Sovellus (matematiikka)

On matematiikka , hakemus on suhde kahden sarjaa , joista kukin osa ensimmäisen (kutsutaan lähtö- set tai lähde ) liittyy yksi osa toisen (päättyy set tai maalia ). Termi kilpailee funktion kanssa , vaikka jälkimmäinen nimittää toisinaan tarkemmin sovelluksia, joiden päämääränä on joukko numeroita ja toisinaan päinvastoin, laajemmin kattavat suhteet, joihin lähtöjoukon kukin osa on kytketty enintään yksi elementti saapumiskokoonpanosta.

Sovelluksella voi olla ei-numeerisia arvoja, kuten se, joka yhdistää jokaisen luokan opiskelijan syntymäpäiväänsä, tai sovellus, joka yhdistää jokaisen kortin 32 kortin joukosta sen väriin .

Sovellus on siis joukko-teoriasta johtuva kohde , jonka graafi määrittelee ja liittyy kuvan ja ennakkotapahtuman käsitteisiin . Se voi olla injektoiva tai surjektiivinen riippuen saapumisjoukon jokaisen elementin ainutlaatuisuudesta tai ennakkotapauksen olemassaolosta . Kartta, jolla on nämä kaksi ominaisuutta, on bijection , joka hyväksyy sitten vastavuoroisen kartan . Sovellukset voivat myös olla koostuu tai rajoitettu osajoukko niiden alkumekanismista.

Analyysikontekstin ulkopuolella termi määritellään mm. Affiinigeometriassa , lineaarisessa algebrassa , topologiassa ja dynaamisten järjestelmien teoriaa . Se korvataan joskus operaattorin tai morfismin , tai jopa nuolen, etenkin kategoriateoriassa .

Toiminto ja sovellus

Funktion käsite kahden tyyppisten kohteiden välillä on suhteellisen vanha. Mutta termi näkyy lopussa on XVII : nnen luvun kirjoituksissa Leibniz vuonna 1694, se on sitten liitetty toiminto geometrinen käyrä, Leibniz sanoo, ja x-akselin, y tai kaarevuussäteen käyrä piste M on pisteen M funktio . Samanaikaisesti Newton puhuu sujuvasti määristä riippuen muuttujasta, jonka hän kutsuu ajaksi (täsmentäen samalla, että ajan rooli voi olla toisella määrällä). Muodossa f oleva merkintätapa ei pudonnut heti. Jean Bernoulli ehdottaa vuonna 1698 soittaa X funktio x , sitten fx 1718. Leibniz keksii merkintä, jonka avulla voidaan työskennellä useita eri toimintoja: ja on siten kaksi toimintoa riippuvainen x . Euler käyttää merkintää fx vuonna 1734. Funktioilla on silloin aina numeeriset arvot (todelliset tai monimutkaiset) ja niillä on myös rajoittavia ominaisuuksia (linkitettynä algebralliseen yhtälöön, Eulerin jatkuvuuteen, laajennettavissa kokonaisina sarjoina ...). $\ overline x | \ alleviivattu 1$ $\ overline x | \ alleviiva 2$

Samaan aikaan geometriassa kehitetään ajatusta täsmällisten vastaavuuksien soveltamisesta.

Funktion (tai sovelluksen) käsite yleistetään ensin useisiin numeerisiin muuttujiin, muuttujaan, joka on käyrä ( Vito Volterra ), sitten Maurice Fréchet vuonna 1904 ja Eliakim Hastings Moore ottavat argumentin mielivaltaisessa joukossa ja Fréchet vuonna 1909 myös funktion arvo.

Koko XX : nnen vuosisadan monissa tieteellisissä teoksissa, ehdot toimintoja ja sovelluksia ovat synonyymejä. Joskus otetaan käyttöön tiettyjä vivahteita: termiä funktio käytetään enemmän siinä tapauksessa, että saapumisjoukko on digitaalinen, ja joskus, kun määritelmäjoukko ei ole sama kuin lähtöjoukko.

1950-luvulla Bourbakin koulu yritti määritellä tarkasti nämä kaksi käsitettä. Siten voimme lukea vuoden 1954 alkuaineiden ensimmäisen kirjan II luvun luonnoksessa seuraavat määritelmät:

Suhdetta R ( x , y ) kutsutaan tyypin (T × U) toiminnalliseksi suhteeksi, jos se täyttää seuraavat ehdot: riippumatta x: stä , on olemassa enintään yksi y tällaista R ( x , y ). Mihin tahansa toiminnalliseen suhteeseen liitämme uuden objektin, jota kutsumme funktioksi;
Kutsumme funktion f määrityskenttää E : n alkioiden joukoksi x , joille on olemassa y, niin että R (x, y). Tämä on osa I ja E . Sanomme, että f on määritelty päälle E ja vuonna E .
Sen sijaan, että puhutaan määritetty toiminto päälle E ja kun arvoja F , puhumme sovellus E on F .

Vaikka lopullinen sanamuoto Elements 1970, toiminto on aina määritelty päällä sen lähtökohta, tämä erottelu toistetaan Ranskan toisen asteen koulutuksen ensimmäinen ja toinen vaihe, kun jälkeen Lichnerowicz komissio , toteuttaa uusia ohjelmia 1968. Siten näemme kuudennesta , nuolikaavioilla havainnollistettuna, seuraavat määritelmät:

sellaisia suhteita, että lähtöjoukon kustakin elementistä on enintään yksi nuoli, kutsutaan funktioksi;
sellaisia suhteita, että se jättää lähtöjoukon jokaisesta elementistä tarkalleen yhden nuolen, kutsutaan kuvauksiksi.

Käytännössä se, että riittää pelkistämään funktion lähtöjoukko määritelmäsarjaan muuntamaan se sovellukseksi, tekee tämän eron vähäisestä käytöstä.

Tämä ero alkaa kadota koulukirjoista vasta vuonna 1985, kun hyväksytään uudet ohjelmat, mutta on vielä viimeaikaisia kirjoja, joissa tämä ero on olemassa.

Määritelmä

Tavallinen matematiikan määritelmä funktiolle on siis asetettu, ja se olennaisilta osin edellyttää parin ja suorakulmion tuloa . Sovelluksen tai toiminnon on tripletti f = ( E , F , G ), jossa on binäärirelaatio G ⊂ E x F , ja joka tarkastaa, että kaikki x ja E on olemassa ainutlaatuinen y on F niin, että pari ( x , y ) kuuluu G: lle . Juuri tässä tapauksessa kartta f G annetaan binäärirelaatio G ⊂ E x F sanotaan olevan hyvin määritelty . Tripletin sarjojen järjestys on mielivaltainen ja löydämme lisäksi muunnelmia teosten mukaan. Ominaisuusominaisuus voidaan jakaa kahteen lausekkeeseen:

Olemassaolo . ∀ x ∈ E ∃ y ∈ F ( x , y ) ∈ G ; Ainutlaatuisuus . ∀ x ∈ E ∀ y ∈ F ∀ y ' ∈ F ([( x , y ) ∈ G ja ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

Toisin sanoen tämä tarkoittaa, että G leikkaa jokaisen osajoukon { x } × F yhdessä pisteessä, jonka olemassaolon antaa ensimmäinen lause, ja ainutlaatuisuuden toisesta. Tätä pistettä, F: n elementtiä , kutsutaan kartasta f x : n kuvaksi ja merkitään f ( x ). Erottaa selvästi kuvan elementin E , joka on osa F , mistä kuva f , joka on osajoukko F , joskus puhua jälkimmäisessä tapauksessa, että kuva joukko on f .

Sanotaan myös, että f yhdistää x- elementin f ( x ) tai että f lähettää x : n f ( x ): stä. Käytetään myös passiivisia muotoja " x lähetetään f: n kautta f ( x )", " f ( x ) liitetään x : ään f: n avulla ".

Jos X , osa E , täyttää f ( x ) = y , sanomme, että x on edeltäjä on y . Elementti y on F voi hyvinkin olla enemmän kuin yksi edeltävä tai ei ollenkaan.

E : n funktiolle F: ssä , joka x: lle yhdistää f ( x ): n:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & E & \ longrightarrow & F \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}}

esimerkiksi todellisen muuttujan toiminnolle, joka yhdistää neliön numeroon:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & x ^ {2} \ end {matrix}}}

Edellisessä esimerkissä käytimme funktion määrittelemiseen reaalilukujen rakennetta. Tahansa joukko E voidaan aina määritellä identiteetin tai identtinen kuvaaminen , joka assosioituu tahansa elementti x on E elementin x itse. Sen kaavio on suorakulmion tulon E × E diagonaali , osajoukko, jonka määrittelee suhde x = y .

Jos F ei ole tyhjä, niin voimme liittää minkä tahansa elementin b ja F , ns vakio kartta on E on F , joka assosioituu jokin osa E elementin b . Sen kaavio on siis E × { b }.

Joskus käytetään muita termejä ja merkintöjä. Luonnollisten kokonaislukujen joukolle N (tai sen osalle) määriteltyjä funktioita kutsutaan usein sekvensseiksi , esimerkiksi todelliset sekvenssit ovat N : n funktioita reaalien joukossa R. Sitten käyttää indeksiä merkintä: ( u n ) n ∈ N tarkoittaa sekvenssin, kirjoitus joka voidaan lyhennettä ( u n ), ja u n tarkoittaa kuvaa tämän sekvenssin kokonaisluku n .

Tämä merkintätapa on laajennettu perheille , indeksoidaan I elementtejä joukko F annettu, jotka ovat toisen merkintä ja toinen terminologian toiminnot minä vuonna F .

Sarja sovelluksia kahden sarjan välillä

Kaikki sovellukset E in F on usein huomattava F E . Sen kardinaali riippuu vain E: n ja F : n vastaavista kardinaaleista : | F E | = | F | | E | .

Sovellustoiminnot

Rajoitus joko $f$ sovellukselle $E$ : lle $E$ : ssä ja anna $A:$ n $E:$ n osajoukko. Rajoittaminen $f$ on, jota merkitään, on sovelluson $F$ , että tuote $on$ annettuyhdistää elementin $f$ $($ $)$ on $F$ . Toisin sanoen, jos me ilmi $G$ kuvaaja $f$ ,on karttaon $F$ kaaviosta $G$ $\cap ($ $x$ $F$ $)$ . ${\ displaystyle f_ {| A}}$ ${\ displaystyle f_ {| A}}$
Corestriction : corestriction on samanlaiset operaatiot osajoukko saapumista asetettu, mutta jos haluamme sen säilyvän hakemuksen, emme voi rajoittaa saapumista joukko F by f Qu 'osajoukkoon F' on F kuvan sisältävä joukko f . Sitten saamme sovelluksen, jolla on sama lähtöjoukko ja sama kaavio, mutta ei sama loppusarja.
Laajennus : anna f olla kaksi karttoja välillä E ja F kaaviosta G , ja f ' välillä E' ja F ' on kaavio G' . Sanomme, että f ' on f : n laajennus, kun:E ⊂ E ' ja F ⊂ F' ja G ⊂ G ' .(Katso erityistapaus perusmatematiikasta kohdasta Määritelmäjoukko # Laajennus .)
Koostumus : koostumus kaksi hakemusta f oninja g: jaonkirjoitettu. Se on sovellus onmääritelty, mitä tahansa elementti x on, mukaan: $E_2$ $E_ {3}$ $E_1$ $E_2$ $f \ ymp. g$ $E_1$ $E_ {3}$ $E_1$ $f \ ympyrä g (x) = f (g (x)).$ Jos f: n kaavio on ja g: n graafi on , kaavio on: $G_f$ $G_ {g}$ $f \ ymp. g$ $G_ {f \ circ g} = \ {(x, z) \ E_1 \ kertaa E_3 \ mid \ olemassa y \ muodossa E_2, (x, y) \ sisällä G_g \ kiila (y, z) \ sisällä G_f \} .$

Injektiivisyys ja surjektiivisyys

Kartta f välillä E ja F sanotaan olevan injektiivinen , tai jälleen on injektio , kun mikä tahansa osa saapumista joukko f on enintään edeltävälle käynnistyspiirissä asettamat f , joka voidaan kirjoittaa:

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ sisään E \ vasen [f (x_ {1}) = f (x_ {2}) \ Rightarrow x_ {1} = x_ {2} \ right]

. tai contraposée :

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ sisään E \ vasen [x_ {1} \ neq x_ {2} \ Rightarrow f (x_ {1}) \ neq f (x_ {2}) \ right]

. Kahden injektion yhdiste on injektio ja päinvastoin, jos tiettyä toimintoa varten o on injektio, niin se on injektio.

g

g

f

f

Kartoitus ja sisään sanotaan olevan surjective , tai jälleen on surjektio , kun mikä tahansa osa saapumista joukko on kuva f ainakin yhden elementin alustava joukko, joka on kirjoitettu: $f$ $E$ $F$ $\ kaikki y \ F: ssä, \ olemassa x \ E: ssä, \ f (x) = y.$ Toisin sanoen, on surjektiivinen, ellei sen kuvajoukko ole koko kohdejoukko. Kahden surjektion yhdiste on surjection ja päinvastoin, jos se on surjection, niin se on surjection. $f$
$g \ ympyrä f$ $g$
Kartan f sanotaan olevan bijektiivinen tai taas on bijektio , kun tämä kartta on sekä injektoiva että surjektiivinen, toisin sanoen sen saapumisjoukon jokaisella elementillä on ennakkotapaus ja vain f : llä l: n alkamisjoukossa, joka on kirjoitettu: ${\ displaystyle \ forall y \ in F, \ olemassa! x \ E, \ f (x) = y.}$ Kahden bijektion yhdiste on bijection, mutta päinvastoin, jos kahden kartan yhdiste on bijection, voimme vain päätellä, että yksi on injektio ja toinen surjection.

Vastavuoroinen soveltaminen

Jos kartan f : E → F on bijective, että jokainen osa F liittyy ainutlaatuinen edeltävä jonka f on E , joka on ollut olemassa vuodesta f on surjective ja joka on ainutlaatuinen, koska f on injektio. Tämä siis määrittää kartan, jota kutsumme vastavuoroinen kartta ja f , ja joka tässä tapauksessa on myös bijektio, jota kutsutaan myös vastavuoroisesti bijektio of f .

Panemme sen merkille . Sen kaavio on f: n kaavion symmetrinen , ts. Jos G on f : n kaavio, on {( y , x ) | ( x , y ) ∈ G }. Siinä tapauksessa, että E = F = R , reaalilukujoukko, kaavio R on tasossa R2 symmetrinen f : n kuvaan nähden ensimmäisen puolittimen suhteen . Siten itsessään positiivisten reaalilukujen funktio, joka x: n kanssa yhdistää x2: n, on bijektio, sen vastavuoroisuus on neliöjuuri, ja toisen graafi johdetaan toisesta symmetrialla yhtälön y = x suhteen . $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$

Kun kyseessä on esimerkiksi numeerisen toiminto, kun voidaan puhua käänteistä elementin on F , tämä voidaan kirjoittaa -1 . Tässä tapauksessa tarkoittaa elementin käänteistä osaa . Tämä on käänteinen 1 / f-funktio (jos sellainen on). Merkintä on varattu f : n vastavuoroiselle bijektiolle (jos sellainen on). $f (x) ^ {{- 1}}$ $f (x)$ $f ^ {- 1}$

Hakemuksen f : E → F on injektio, jos ja vain jos on olemassa surjektio g : F → E vastavuoroinen vasemmalla f , eli että g ∘ f on identiteetti E . Kun f on injektoiva, riittää, että otetaan g: lle sovellus, joka f: n kuvan elementtiin yhdistää sen ennakkotapahtuman f : llä ja joka määritetään mielivaltaisesti muille elementeille. Tämä toiminto ei ole ainutlaatuinen, ellei f ole myös bijektiivinen. Päinvastoin seuraa suoraan siitä, että g on kartta.
Sovellus f : E → F on päällä ja vain, jos injektio on g : F → E f: n vastavuoroinen oikeus , toisin sanoen f ∘ g on F: n identiteetti . Oletetaan f on surjective, tapauksessa, jossa kuva joukko f on ääretön, jonka olemassaolo injektio lepää kaikissa yleisyyttä on selviö valinta (ilmoitettu mitään surjektio, se on jopa vastaa selviö valinta). Hakeminen g on todellakin tehtävä valinta kaikista sarjaa historian elementin F , se valitsee hyvä historia jokaiselle elementille F . Tämä toiminto ei ole ainutlaatuinen, paitsi jos f on myös bijektiivinen (tapaus, jossa ennakkotapaus on ainutlaatuinen, valittua aksiomia ei tarvita). Olemassaolo funktio g vastavuoroinen oikealle f säädetään suoraan edeltävälle mukaan f kunkin elementin F .

Kanoninen hajoaminen

Me kutsumme binäärirelaatio kanonisesti liittyy kartan f kirjeenvaihto ℛ määritelty E seuraavasti:

x on suhteessa y: hen vain ja vain, jos x: llä ja y: llä on yhteinen kuva f: llä .

Tämä suhde on aina symmetrinen ja transitiivinen kuvan ainutlaatuisuuden vuoksi ja on myös refleksiivinen olemassaolonsa vuoksi, joten se on vastaavuussuhde .

Sitten voimme määritellä karttaan f liittyvän osamäärän joukon E / on ja vastaavan kanonisen surjektion s . Tämä surjektio assosioituu tahansa elementti x on E sen luokan vastaavuuden ℛ, joka ei ole mikään muu kuin f -1 ({ f ( x )}), joukko edeltäjiä on f ( x ).

Tarkastellaan sitten F : n E / ℛ: n vastaavuutta i , jonka määrittelee:

A on suhteessa y: hen vain ja vain, jos A on y : n edeltäjien joukko f: llä .

Tämä kirjeenvaihto on injektio, kanoninen injektio, joka liittyy sovellukseen f . Osoitamme helposti, että f = i ∘ s .

Bottom Line: Mikä tahansa sovellus voidaan jakaa yksilöllisesti yli-injektioon ja injektioon.

Tämä hajoaminen on sovelluksen kanoninen hajoaminen . Tässä hajoamisessa:

surjection s on bijektio vain silloin, kun f on injektio, ts. jos f −1 ∘ f = id E ;
injektio i on bijektio jos ja vain jos f on surjektio on sanoa, että jos f ∘ f -1 = id F .

Joukko-teoria

Funktion käsite ei ole primitiivinen Zermelo- tai Zermelo-Fraenkel -joukkojen teorioissa , ja se määritetään pari- ja suorakulmaisen tuotteen käsitteiden ansiosta , jotka eivät myöskään ole primitiivisiä. Käsite voi kehittyä Zermelo teoriassa (ilman aksiooma ääretön ), jossa aksiooma extensionality The Axiom parin The aksiooma reunion The Axiom joukon. Osien ja järjestelmän aksioomat ymmärtämistä . Tarvitsimme yhdessä tilanteessa osoittamaan kaikessa yleisyydessä surjektiivisen funktion oikean käänteisen olemassaolon , valinnan aksiooman .

Joukko- teoriassa tapahtuu usein, että funktio identifioidaan sen kanssa, jota aiemmin kutsuttiin sen graafiksi. Toisin sanoen funktio määritellään joukoksi pareja, jotka tarkistavat kuvan olemassaolon ja ainutlaatuisuuden ominaisuudet, ja voimme helposti varmistaa, etteivät ne todellakaan tuo peliin lähtöjoukkoja ja saapumista: tällä määritelmällä G on toiminto, kun se on parin joukon mielessä suhde kuvan ainutlaatuisuuteen, tarkemmin sanottuna:

∀ x ∀ y ∀ y ' ([( x , y ) ∈ G ja ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

Funktion lähtöjoukko on G: n ensimmäisten projektioiden joukko , joka on määritelty ymmärryksessä , aivan kuten funktion kuva, joka on G: n toisen projektion joukko (katso lisätietoja suorakaidekehisestä tuoteartikkelista riippuen parit). Ei ole enää luontainen saapumista joukko, eli f on funktio E osaksi F tulee ominaisuus f : E on joukko ensimmäistä ulkonemaa ja f , ja l kokonaiskuvaa, kaikki toisten ulokkeiden sisältyy F . Injektiivisuus on ominaisuus, joka riippuu vain funktion käyrästä. Toisaalta tässä yhteydessä surektiivisuudesta tai bijektivuudesta tulee f: n ja valitun saapumisjoukon ominaisuus ( f on E : n surjektiivi F: ssä ).

Yksi saattaa olla kiinnostunut toiminnallisista luokista , jotka ovat luokkapareja, jotka täyttävät kappaleen alussa luetellut kaksi ominaisuutta, mutta luokassa koko G: n sijaan . Korvaava aksiooma järjestelmän , joka täydentää Zermelo teoria sarjaa antaa kuin Zermelo-Fraenkel-, todetaan, että kuva joukko toiminnallisen luokan on asetettu, ja siksi rajoittamisesta toiminnallisen luokan joukko on funktio (kuten parien joukko).

Huomautuksia ja viitteitä

Lucien Chambadal, Moderni matematiikan sanakirja , artikkeli "toiminto", Larousse, 1969.
Jacques Bouveresse , Jean Itard ja Émile Sallé, Matematiikan historia [ yksityiskohdat painoksista ], s. 33 .
”toiminto (käsite)” , vuonna Sanakirja matematiikan - algebran, analyysi, geometria , Pariisi, Encyclopædia Universalis ja Albin Michel,1997, s. 359-360.
(de) Bartel Eckmann L. Van der Waerden Moderne Algebra p.6 on Google Books , Volume I, 1930
Rudinille ( Real and complex analysis , Rudin, Masson, 1978, s. 7) termit funktio, sovellus ja muunnos ovat synonyymejä
Roger Godementille ( Matemaattinen analyysi I , Springer, 1998, s. 21) voimme sanoa välinpitämättömästi: "Olkoon f funktio, joka on määritelty X: llä arvojen Y kanssa" tai "Olkoon f X: n sovellus Y: ssä"
Nimikkeistön Boubaki-uutishuoneet , yhdistyksen arkistossa , arkisto 53
Elementtiarkiston 53 kirjan I luvun II luvun laatiminen , s. 25
II luku , s. 26
Elementtiarkiston 53 kirjan I luvun II luvun laatiminen , s. 26
Bourbaki, Matematiikan elementit: joukko teoria , Hermann, 1970, uusintapaino 2006, EII13- Määritelmä 9
Cossartin ja Théronin kokoelma, matematiikka , 6. luokka , Bordas, 1969, s.28
Sandie Ferrigno, Aurélie Muller-Gueudin, Didier Marx, Frédéric Bertrand, Myriam Maumy-Bertrand, tekniikan matematiikka, s. 18 on Google Books , Dunod, 2013
Alain Droguet, Algebra ja analyysi 1. vuosi - taloudellinen vaihtoehto, s. 6 ja 12 on Google Books , Breal, 2003
Catherine Berdonneau, Françoise Cerquetti-Aberkane, Matematiikan opettaminen päiväkodin koulussa, s. 45 on Google Books Hachette koulutus, 2007
Johdanto joukko-teoriaan [ yksityiskohtia painoksista ], s. 40.
Jean-Louis Krivine , Sarjateoria [ yksityiskohtia painoksista ], s. 13 (toiminnallinen suhde) ja s. 17 (toiminto tai sovellus), tai Paul Halmos , Johdatus teoriajoukkoon [ yksityiskohtia painoksista ], s. 40 (toim. 1970).

Aiheeseen liittyvät artikkelit