Morfismi
Vuonna matematiikka termi " morfismi " tarkoittaa perusmerkitys, jonka avulla voidaan vertailla ja suhteuttaa matemaattisten objektien toisiinsa.
On yleisesti algebran , joka on morfismi (tai homomorfismi ) on sovellus kahden algebrallinen rakenne on samanlainen, toisin sanoen asetetaan varustettu lakien sisäisten tai ulkoisten koostumus (esimerkiksi kaksi ryhmää tai kaksi vektoriavaruuksia ), joka noudattaa tiettyjä ominaisuuksia kun siirrytään rakenteesta toiseen.
Morfismin käsite on yleisemmin luokka-teorian peruskäsitteitä ; silloin se ei välttämättä ole sovellus, vaan "nuoli", joka yhdistää kaksi "esinettä" tai " rakennetta ", jotka eivät välttämättä ole joukkoa.
Määritelmät
Olkoon ja olkoon kaksi- rakenteita , vastaavista sarjoista ja . Morfismi on vuonna on sovellus on on sellainen, että:
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}
EI{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
M{\ displaystyle M}
EI{\ displaystyle N}
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}EI{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}m{\ displaystyle m}
M{\ displaystyle M}EI{\ displaystyle N}
- mihin tahansa -arifunktiosymboliin ja kaikkeen mitä meillä on (mukaan lukien n = 0, joka vastaa vakioiden tapausta);ei{\ displaystyle n}
f∈L{\ displaystyle f \ sisään {\ mathcal {L}}}
(kloi)i∈Mei{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i} \ M ^ {n}}
m(fM(kloi)i)=fEI(m(kloi))i{\ displaystyle m (f ^ {\ mathcal {M}} (a_ {i}) _ {i}) = f ^ {\ mathcal {N}} (m (a_ {i})) _ {i}}
- mihin tahansa suhdesymboliin ja kaikkeen , jos niinei{\ displaystyle n}R∈L{\ displaystyle R \ paikassa {\ mathcal {L}}}
(kloi)i∈Mei{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i} \ M ^ {n}}(kloi)i∈RM{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i} \ muodossa R ^ {\ mathcal {M}}}
(m(kloi))i∈REI{\ displaystyle (m (a_ {i})) _ {i} \ muodossa R ^ {\ mathcal {N}}}
vs.EI{\ displaystyle c ^ {\ mathcal {N}}}
nimetään symbolin tulkinta rakenteessa .
vs.{\ displaystyle c}
EI{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}
Monoidien tapaus
Monoidien luokassa morfismi on sovellus , joka on kahden monoidin välillä ja joka vahvistaa:
f:(M,∗,e)⟶(M′,⋆,e′){\ displaystyle f: (M, *, e) \ longrightarrow (M ', \ tähti, e') \,}
(M,∗,e){\ displaystyle (M, *, e) \,}
(M′,⋆,e′){\ displaystyle (M ', \ tähti, e')}
-
∀(g,h)∈M2, f(g∗h)=f(g)⋆f(h){\ displaystyle \ forall (g, h) \ muodossa M ^ {2}, ~ f (g * h) = f (g) \ tähti f (h)}
;
-
f(e)=e′{\ displaystyle f (e) = e '}
.
Ryhmien tapaus
Kun luokka ryhmien , eli morfismi on sovellus , kahden ryhmien ja , joka tarkastaa:
f:(G,∗)⟶(G′,⋆){\ displaystyle f: (G, *) \ longrightarrow (G ', \ tähti) \,}
(G,∗){\ displaystyle (G, *) \,}
(G′,⋆){\ displaystyle (G ', \ tähti) \,}
-
∀(g,h)∈G2, f(g∗h)=f(g)⋆f(h){\ displaystyle \ forall (g, h) \ muodossa G ^ {2}, ~ f (g * h) = f (g) \ tähti f (h)}
.
Olemme tyytyväisiä tähän yksittäiseen ehtoon, koska se johtaa ja .
f(e)=e′{\ displaystyle f (e) = e '}∀x∈G,f(x-1)=(f(x))-1{\ displaystyle \ forall x \ in G, f (x ^ {- 1}) = (f (x)) ^ {- 1}}
Sormukset tapaus
Kun luokka renkaat , eli morfismi on kuvaus kahden (yhtenäinen) renkaat , joka täyttää kolme ehtoa:
f:AT→B{\ displaystyle f: A \ - B}
-
∀klo,b∈AT, f(klo+ATb)=f(klo)+Bf(b){\ displaystyle \ kaikki a, b \ A: ssa, ~ f (a + _ {A} b) = f (a) + _ {B} f (b)}
;
-
∀klo,b∈AT, f(klo∗ATb)=f(klo)∗Bf(b){\ displaystyle \ kaikki a, b \ A: ssa, ~ f (a * _ {A} b) = f (a) * _ {B} f (b)}
;
-
f(1AT)=1B{\ displaystyle f \ vasen (1_ {A} \ oikea) = 1_ {B}}
.
jossa , ja (vastaavasti , ja ): llä toiminnan ja vastaavien multiplikatiivisen neutraali kahdesta renkaasta ja .
+AT{\ displaystyle + _ {A}}
∗AT{\ displaystyle * _ {A}}
1AT{\ displaystyle 1_ {A}}
+B{\ displaystyle + _ {B}}
∗B{\ displaystyle * _ {B}}
1B{\ displaystyle 1_ {B}}
AT{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
Vektoritilojen tapaus
Kun luokka vektoriavaruuksia (fi) on kiinteä kenttä K , eli morfismi on sovellus , kahden K - vektori tilat ja , joka on lineaarinen, ts, joka täyttää:
f:E→F{\ displaystyle f: E \ - F}
(E,+E,⋅E){\ displaystyle (E, + _ {E}, \ cdot _ {E})}
(F,+F,⋅F){\ displaystyle (F, + _ {F}, \ cdot _ {F})}
-
f{\ displaystyle f}
on in- ryhmien morfismi ;(E,+E){\ displaystyle (E, + _ {E})}
(F,+F){\ displaystyle (F, + _ {F})}
-
∀x∈E, ∀λ∈K, f(λ⋅Ex)=λ⋅Ff(x){\ displaystyle \ forall x \ E, ~ \ forall \ lambda \ K, ~ f (\ lambda \ cdot _ {E} x) = \ lambda \ cdot _ {F} f (x)}
,
mikä vastaa:
∀(x,y)∈E×E, ∀λ∈K, f(λ⋅Ex+Ey)=λ⋅Ff(x)+Ff(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ E \ kertaa E, ~ \ forall \ lambda \ K, ~ f (\ lambda \ cdot _ {E} x + _ {E} y) = \ lambda \ cdot _ {F} f (x) + _ {F} f (y)}
.
Algebrojen tapaus
Kahden - erilaisten algebrojen ja morfismin tapauksessa:
K{\ displaystyle K}
(AT,+,×,.){\ displaystyle (A, +, \ kertaa ,.)}
(B,+˙,×˙,.){\ displaystyle (B, {\ piste {+}}, {\ piste {\ kertaa}},.)}
-
f{\ displaystyle f}on lineaarinen kartta vuonna ;AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
-
f{\ displaystyle f} on rengasmorfismi,
mikä vastaa:
-
f(1AT)=1B{\ displaystyle f (1_ {A}) = 1_ {B}}
;
-
∀(x,y)∈AT2, ∀(λ,μ)∈K2, f(λ.x+μ.y)=λ.f(x)+˙μ.f(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ muodossa A ^ {2}, ~ \ forall (\ lambda, \ mu) \ muodossa K ^ {2}, ~ f (\ lambda .x + \ mu .y) = \ lambda .f (x) {\ piste {+}} \ mu .f (y)}
;
-
∀(x,y)∈AT2, f(x×y)=f(x)×˙f(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ muodossa A ^ {2}, ~ f (x \ kertaa y) = f (x) {\ piste {\ kertaa}} f (y)}
.
Tilattujen sarjojen tapaus
Morfismi kahden järjestetyt joukot ( , ⊑) ja ( B , ≼) on kasvava kartta f välillä ja B (joka säilyttää järjestyksessä), toisin sanoen, joka täyttää: kaikille x ja y on siten, että x ⊑ y , meillä on f ( x ) ≼ f ( y ).
Ennakkotilattujen sarjojen morfismien määritelmä on identtinen.
Kun luokka topologinen avaruus , joka on morfismi on yksinkertaisesti jatkuva kartan kahden topologinen avaruus . Topologisessa viitekehyksessä sanaa "morfismi" ei käytetä, mutta se on sama käsite.
Mitattavien tilojen tapaus
Mitattavien tilojen luokassa morfismi on mitattava funktio.
Sijoitus
- Endomorphism on morfismi rakenteesta itsessään;
- isomorfismi on morfismi toisistaan kaksi varustettu samanlaista rakennetta, niin että on olemassa morfismi vastakkaiseen suuntaan siten, että ja ovat identiteetit rakenteiden;f{\ displaystyle f}f′{\ displaystyle f '}
f∘f′{\ displaystyle f \ circ f '}
f′∘f{\ displaystyle f '\ circ f}
- automorphism on isomorfismi rakenteesta itsessään;
- epimorfismi (tai epic morfismi ) on morfismi sellainen, että sillä mikä tahansa pari tyyppiä morphisms (ja siten myös kaikki ), jos , niin ;f:AT→B{\ displaystyle f: A \ - B}g,h{\ displaystyle g, h}
B→E{\ displaystyle B \ - E}
E{\ displaystyle E}
g∘f=h∘f{\ displaystyle g \ circ f = h \ circ f}
g=h{\ displaystyle g = h}
- monomorphism (tai monic morfismi ) on morfismi sellainen, että: ja mikä tahansa pari tyyppiä morphisms (ja näin ollen myös kaikki ), jos , niin .f:AT→B{\ displaystyle f: A \ - B}g,h{\ displaystyle g, h}E→AT{\ displaystyle E \ - A}
E{\ displaystyle E}f∘g=f∘h{\ displaystyle f \ circ g = f \ circ h}
g=h{\ displaystyle g = h}
Esimerkki: joukon identiteetti on aina automorfismi, riippumatta tarkastellusta rakenteesta.
Viitteet
-
(fi) Nicolae Popescu ja Liliana Popescu teoria Luokat , Sijthoff & Noordhoff,1979( lue verkossa ) , s. 3.
-
Lisätietoja, katso esimerkiksi (in) Maurice Auslander (de) ja David Buchsbaum (de) , ryhmät, renkaat, moduulit , Dover ,2014( 1 st toim. 1974) ( lukea verkossa ) , s. 85-86.
-
N. Bourbaki , Matematiikan elementit : Joukkoteoria [ yksityiskohtia painoksista ], s. IV.11 ja 12 (esimerkki 1).
Katso myös
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">