Pari
Pari on joukko , joka koostuu täsmälleen kaksi osaa .
Huomautukset
- Pari, joka sisältää kaksi elementtiä ja on merkitty .klo{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
{klo,b}{\ displaystyle \ vasen \ {a, b \ oikea \}}![{\ displaystyle \ vasen \ {a, b \ oikea \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bac9672293209127a0494d74b2bcbcc547a630d)
- Parin kirjoittamisjärjestyksellä ei ole merkitystä . Tämä erottaa parin parista .{klo,b}={b,klo}{\ displaystyle \ {a, b \} = \ {b, a \}}
![{\ displaystyle \ {a, b \} = \ {b, a \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec49ec790e8fbdd28bb908e19257a9e7123c1684)
- Kardinaali pari on 2 .
- Sarja ei ole pari vaan yksin, ja se on myös huomioitu .{klo,klo}{\ displaystyle \ vasen \ {a, a \ oikea \}}
{klo}{\ displaystyle \ vasen \ {a \ oikea \}}![{\ displaystyle \ vasen \ {a \ oikea \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a59d1671b718dfe027e192bf89be11fa4b070c)
Esimerkkejä
-
{1,3}{\ displaystyle \ vasen \ {1,3 \ oikea \}}
( pilkun jälkeen välilyönnillä ) on pari, joka käsittää kokonaisluvut ja .1{\ displaystyle 1}
3{\ displaystyle 3}![3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f)
-
{synti,exp}{\ displaystyle \ left \ {\ sin, \ exp \ right \}}
on toimintojen pari .
-
{{1},{1,2}}{\ displaystyle \ vasen \ {\ {1 \}, \ {1,2 \} \ oikea \}}
on pari, joka koostuu singletonista ja parista .{1}{\ displaystyle \ vasen \ {1 \ oikea \}}
{1,2}{\ displaystyle \ vasen \ {1,2 \ oikea \}}![{\ displaystyle \ vasen \ {1,2 \ oikea \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1e96cd66cfcc038eae69fa58ebc8806e6f74ce)
-
{5,AT}{\ displaystyle \ vasen \ {5, A \ oikea \}}
on pari, joka koostuu luvusta ja elementistä .5{\ displaystyle 5}
AT{\ displaystyle A}![AT](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
-
{7,2}={2,7}{\ displaystyle \ left \ {7,2 \ right \} = \ {2,7 \}}
sillä aikaa (7,2)≠(2,7){\ displaystyle (7.2) \ neq (2.7)}
Ominaisuudet
Elementin jäsenyys pariin (tai singletiin)
Elementti x kuuluu pariin vain ja vain, jos se on yhtä suuri kuin yksi tämän parin kahdesta elementistä. Tämä toteamus on itse asiassa yhtä pätevä singletonille. Siksi voimme kirjoittaa sen virallisesti annetuille a: lle ja b : lle:
∀ x, x ∈ { a , b } ⇔ ( x = a tai x = b )
(kyseinen "tai" tarkoittaa matematiikassa tavalliseen tapaan inklusiivista disjunktiota: lause pysyy totta, jos x = a ja x = b ).
Tämä ehdotus kuvaa pareja (tai singletoneja). Joukko-teorian aksiomatisaatiossa on erityinen aksiomi, jota kutsutaan pari-aksiomaksi , joka ilmaisee kaiken ja parin olemassaolon ja joka perustuu tähän ehdotukseen.
klo{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
{klo,b}{\ displaystyle \ {a, b \}}![\ {a, b \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8127b44bf0e5a64fdc9301e188852ab9b97a1fe8)
Kahden parin solmio
Kaksi paria ovat yhtä suuret ja vain, jos niiden elementit ovat yhtä suuret kaksi kerrallaan, yhdellä kahdella tavalla ne voidaan yhdistää. Tarkemmin sanottuna kahdelle parille tai singletille { a , b } ja { c , d }:
{ a , b } = { c , d } ⇔ [( a = c ja b = d ) tai ( a = d ja b = c )].
Muut ominaisuudet
Yksinkertainen laskentaperuste osoittaa, että n elementillä varustetun äärellisen joukon parien määrä on yhtä suuri kuinn ( n - 1)/2(katso artikkeli " Yhdistelmä ").
Historia
Von Neumann toteaa vuoden 1923 artikkelissaan, joka on joukko-teorian ensimmäisiä, parit , kuten tänään huomaisimme. Huomaa, että hän määrittelee kokonaisluvun pariksi , jonka hän kirjoittaa .
(klo,b){\ displaystyle (a, b)}
2{\ displaystyle 2}
{∅,{∅}}{\ displaystyle \ vasen \ {\ lakkaus, \ {\ lakkaus \} \ oikea \}}
(O,(O)){\ displaystyle \ left (\ mathbf {O}, (\ mathbf {O}) \ oikea)}![{\ displaystyle \ left (\ mathbf {O}, (\ mathbf {O}) \ oikea)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4176f41691f5c540ee2feda37177a0bee1de43d)
Huomautuksia ja viitteitä
Huomautuksia
-
Sarjassa teoriassa , me kutsumme ”pari”, joka koostuu kahdesta elementtejä, jotka eivät välttämättä ole erillisiä. Esimerkiksi pari-aksioma viittaa sekä pareihin että singletoneihin. Toisaalta, yhdistelmissä pari on todellakin muodostettava kahdesta erillisestä elementistä.
Viitteet
-
(De) Johann von Neumann , " Zur Einführung der transfiniten Zahlen " , Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum , voi. 1,1923, s. 199-208 ( lue verkossa ).
-
(in) John von Neumann , "On käyttöönotto transfinite numeroita" in Jean van Heijenoort , Vuodesta Fregen että Gödel : Source Book matemaattisen logiikan, 1879-1931 , Harvard University Press ,tammikuu 2002, 3 ja toim. ( ISBN 0-674-32449-8 , online-esitys , lue verkossa ) , s. 346-354.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">