen Bézier-käyrien kiinnostus on kuitenkin nykyään rajallisempaa johtuen edistyksestä ja epätasaisten B-urien tuen integroinnista nykyaikaisiin grafiikkakirjastoihin ja erityisesti NURBS : iin rationaalisiin kertoimiin, jotka vastaavat yhtenäiset B-urat (mutta kun kokonaispainot etenevät, eivät välttämättä ole aritmeettisia, kuten Bézier-käyrien tapauksessa), nämä B-urat lasketaan kuitenkin ensin projisointitilassa, jonka koordinaatit ovat homogeeniset , ja jotka mahdollistavat kaikkien etujen säilyttämisen 3 - asteen tai sitä korkeamman B-uran , mukaan lukien kartiomaiset (epälineaariset) käyrät, joita on mahdotonta esittää tarkalleen Bézier-käyrien kanssa muutoin kuin suurella määrällä pisteitä ja ohjauspisteitä.

Sovellukset

Kuvien synteesi

• Bézier-käyrät ovat vektorinpiirustuksen perustyökalu, joka perustuu esineiden matemaattiseen transkriptioon. Skaalattava vektorigrafiikka (SVG) -muodon avulla voit piirtää neliö- ja kuutio-Bézier-käyriä. Kuutiomaisia ​​Bézier-käyriä käyttää myös seuraava vektoripiirto-ohjelmisto:
  • Vapaiden ohjelmien JPicEdt on keino luoda ja muokata ketjut Bézier käyrät järjestyksen 3.
  • Inkscape- ohjelmistossa .

• Eniten käytetyt kuutioiset Bézier-käyrät löytyvät grafiikoista ja useista kuvasynteesijärjestelmistä, kuten PostScript , Metafont ja GIMP , piirtämään pisteitä tai Bézier-polygoneja yhdistäviä "sileitä" käyriä.

• Bézier-käyrät näkyvät HTML5-yhteensopivissa selaimissa kangaselementissä.
• Bézier-käyrät näkyvät myös 3D-renderointiohjelmistoissa, kuten Blender .

• Vuonna matriisi piirustuksessa ohjelmisto , Paint , on mahdollista luoda Bézier käyrät ”Käyrä” työkalu. Tämä tehdään piirtämällä viiva P 0: sta P 3: een ja napsauttamalla sitten peräkkäin P 1: n ja P 2 : n kohdissa .

Animaatio

• Joitakin kuutioisia Bézier-käyriä voidaan käyttää CSS3-animaation tai siirtymän määrittelemiseen ajan myötä. Käyrän päät on määritelty ennalta kohdissa (0; 0) ja (1; 1), ja kahden jäljellä olevan kontrollipisteen paiseiden on oltava välillä 0-1.

Fonttien hahmonnukset

• Tekstit määritellään myös Bézier-käyrien avulla DTP- toimintojen , kuten monimutkaisen asettelun , tekstilohkojen hallinnan, nahkojen, puitteissa .
• TrueType- fontit käyttävät Bezier-käyriä yksinkertaisemmin.

Musiikillinen kaiverrus

• Musiikkikaiverruksessa legato-linjat ovat perinteisesti edustettuina kuutiomaisilla Bézier-käyrillä. Tämän menetelmän avulla voidaan toistaa sekä klassiset käyrät että harvinaiset käyrät pisteillä.

Rationaalinen Bézier-käyrä

Kuvaamaan käyrät kuten piireissä hyvin tarkasti (vaikkakin käytännössä arvioiden mukaan Bézier käyrät ovat riittävät), lisävapausasteita tarvitaan.

Ajatuksena on lisätä painoja kontrollipisteisiin (nämä ovat ). Nimittäjä on vain normalisoimaan lisäpainojen summa siten, että käyrä määritellään ohjauspisteiden kuperaksi yhdistelmäksi . ωi{\ displaystyle \ omega _ {i}}

Rationaalinen Bézier-käyrä on seuraava yleinen muoto:

B(t)=∑i=0eiBiei(t)ωiPi∑i=0eiBiei(t)ωi{\ displaystyle \ mathbf {B} (t) = {\ dfrac {\ displaystyle \ summa _ {i = 0} ^ {n} B_ {i} ^ {n} (t) \ omega _ {i} \ mathbf { P} _ {i}} {\ displaystyle \ summa _ {i = 0} ^ {n} B_ {i} ^ {n} (t) \ omega _ {i}}}}

Bibliografia

• Käyrät ja pinnat , Pierre Bézier, Hermès, 1986
• Bézier-mallit, B-urat ja NURBS , G Demengel, JP Pouget, Éditions Ellipses (koulutusmenetelmä näiden mallien mustan laatikon paljastamiseksi CAD: ssä käyrien ja pintojen mallintamiseen.)
• Yannis Haralambousin kirjan liite G , Fontit ja koodaukset: Kuvioita ja hahmoja digitaaliaikana , O'Reilly ,2004, 990  Sivumäärä ( ISBN  978-2-84177-273-5 )fontti: Ohjelma , Addison-Wesley 1986, s. 123-131. Erinomainen keskustelu toteutuksen yksityiskohdista; saatavana ilmaiseksi osana TeX-jakelua.

Huomautuksia ja viitteitä

1. (sisään) "Käyräkomennot" SVG 1.1 (toinen painos) - 16. elokuuta 2011 ( epävirallinen ranskankielinen käännös )

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Spline ja B-spline , muut parametriset käyrät. NURBS ovat yleistys.
• Bézier-pinta , yleistys pinnoille (tämä on hyödyllisin muoto CAD: ssä ).
• De Casteljau -algoritmi , jota käytetään Bézier-käyrien näyttämiseen.
• Unisurf

Ulkoiset linkit

• Bézier-käyrät ja pinnat toteutuksella Nonifier.ovh.org-sivustolla
• BTS-matematiikkakurssi Saintézen Aymarin lukion Bézierin käyrillä sivustolla http://lyceeenligne.free.fr .

• (en) Living Math Bezier -sovellus verkkosivustolla sunsite.ubc.ca
• (en) Bezier Curves -laatikko C / Opengl- sovelluksella jppanaget.com-sivustossa
• (en) Bittikartta / Bézier-käyrät / Kuutio- ja (en) Bittikartta / Bézier-käyrät / Neliöllinen rosettacode.org-sivustolla
• (fr) LECYGN -piirto-ohjelmisto, joka käyttää Bézier-käyriä piirtopohjina ja tukena konfiguroitavalla muotoilulla varustetuille teksteille: euraldic.com.
• (en) Interaktiivinen sovellus, joka kuvaa Bézier-käyrän rakentamista
• (en) LaTeX-kuvaympäristöjen luominen GaPFilL-menetelmällä Herbert Möllerin käyttämän ympyrän kaarivakio