On matematiikka , joka on pari kahden objektin on tiedot näiden kahden esineitä määrätyssä järjestyksessä. Kahden kohteen pari ja on huomattava . Jos ja ovat erillisiä, pari on erillinen parista ; tässä parin käsite erotetaan parin käsitteestä . Pariskunnan nimeämiseksi englanninkieliset puhujat käyttävät järjestettyä paria , toisin sanoen järjestettyä paria .
Kohteita a ja b kutsutaan vastaavasti parin ensimmäiseksi ja toiseksi komponentiksi ( a , b ).
Ensimmäisen kerran primitiivisenä käsitteenä pariskunnan käsitteen ydin on seuraavassa ominaisuudessa :
Kaksi paria ovat samanarvoisia vain ja vain, jos niiden ensimmäiset komponentit ja toisaalta toiset komponentit ovat yhtä suuret.
Toisin sanoen, mitä 1 , 2 , b 1 , b 2 , meillä on:
( a 1 , a 2 ) = ( b 1 , b 2 ) vain ja vain, jos a 1 = b 1 ja a 2 = b 2 .Tämä ominaisuus on verrattava tasa paria , jonka b 1 ja b 2 voidaan muunnella suhteessa 1 ja 2 , joka ei ole paria.
Tämän vahvistaa seuraava seuraus:
Vääntömomentin osia ei voi vaihtaa keskenään muuttamatta vääntömomenttia, elleivät ne ole identtisiä . joka voidaan ilmaista muodollisemmin seuraavasti: ( a , b ) = ( b , a ) vain ja vain, jos a = b .Siksi:
Siksi komponenttien järjestys parissa on tärkeä, joten määritelmä:
Jos a eroaa b: stä, paria ( b , a ) kutsutaan symmetriseksi pariksi tai jopa parin vastavuoroiseksi pariksi ( a , b ).Asetettu kaikkien parien, joiden ensimmäinen komponentti kuuluu johonkin asettaa X ja toinen tahansa joukko Y kutsutaan karteesinen tuotteen näiden kahden ja on merkitty X x Y . Osajoukkoja on X x Y ovat kuvaajia .
Annetaan joukko parit C , joukko ensimmäisen komponenttien parit C kutsutaan ensimmäinen ulkonema on C , tai uloke ensimmäinen koordinaatti:
A = { x | ∃ y ( x , y ) ∈ C };joukko B toisen komponenttien parit C kutsutaan toinen uloke on C , tai uloke toisella koordinaatti:
B = { y | ∃ x ( x , y ) ∈ C }.Norbert Wiener huomasi ensimmäisenä (vuonna 1914), että pariskunnan käsite voidaan määritellä määritellyin ehdoin ja että tätä ei siis tarvinnut ottaa käyttöön primitiivisenä käsitteenä heti, kun se meillä on. . Yleensä käytetään pariskuntien edustusta Kazimierz Kuratowskin (1921) takia, katso alla. Tämä valinta on kätevä, mutta ei missään nimessä luonnostaan. Pariskuntien esitys joukko-teoriassa vaatii:
Kaikki hyödylliset matemaattiset ominaisuudet voidaan päätellä näistä ominaisuuksista. Itse asiassa Zermelo-Fraenkel -joukkoryhmässä parien ominaisuus on riittävä: muut kaksi ominaisuutta johdetaan siitä korvaamalla.
Parit määritellään yleensä joukko- teoriassa seuraavasti:
Määritämme x: lle ja y: lle kaikki kaksi joukkoa ( x , y ) = {{ x }, { x , y }}.Tässä määritelmässä meidän on käytettävä parin aksiomia kolme kertaa ensin muodostamaan singletti { x }, sitten muodostamaan pari (tai singletoni) { x , y } ja lopuksi muodostamaan pari (tai singletti) {{ x }, { x , y }}.
Olemme määritelleet selvästi parin käsitteen ainutlaatuisella tavalla. Ominaisuusominaisuus johtuu ekstensionaliteetin aksiomasta :
kaikille sarjoille x, y, x 'ja y', jos {{ x }, { x , y }} = {{ x ' }, { x' , y ' }} , niin x = x' ja y = y ', tämä joukko-teoriassa, joka varmistaa parin aksiooman ja ekstensionaliteetin aksiooman.Riittää, että käytetään tasa-arvoehtoa kahdelle parille (tai singletonille) ja erotetaan huolellisesti kaikki mahdolliset tapaukset.
Oletetaan, koska joukko paria C . Sitten C: n komponentit kuuluvat joukkoon E, joka on saatu täyttämällä C: n alkioiden yhteenliittymä , ja siksi voimme määritellä ymmärtämällä C: n kaksi projektiota , toisin sanoen C: n ensimmäisten komponenttien joukon A , ja joukko B sen toisista komponenteista: E = ∪∪ C ; A = { x ∈ E | ∃ y ( x , y ) ∈ C }; B = { y ∈ E | ∃ x ( x , y ) ∈ C }.
Tämä on hyödyllistä määritellä esimerkiksi määritelmää tai kuva joukko suhde tai funktion nähdään sarjaa parit (käytämme aksiooma liiton , ja järjestelmän aksioomat ymmärtäminen ).
Käyttämällä paria, unionia, osajoukon aksiomia , sitten ymmärtämistä, osoitamme myös, että kun X ja Y ovat kaksi annettua joukkoa, Kuratowski-parit, joiden ensimmäinen komponentti kuuluu X: lle ja toinen Y: lle, muodostavat joukon joka on, tämän koodauksen karteesinen tulo on X ja Y (ks karteesinen tulo # edustusto set theory ). Korvaava Axiom järjestelmä eliminoi tarpeen kaikki osat.
Siksi kaikki hyödylliset ominaisuudet on esitetty Zermelon sarjajoukossa .
Wiener käytti vuonna 1914 seuraavaa parien määritelmää: ( x , y ) = {{{ x }, ∅}, {{ y }}}, mikä on tuskin monimutkaisempaa kuin Kuratowskin.
Voimme käyttää myös ( x , y ) = { x , { x , y }}, mutta ominaisuusominaisuuden todistaminen vaatii perustuksen aksiooman . Tällä määritelmällä on kätevä ominaisuus, että pari sisältää aina kaksi elementtiä, x ja { x , y }, jotka ovat välttämättä erillisiä, mikä ei ole Kuratowski- tai Wiener-parien tapauksessa.
Joukko-teoriassa kutsumme toisinaan kytkentäfunktiota funktioksi (intuitiivisessa mielessä eikä joukko-teoriaan, jossa työskentelemme), joka mihin tahansa kahteen objektiin x ja y yhdistää objektin ( x , y ) parien ominaispiirteiden täyttäminen:
( x , y ) = ( x ' , y' ) ⇔ ( x = x ' ja y = y' ).Kuratowskin tai Wienerin parien esittäminen tarjoaa esimerkkejä kytkentätoiminnosta. Pariskuntien tavanomaiset matemaattiset ominaisuudet johdetaan Zermelo-Fraenkelin joukko-teorian ominaispiirteestä riippumatta siitä, miten se määritellään. Erityisesti :
Toisen väitteen mukaan mikä tahansa parisarja on Cartesian tuotteen osajoukko.
Täällä, rakentaminen käsitteiden tehdään vastakkaiseen suuntaan: pari on määritelty päässä karteesinen tulo , joka on itse määritellyt funktioista, käsitteen funktio nähdään morfismi siksi että se sijaitsee hyvin alkupäässä teorian luokkiin .
Tämä on kuitenkin erityinen ja suhteellisen uusi visio luokateoriasta, jonka aksiomaattista perustaa ei ole vielä vahvistettu; useimmissa teoksissa luokkiin käytetyt peruskäsitteet, mukaan lukien parit ja toiminnot, perustuvat joukko-teoriaan.
Kolmoiset voidaan määritellä täyttävän ominaisuusominaisuus:
kaksi kolmoista ovat yhtä suuret ja vain, jos niiden ensimmäiset komponentit ovat yhtä suuret toistensa kanssa, myös niiden toiset komponentit ja kolmannet komponentit ovat samat .Tripletti ( a , b , c ) voidaan koodata muodossa ( a , ( b , c )) tai kahtena sisäkkäisenä parina. Pesimisjärjestyksen valinta on täysin mielivaltainen. Rakennusprosessi voidaan yleistää n -arvoiksi, n on mikä tahansa kokonaisluku.
Komponenttien äärettömyyteen yleistettynä emme enää puhu n- kokonaisuudesta vaan perheestä tai jatkamisesta laskettavassa tapauksessa .