Geometria aiheuttaa haara matematiikka tutkimalla lukuja , että tason ja tilaa ( euklidinen geometria ). Lopusta lähtien XVIII nnen vuosisadan geometria tutkii myös lukuja kuuluvat muun tyyppisiä tiloja ( projektiivinen geometria , Epäeuklidinen geometria , esimerkiksi).
Koska alusta XX th -luvulla, lukuja tutkimuksessa menetelmiä näiden tilojen transformoitiin itsenäinen matematiikan: topologia , differentiaaligeometriaan ja algebrallinen geometria , esimerkiksi. Jos haluamme sisällyttää kaikki nämä merkitykset, on vaikea määritellä, mikä geometria on nykyään. Tämä johtuu siitä, että "nykyaikaisen geometrian" eri haarojen yhtenäisyys asuu enemmän historiallisessa alkuperässä kuin menetelmien tai esineiden yhteisössä.
Termi geometria juontuu kreikan ja γεωμέτρης ( geômetrês ), joka tarkoittaa "geometer, maanmittari " ja tulee γῆ ( GE ) "maa" ja μέτρον ( Metron ) "toimenpide". Siksi se olisi "tiede maaston mittaamisesta".
Geometria tai jopa klassinen geometria käsittää pääasiallisesti ilman erityistä määrittelijää ja viittausta tiettyyn kontekstiin (toisin kuin differentiaaligeometria tai algebrallinen geometria ) :
Edellä mainitut geometriat voidaan yleistää vaihtelemalla tilojen ulottuvuutta, muuttamalla skalaarien kenttää (käytä eri viivoja kuin todellinen viiva) tai antamalla avaruudelle kaarevuus. Näiden geometrioiden sanotaan edelleen olevan klassisia.
Lisäksi klassista geometriaa voidaan aksiomatisoida tai tutkia eri tavoin.
On huomionarvoista, että lineaarinen algebra (vektoritilat, neliölliset muodot, vuorottelevat bilineaariset muodot, hermiittiset ja antihermitistiset muodot jne.) Antaa mahdollisuuden rakentaa eksplisiittisiä malleja useimmista näissä geometrioissa havaituista rakenteista. Tämä antaa klassiselle geometrialle tietyn yhtenäisyyden.
On matematiikan haaroja, jotka ovat syntyneet tutkimalla eukleideisten tilojen lukuja, mutta jotka ovat muodostuneet itsenäisiksi matematiikan haaroiksi ja jotka tutkivat tiloja, jotka eivät välttämättä ole upotettu euklidisiin tiloihin:
Klassisen geometrian eri tiloja voidaan tutkia topologialla, differentiaaligeometrialla ja algebrallisella geometrialla.
Geometria myöntää tekijöiden mukaan monia merkityksiä. Tiukassa mielessä geometria on ”kuvioiden muotojen ja kokojen tutkiminen”. Tämä määritelmä on sopusoinnussa syntymistä geometria kuin tiedettä alle kreikkalaisen sivilisaation aikana klassisen ajan . Jean-Pierre Kahanen raportin mukaan tämä määritelmä on sama kuin ihmisillä on ajatus geometriasta opetettavana aineena: se on "paikka, jossa opimme ymmärtämään avaruutta ".
Vuonna 1739 Leonhard Euler tutki Königsbergin seitsemän sillan ongelmaa ; hänen työtään pidetään yhtenä ensimmäisistä geometrian tuloksista, jotka eivät ole riippuvaisia mistään mittauksista. Tulokset luokitellaan topologisiksi. Kysymyksiin aikana XIX : nnen vuosisadan johtanut pohtia käsitteitä muodon ja tilan , heitetään jäykkyys euklidisen matkoja. Mahdollisuus muodostaa pinta jatkuvasti deformoitumatta indusoitua metriikkaa on harkittu, esimerkiksi pallon muodonmuutos ellipsoidiksi. Näiden muodonmuutosten tutkiminen johti topologian syntymiseen : sen tutkimuskohteet ovat joukot , topologiset tilat, joiden läheisyyden ja jatkuvuuden käsite määritellään yhdessä naapuruuden käsitteellä . Joidenkin matemaatikoiden mukaan topologia on olennainen osa geometriaa, jopa sen perustava haara. Muut voivat kyseenalaistaa tämän luokituksen.
Felix Kleinin ( 1849 - 1925 ) näkökulmasta analyyttinen geometria "syntetisoi itse asiassa kaksi myöhemmin toisistaan erillään olevaa ominaisuutta: sen pohjimmiltaan metrisen luonteen ja homogeenisuuden". Ensimmäinen merkki löytyy metrisestä geometriasta , joka tutkii etäisyyksien geometrisia ominaisuuksia. Toinen on Erlangenin ohjelman perusta , joka määrittelee geometrian ryhmätoiminnan invarianttien tutkimiseksi.
Nykyinen työ geometrialla tunnetuilla tutkimusaloilla pyrkii kyseenalaistamaan ensimmäisen annetun määritelmän. Jean-Jacques Szczeciniarczin mukaan geometria ei ole rakennettu "yksinkertaisesta viittauksesta avaruuteen, ei edes figurointiin tai [visualisointiin", vaan se ymmärretään sen kehityksen kautta: "geometria imeytyy, mutta näyttää samalla meille määritellä käsitteille merkitys ja samalla antaa vaikutelman paluusta alkuperäiseen merkitykseen. Jean-Jacques Sczeciniarcz huomauttaa matemaattisessa tutkimuksessa kaksi osaa, jotka ovat johtaneet geometrian laajenemiseen tai pirstoutumiseen:
Laajennuksena geometriaa ei voida enää lähestyä yhtenäisenä tieteenalana, vaan matematiikan visiona tai lähestymistapana esineisiin. Gerhard Heinzmannin mukaan geometrialle on tunnusomaista "geometristen termien ja sisällön, kuten" pisteiden "," etäisyyden "tai" ulottuvuuden "käyttö kielikehyksenä kaikkein erilaisimmilla aloilla", ja empiirisen lähestymistavan välillä on tasapaino. ja teoreettinen lähestymistapa.
Geometrian keksiminen on peräisin muinaisesta Egyptistä .
Saat Henri Poincaré , geometrinen tila on seuraavat ominaisuudet:
Euklidiset ja ei-euklidiset geometriat vastaavat tätä tiukasti sensu -määritelmää avaruudesta. Tällaisen geometrian muodostaminen koostuu neljän perusobjektin: pisteen , suoran , tason ja avaruuden järjestelysääntöjen ilmoittamisesta . Tämä työ on edelleen puhtaan geometrian etuoikeus, joka on ainoa, joka toimii ex nihilo .
Tasogeometria lepää ennen kaikkea aksiomaattisella pinnalla, joka määrittelee tilan; sitten kuvioiden leikkaus-, muunnos- ja rakennemenetelmistä ( kolmio , suuntainen , ympyrä , pallo jne.).
Projektiivinen geometria on kaikkein minimalistisinta, mikä tekee siitä yhteisen ytimen muille geometrioille. Se perustuu aksioomiin:
Epäasianmukaisten elementtien projektivisessa geometriassa erottelu luonnehtii argumentaarista geometriaa . Sitten affiininen geometria syntyy näiden sopimattomien elementtien eliminoinnista. Tämä pisteiden poistaminen luo käsityksen rinnakkaisuudesta, koska tästä lähtien tietyt samansuuntaisten viivojen parit lakkaavat leikkaamasta. Poistettu väärä piste on verrattavissa näiden suorien suuntiin . Lisäksi kaksi pistettä määrittelee vain yhden segmentin (yhden kahdesta, joka ei sisällä virheellistä pistettä) ja tekee tutuksi käsityksen merkityksestä tai orientaatiosta (toisin sanoen sen avulla voidaan erottaa toisistaan ).
Congruence Euklidiset ja ei-euklidiset geometriatEuklidisen geometrian viides aksioma tai " rinnakkaispostulaatti " on euklidisen geometrian perusta :
Viivan ulkopuolella olevan pisteen kautta se kulkee aina tämän linjan suuntaisen ja vain yhden.
Katso Hilbert's Axiomatics tai Euclidean Elements saadaksesi täydellisemmät lausunnot euklidisesta geometriasta.
-Taudinaiheuttajan Tämän olettaa johtanut kehitystä kahden ei-euklidisen geometrian : hyperbolinen geometria mukaan Gauss , Lobachevsky , Bolyain ja elliptinen geometria mukaan Riemannin .
On käsitys Felix Klein (tekijä Erlangen-ohjelman ), geometria on tutkimuksen pisteen tiloja, jotka ryhmät muunnoksia (kutsutaan myös symmetrian) toimivat ja määrien ja ominaisuuksia, jotka ovat muuttumattomia näille ryhmille. Tasossa ja alalla, esimerkiksi, ovat molemmat 2-ulotteinen tilat, homogeeninen (ei etuoikeutettu kohta) ja isotrooppisen (ei etuoikeutettu suunta), mutta ne eroavat niiden symmetria ryhmissä (jäljempänä ryhmä euklidinen varten yksi, ryhmä kierrosta varten muut).
Tunnetuimpien muunnosten joukossa on isometriat , yhtäläisyydet , kierrot , heijastukset , käännökset ja homotetisuus .
Siksi se ei ole tieteenala, vaan tärkeä synteesityö, joka antoi selkeän kuvan kunkin geometrian erityispiirteistä. Siksi tämä ohjelma luonnehtii geometriaa enemmän kuin se perustelee sitä. Hänellä oli välittäjärooli keskustelussa ei-euklidisten geometrioiden luonteesta ja analyyttisen ja synteettisen geometrian välisestä kiistasta .
Siellä Lie-ryhmien ja algebrallisten ryhmien differentiaaligeometriassa ja algebrallisessa geometriassa , joilla itsessään on homogeeniset tilat , ja klassinen geometria pelkistetään usein näiden homogeenisten tilojen tutkimiseen. Affiini- ja projektiivigeometriat liittyvät lineaarisiin ryhmiin ja euklidiset, pallomaiset, elliptiset ja hyperboliset geometriat ortogonaaliryhmiin.
Kun Lie- tai algebrallisia ryhmiä tai niiden homogeenisia tiloja on nimenomaisesti luokiteltuja, jotka täyttävät tietyt hypoteesit (esimerkiksi Lie-ryhmät tai yksinkertaiset algebralliset, symmetriset tilat, yleistetyt lippulajikkeet, vakiokaarevat tilat), näiden luokitusten pääelementit ovat joskus peräisin klassisesta geometriasta , ja ryhmät, joihin nämä klassiset geometriat liittyvät, on kytketty ns. klassisiin ryhmiin (esimerkiksi lineaariset, ortogonaaliset, symplektiset ryhmät).
Suurin osa klassisista geometrioista liittyy Lie-ryhmiin tai yksinkertaiseen algebraan, jota kutsutaan klassiseksi (ne on johdettu lineaarisesta algebrasta). On olemassa muita Lie-ryhmiä tai yksinkertaisia algebralleja, ja niiden sanotaan olevan "poikkeuksellisia" ja ne synnyttävät poikkeuksellisen geometrian, jolla on tiettyjä analogioita klassiseen geometriaan. Tämä ero johtuu siitä, että yksinkertaiset ryhmät luokitellaan (tietyin oletuksin) useisiin äärettömiin sarjoihin (usein neljään) ja lopulliseen määrään muita ryhmiä (usein viiteen), ja juuri nämä jälkimmäiset ryhmät ovat poikkeuksellisia, ja he tekevätkin eivät kuulu lineaarisen algebran alle (ainakaan samalla tavalla): ne linkitetään usein ei-assosiatiivisiin algebrallisiin rakenteisiin (esimerkiksi oktonionalgebrat , poikkeukselliset Jordanian algebrat).
Lie-ryhmät tai yksinkertainen algebrallinen liitetään Dynkin-kaavioihin (erilaisten kaavioiden), ja näiden geometrioiden tietyt ominaisuudet voidaan lukea näistä kaavioista.
Riemannin geometria voidaan nähdä jatkeena euklidisen geometrian. Hänen tutkimuksessaan keskitytään tangenttivektorien käsitteen esittävien tilojen ( lajikkeiden ) geometrisiin ominaisuuksiin , ja ne on varustettu metrillä ( Riemannin metriikka ), jonka avulla nämä vektorit voidaan mitata. Ensimmäisiä havaittuja esimerkkejä ovat kolmiulotteisen euklidisen avaruuden pinnat , joiden metrisiä ominaisuuksia Gauss tutki 1820-luvulla. Euklideainen tuote indusoi metriikan tutkitulle pinnalle rajoittamalla eri tangenttitasoja. Riemann muodosti metriikan sisäisen määritelmän korkeammassa ulottuvuudessa. Rinnakkaisliikenteen käsite sallii tangenttitilojen vertailun jakotukin kahdessa erillisessä pisteessä: sen tavoitteena on kuljettaa vektori johdonmukaisesti Riemannin jakotukkiin piirrettyyn käyrään. Riemannin jakotukin kaarevuus mittaa määritelmän mukaan rinnakkaisliikenteen mahdollisen riippuvuuden yhdestä pisteestä toiseen niitä yhdistävään käyrään.
Metriikka antaa käyrien pituuden määritelmän, josta johdetaan Riemannin etäisyyden määritelmä. Kolmioiden metriset ominaisuudet voivat kuitenkin poiketa euklidisesta trigonometriasta. Tätä eroa tutkitaan osittain Toponogovin lauseen avulla , mikä tekee mahdolliseksi verrata ainakin paikallisesti tutkittua Riemannin-pakosarjaa malliavaruuksiin poikkileikkauksen kaarevuuden oletettavasti tunnettujen eriarvoisuuksien mukaan. Mallitilojen joukossa:
Monimutkainen geometria liittyy ominaisuuksia alalla voi paikallisesti tunnistaa kanssa . Nämä objektit ( monimutkainen moninaiset ) aiheuttavat tietyn jäykkyyden, joka johtuu funktion analyyttisen laajennuksen ainutlaatuisuudesta useilla muuttujilla.
Symplectic geometria on haara ero geometria ja voidaan ottaa käyttöön yleistys suurempi mitat käsitteen alueen suuntautunut kohdataan ulottuvuus 2. Se liittyy vuorotellen bilineaarinen muotoja. Tämän geometrian kohteina ovat symplektiset jakotukit, jotka ovat differentiaalijakotukit, jotka on varustettu vaihtelevien bilineaaristen muotojen kentällä. Esimerkiksi affiininen tila, joka on kiinnitetty vektoritilaan, jolla on vaihteleva ei-degeneroitunut bilineaarinen muoto, on symplektinen jakotukki.
Kontaktigeometria on haara differentiaaligeometrian tutkimalla lajikkeiden kosketuksiin, jotka ovat ero monityhjölaitteet varustettu alan hyperplanes tangenttiavaruus tarkastaa tiettyjä ominaisuuksia. Esimerkiksi projektiivinen tila johtaa vektoritilan, joka on varustettu vuorotellen ei-degeneroituneella bilineaarisella muodolla, joka on kosketussarja.
Geometria ja tähtitiede ovat olleet pitkään yhteydessä toisiinsa. Alkeistasolla laskettaessa kuun, auringon ja niiden etäisyyksiä maasta käytetään Thalesin teoreemaa . Ensimmäisissä aurinkokunnan malleissa kukin planeetta liittyi platoniseen kiinteään aineeseen . Keplerin tähtitieteellisistä havainnoista , jotka Newtonin työ vahvistaa , on osoitettu, että planeetat seuraavat elliptistä kiertorataa, jossa aurinko on yksi keskipisteistä. Tällaiset geometriset näkökohdat voivat yleisesti puuttua klassiseen mekaniikkaan kvalitatiivisesti kuvata liikeratoja .
Tässä mielessä geometria puuttuu tekniikkaan mekaanisen järjestelmän vakauden tutkimiseen. Mutta se puuttuu vielä luonnollisemmin teolliseen muotoiluun . Teollinen piirustus näyttää kolmiulotteisen kohteen leikkaukset tai projektiot , ja siihen on merkitty pituudet ja kulmat. Tämä on ensimmäinen vaihe teollisen muotoilun projektin perustamisessa . Viime aikoina geometrian ja tietojenkäsittelytieteen välinen avioliitto on mahdollistanut tietokoneavusteisen suunnittelun (CAD), rajallisten elementtien laskelmien ja tietokonegrafiikan syntymisen .
Euklidista trigonometriaa käytetään optiikassa esimerkiksi valodiffraktion hoitamiseksi. Se on myös navigoinnin kehityksen lähtökohta : merenkulku tähdillä ( sekstanteilla ), kartografia, lennonvarmistus (ohjaaminen instrumenteilla käyttämällä majakkojen signaaleja).
Uudet edistysaskeleet geometria on XIX : nnen vuosisadan löytyi kaikuja fysiikan. Usein sanotaan, että Riemannin geometria johtui alun perin Gaussin kysymyksistä Maan kartoittamisesta. Siinä otetaan huomioon erityisesti avaruudessa olevien pintojen geometria . Yksi sen laajennuksista, Lorentzian geometria , tarjosi ihanteellisen formalismin yleisen suhteellisuusteollisuuden lakien muotoilemiseksi . Differentiaaligeometrian löydetty uusia sovelluksia jälkeisessä Newtonin fysiikan kanssa teorian jousille tai kalvoja .
Ei-kommutatiivinen geometria , keksi Alain Connes , on saamassa tämänhetkisen hyviä matemaattisia rakenteita, joiden avulla voidaan pyrkiä kehittämään uusia fysiikan teorioiden.
Geometrialla on etuoikeutettu paikka matematiikan opetuksessa . Lukuisat kasvatustutkimukset osoittavat kiinnostuksensa : se antaa oppilaille mahdollisuuden kehittää pohdintaa ongelmista, visualisoida tason ja avaruuden lukuja, kirjoittaa mielenosoituksia johtaakseen esitettyjen hypoteesien tulokset. Mutta vielä enemmän "geometrinen päättely on paljon rikkaampi kuin yksinkertainen muodollinen johtopäätös", koska se perustuu "kuvioiden havainnoinnista" syntyneeseen intuitioon.
1960-luvulla matematiikan koulutus Ranskassa vaati geometrian ongelmien toteuttamista jokapäiväisessä elämässä. Erityisesti Pythagoraan lause esitettiin säännöllä 3, 4, 5 ja sen käytöllä puusepäntyössä. Osallistujat, harmoniset jakaumat ja ristisuhteet olivat osa lukion opetussuunnitelmaa. Mutta Yhdysvalloissa syntynyt ja Euroopassa mukautettu nykyaikaisen matematiikan uudistus johti geometrian opetetun tiedon huomattavaan vähenemiseen lineaarisen algebran käyttöönotossa toisessa asteessa. Monissa maissa tätä uudistusta kritisoitiin voimakkaasti ja nimitettiin syylliseksi koulun epäonnistumisiin . Jean-Pierre Kahanen raportti tuomitsee "todellisen alustavan didaktisen pohdinnan" puuttumisen geometrian vaikutuksesta: Erityisesti "vektorigeometrian käytäntö" valmistaa oppilasta paremmin assimiloitumaan vektoritilan, bilineaarisen muodollisen käsitteen kanssa. ...
Lukujen käyttö muiden aineiden opetuksessa antaa opiskelijoille mahdollisuuden ymmärtää paremmin esitetyt argumentit. Huom. Matematiikan didaktiikassa tehdään yleensä ero "piirtämisen" (suoritetaan viivain, kompassi ...), "kaavion" (suoritetaan vapaalla kädellä ja konkreettisena tukena abstraktille päättelylle) käsitteiden välillä. suorittaa) ja "kuvio" (abstrakti geometrinen esine, johon päättely lopulta liittyy, ja joista jokaisella on oma henkinen esitys: esimerkiksi voimme saada erilaisen henkisen esityksen tasasivuisen kolmion "hahmo" lukuun ottamatta samankaltaisuutta) . Näiden erojen vuoksi graafisesti esitetty se herättäisi "hahmon", mutta ei olisi sellainen. .