Riemannin metriikka

In ero geometria , Riemannian muuttujat ovat perus- käsite Riemannin geometria . Ensimmäisen johdannon antoi Bernhard Riemann vuonna 1854. Kuitenkin hänen artikkelinsa aiheesta julkaistiin hänen kuolemansa jälkeen vuonna 1868. Samana vuonna Hermann von Helmholtz julkaisi samanlaiset tulokset.

Riemannin metriikat ovat erottuvia positiivisten ja toissijaisten muotojen perheitä .

Määritelmät

On vektorikimppu E → M , joka on Riemannin metriikka g on datan piste tuotteen g x kunkin kuidun E x , joka riippuu siitä, miten sileä pohja piste x vaihtelee M . Formaalisemmin x↦g X on leikkaus tahansa positiividefiniitti pisteen vektorikimppu S 2 E → M on symmetrinen bilinear muotoja. Sanomme, että data ( E, g ) on Riemannin nippu .

Kahden Riemannin nipun ( E, g ) ja ( F, g ' ) kohdalla M : ssä Riemannin nippun morfismi f :( E, g ) → ( E, g' ) on vektorikimppumorfismi f: E → E ' siten, että mistä tahansa kohta x on M , lineaarinen kartta f x : E x → f x on lineaarinen isometria , joka on:

\ kaikki v, w \ E_ {x}, \ quad g '_ {x} (f_ {x} (v), f_ {x} (w)) = g_ {x} (v, w).

Jos M on differentiaalisarja, M: n Riemannin-metriikka on yksinkertaisesti Riemannin-metriikka sen tangenttipaketissa . Tiedot ( M, g ) ovat Riemannin moninaisia .

Kun otetaan huomioon kaksi Riemannin-jakoa ( M, g ) ja ( N, g ' ), isometria F :( M, g ) → ( N, g' ) on eriteltävä kartta F: M → N siten, että tangenttikartta dF :( TM, g ) → ( TN, g ' ) on Riemannin nippujen morfismi. Tämä viimeinen ehto kirjoitetaan uudelleen: F * g '= g .

Esimerkkejä

Mikä tahansa skalaaritulos ℝ n: llä indusoi minkä tahansa triviaalin vektoripaketin M × ℝ n → M a Riemannin metriikka: $<,>$ $g_ {x} ((x, v), (x, w)) = <v, w>.$
Olkoon g Riemannin metriikka E → M: llä ja P: llä jakoputki. Ja differentioituva funktio ψ: P → M , on olemassa annetun vektorikimppu vedetään takaisinIndusoitu kuitu ψ * E → P ainutlaatuinen Riemannin metriikka ψ * g siten, että luonnollinen morfismi ψ * E → E on isomorfismi on Riemannin nippuja.
Jos g on Riemannin metriikka on E → M , sitten rajoitus , g määritellään Riemannin metriikka tahansa vektori subbundle ja E .
Minkowski-metriikan raja, kun c lähestyy ääretöntä, on nippumittari. Aikasta tulee absoluuttinen ja aika-aika on kuitua yllä, löydämme Galileon muutoksen . Kahden eri ajankohdan mukaan metriikka on aikojen ero. Samaan aikaan avaruuskuumassa, joka on isomorfinen , metriikka on tavallinen skalaarinen tulo. ${{\ rm {d}}} s ^ {2} = c ^ {2} {{\ rm {d}}} t ^ {2} - {{\ rm {d}}} x ^ {2} - {{\ rm {d}}} y ^ {2} - {{\ rm {d}}} z ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Olemassaolo

Missä tahansa parakompaktissa kantavektoripaketissa on Riemannin-metriikka.

Esittelyt

Todistus yksikön osion kautta.

Kaikille M: n riittävän pienille avoimille U : lle vektoripaketti π -1 ( U ) → U on trivialisoitavissa. Kuitenkin ylhäältä mikä tahansa trivialisoitavissa oleva vektoripaketti myöntää Riemannin metriikan. Joten π -1 ( U ): lla on Riemannin metriikka g U.

Käyttäen paracompacity on M , on olemassa laskettavissa päällekkäisyys ( U n ) n ∈ℕ on M siten, että mitä tahansa kokonaisluku n , on olemassa Riemannin metriikka g n on vektorikimppu π -1 ( U n ) → U n . Olkoon (φ n ) n ∈ℕ olla osio yksikön alaisuudessa ( U n ) n ∈ℕ . Kartta x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ) on S 2 π -1 ( U n ) → U n nollan globaali osa rajan ∂ U n naapurustossa . Se on laajennettu maailmanlaajuinen osa S 2 E → M , väärin merkitty x ↦φ n ( x ) g n ( x ). ${\ displaystyle 0}$

Kysymme sitten:

g = \ summa _ {{n \ sisään \ mathbb {N}}} \ phi _ {n} g_ {n}: x \ mapsto \ summa _ {{n \ sisään \ mathbb {N}}} \ phi _ { n} (x) g_ {n} (x)

. Se on osa S 2 E → M , ja se on hyvin määritelty positiivinen missään vaiheessa on M : jos kuuluu sisällä tukea , ja mikä tahansa ei-nolla-vektori on ,

x

x

\ phi _ {n}

v

Ex}

g (v, v) \ geq \ phi _ {n} (x) g_ {x} ^ {n} (v, v)> 0

Todiste upottamisen kautta.

On olemassa vektoripaketti F → M siten, että E ⊕ F → M on trivialisoitavissa. Käytetyt tällä tasolla paracompactness of M . Joten E iem F → M: ssä on Riemannin metriikka, joka rajoittuu Riemannin metriikkaan E → M: ssä .

Vaikka tämä toinen väite onkin ilmeisesti lyhyempi, se peittää vaikeudet . Tämä olemassaolo vetoaa myös yhtenäisyyden jakamiseen . $F$

Erityisesti :

Missä tahansa parakompaktissa differentiaalipaketissa on Riemannin metriikka.

Katso myös