On matematiikka , hyperbolinen geometria (aiemmin nimeltään geometria Lobachevsky , joka oli ensimmäinen julkaista perusteellisen tutkimuksen siitä) on ei-euklidisen geometrian tarkastamiseksi neljä ensimmäistä postulaatit ja Euclid , mutta joka viidennen olettamus , joka vastaa väittää, että viivan ulkopuolisella pisteellä kulkee yksi ja vain yksi sen kanssa yhdensuuntainen viiva, korvataan postulaatilla, jonka mukaan "viivan ulkopuolella olevalla pisteellä kulkee useita tämän suuntaisia yhdensuuntaisia viivoja" (silloin on olemassa ääretön heistä).
Vuonna hyperbolinen geometria, useimmat metristä ominaisuuksien euklidisen geometrian eivät ole enää voimassa; etenkin Pythagoraan lause ei ole enää vahvistettu, ja kolmion kulmien summa on aina alle 180 °. Viivat pysyvät kuitenkin lyhimmän polun viivoina, jotka yhdistävät kaksi pistettä, minkä ansiosta Beltrami sai hyperbolisen tason tapauksessa mallintaa ne geodeettisina jatkuvan negatiivisen kaarevuuden pinnalla , koska elliptisen geometrian viivat mallinnetaan suurilla ympyröillä. on pallo .
Beltramin jälkeen Klein ja Poincaré rakensivat useita muita hyperbolisen geometrian malleja , kuten hyperboloidimallin tai Poincaré-levyn mallin . Nämä mallit osoittavat riippumattomuutta on selviö rinnastuksia , eli mahdottomuus osoittaa (tai vääräksi) sen muista aksioomista; tämä tarkoittaa myös sitä, että jos euklidinen geometria ei sisällä ristiriitaa, niin ei myöskään hyperbolinen geometria.
Fyysisen avaruutemme "todellisen" geometrian määrittäminen syntyi ei-euklidisten geometrioiden löytämisestä; alussa XXI nnen vuosisadan kokeellisia testejä vielä käytetä päättää, mitä se on, mikä on tasaisuus ongelma , yksi ratkaisemattomia kysymyksiä kosmologian.
Viides postulate Euclid (tällä hetkellä kutsutaan " selviö yhtäläisyyksiä ") näyttää aina ollut tila paljon vähemmän 'luonnollinen' kuin muut neljä, ja on sen sijaan koettu kuin lause, jonka todisteita ei ollut vielä saatu . Mielenosoituksia esiintyy antiikin ajoista lähtien, ja on olemassa monia virheellisiä "todisteita". Lupaavin tapa päätellä se muilta näyttää olevan järjettömyys järjettömyydellä , ja useat matemaatikot uskovat onnistuneen, saamalla kieltämällä postulaattitulokset, jotka heidän mielestään näyttävät olevan ristiriidassa terveen järjen kanssa, kuten se, että kaksi viivaa kohtisuorassa samalle linjalle siirtyisi poispäin toisistaan molempiin suuntiin. Näiden yritysten epäonnistumiset johtavat kuitenkin vähitellen ajatukseen, että muut geometriat ovat mahdollisia, ja muiden kuin euklidisten geometrioiden löytämiseen .
Historia hyperbolinen geometria itse näyttää kuitenkin aloittaa alusta XVIII nnen vuosisadan työtä italialainen matemaatikko Giovanni Girolamo Saccheri , jolla pyritään osoittamaan työhön elämänsä Euclides ab ympärisäteilevä naevo vindicatus ( Euclid pesty kaikkien tahra ), että Euclidin postulaatit ovat johdonmukaisia ja välttämättömiä geometrian määrittelemiseksi. Oletetaan erityisesti, että viides postulaatti on väärä, hän yrittää kehittää tämän hypoteesin kaikkia seurauksia, kunnes saa ristiriidan. Hän epäonnistuu tässä yrityksessä saaden suuren määrän outoja lauseita, mutta ei esitä niiden välillä epäjohdonmukaisuutta. Tajuamatta, että hänellä on uusi geometria edessä, hän päättää työnsä myöntämällä puolihäiriön.
Keskellä on XVIII nnen vuosisadan Johann Heinrich Lambert tutkittu myös seurauksista kieltäminen lähtökohta, ja saa näin oletettaisiinkin lauseiden ja tarkkoja tuloksia (nykyään katsotaan kuuluvan hyperbolinen geometria) kaavana summalle kulmien kolmio funktiona sen pinta-ala: C Δ = π - (α + β + γ) , jossa α, β, γ ovat kulmat kolme kolmion kärkipistei-, C kerroin suhteellisuusperiaatteen, ja Δ alue kolmio. Loppuvuodesta hänen elämänsä, hän näyttää ymmärtäneen, että nämä lauseet ilmeinen olemassaolo aitoja geometrian "pallolla kuvitteellinen säde . "
Se on Carl Friedrich Gaussin työ, joka tunnustetaan yleisesti hyperbolisen geometrian todelliseksi lähtökohdaksi, vaikka niitä ei koskaan julkaistu hänen elinaikanaan. Hän muotoili muistiinpanoissaan vuodelta 1813 strukturoidun teorian, ja näyttää siltä, että hän oli täysin tietoinen siitä, että tällä geometrialla oli matemaattinen tila, joka oli samanlainen kuin euklidisella geometrialla.
Hyperbolisen geometrian löytää ja tutkii laajasti Nikolai Lobachevsky vuodelta 1830 ja itsenäisesti János Bolyai vuodelta 1825 teoksissa 1831; Nämä teokset saivat kuitenkin vasta hyvin myöhäistä tunnustusta, kun Gaussin ja Heinrich Christian Schumacherin kirjeenvaihto julkaistiin vuonna 1865 , jossa Gauss puhui erittäin Lobachevskystä ja Bolyaiista.
Hyperbolista geometriaa pidetään uteliaisuutena, jolla ei ole todellista käytännön merkitystä (Lobachevsky kutsuu sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi, siinä mielessä, että se vastustaa fyysisen avaruuden todellista geometriaa), kunnes Eugenio Beltrami ehdottaa sitä vuonna 1868 useiksi malleiksi (joita hän kutsuu edustuksiksi). ), mukaan lukien konformaalinen ja projektiivinen esitys, jonka Henri Poincaré ja Felix Klein löysivät myöhemmin , sekä pseudosfäärimalli . Hän osoittaa näiden esitysten avulla, että jos euklidinen geometria on matemaattisesti johdonmukainen , niin hyperbolinen geometria on välttämättä niin, ja siksi rinnakkaisten aksioma on riippumaton muista.
Vuonna 1872 Felix Klein osoittaa Erlangenin ohjelmassa , että kaikki geometriat, euklidiset ja ei-euklidiset, voidaan nähdä projektiivisen geometrian osa-geometrioina käyttämällä etuoikeutettua kartiota (kutsutaan absoluuttiseksi kartioksi ) (tämä rakenne on se, joka määrittelee Cayley-Klein metrinen ); "Todellisen" kartion valinta absoluuttiseksi kartiosta mahdollistaa Lobachevskin geometrian rakentamisen ja selittää osittain "hyperbolisen geometrian" nimen, jonka Klein sille antaa ja joka tästä lähtien liittyy siihen.
Tämä osa kuvaa vain tasolukujen ominaisuuksia; todellakin, korkeamman ulottuvuuden hyperbolisen avaruuden geometria voidaan päätellä tasosta kuten euklidisissa tapauksissa, eikä ole olennaisesti uusia ilmiöitä.
Tason ominaisuuksien, jotka voidaan osoittaa Eukleidesin aksioomista (tai tiukemmasta ja nykyaikaisemmasta muotoilusta, kuten Hilbertin ominaisuuksista ), lukuun ottamatta rinnakkaisaksiomia , sanotaan kuuluvan absoluuttiseen geometriaan . Siten osoitamme esimerkiksi, että kahdella kohtisuoralla samalle viivalle ei ole yhteisiä pisteitä, ja siksi rinnakkaisuuksia on aina olemassa (siksi elliptinen geometria ei ole absoluuttinen geometria). Monet hyperbolisen geometrian ominaisuudet ovat samansuuntaisia euklidisen geometrian ominaisuuksien kanssa, toisinaan uudelleen muotoilun kustannuksella: näin ollen voidaan helposti osoittaa, että minkä tahansa kolmion sisäpuoliset puolittimet ovat samanaikaisia ( klassisessa todisteessa ei käytetä rinnakkaisuuden käsitettä), ja siksi tähän kolmioon on merkitty ympyrä ; kohtisuorien puolittimien ominaisuudet saisivat meidät ajattelemaan, että ne ovat myös samanaikaisia ja siksi on olemassa myös rajattu ympyrä , mutta tämä tulos on yleensä väärä hyperbolisessa tasossa, koska kaksi kohtisuoraa kahteen samanaikaiseen viivaan voivat olla yhdensuuntaiset; Totuus on kuitenkin se, että jos kaksi kolmion kohtisuoraa puolittinta leikkaa, kolme kohtisuoraa puolittinta ovat samanaikaisia (sama tulos pätee myös kolmion korkeuksiin ).
Hyperbolinen geometria saadaan absoluuttinen geometria korvaamalla selviö rinnastuksia (tai tarkemmin versio antama Proklos ) mukaan selviö väittämällä esimerkiksi, että "on olemassa ainakin kaksi konkurrenssi yhdensuuntainen samaan kolmanteen". Todistamme sitten, että mille tahansa viivalle D ja pisteelle P, joka ei ole D: llä , on P: n läpi kulkevia ja D: tä vastaamattomia viivoja, jotka sijaitsevat kahden rajaviivan välissä, jotka muodostavat kulman 2 θ riippuen vain etäisyydestä P: stä D: hen ; θ kutsutaan rinnakkaisuuskulmaksi (tämän kulman laskeminen etäisyyden funktiona tehdään metriominaisuuksille omistetussa osassa ). Kaksi raja riviä sanotaan olevan asymptoottinen rinnakkain ja D (jotkut kirjoittajat varata aikavälillä yhtäläisyyksiä varten asymptoottinen yhtäläisyyksiä, muut ei-leikkausviivat sanotaan sitten olevan ultraparallel , tai joskus hyperparallel ). Todistamme, että jos tason kaksi viivaa ei ole erillisiä (rinnakkaisia tavallisessa euklidisessa mielessä), joko ne ovat asymptooteja, tai on olemassa yksi ja vain yksi linja kohtisuorassa molempiin nähden; tälle yhteiselle kohtisuoralle leikattu segmentti vastaa sitten näiden kahden linjan välistä vähimmäisetäisyyttä (joka on nolla kahdelle asymptoottiselle viivalle). Euklidiset käsitykset linjan suunnasta , joka määritetään rinnakkaisviivojen välisen vastaavuuden suhteena , ja viivan ääretön piste (määritelty projektiivisessa geometriassa , kun tämän linjan leikkauspiste l'-äärettömyyden viivan kanssa) katoavat, mutta on edelleen mahdollista määritellä ekvivalenssisuhde asymptoottisten rinnakkaisuuksien (linjat, joilla on nyt kaksi suuntaa) sekä käsitteen pisteistä äärettömyydessä; esimerkiksi Poincaré-levyn mallissa äärettömän pisteet muodostavat levyn rajoittavan ympyrän ja jokainen viiva (jota tässä mallissa edustaa ympyrän kaari) leikkaa tämän rajoittavan ympyrän kahdessa pisteessä, jotka vastaavat sen kahta suuntaa, kaksi linjat ovat rinnakkaisia asymptooteja, jos niillä on yhteinen piste äärettömässä.
Säteen r ympyrän metriset ominaisuudet eroavat euklidisen tason ominaisuuksista: sen kehä ja pinta-ala ovat vastaavasti suuremmat kuin 2π r ja π r 2 . Mutta lisäksi tietyt euklidisten linjojen ominaispiirteet määrittelevät hyperbolisen tason käyrät, joilla ei ole euklidista analogia, mutta jotka tietyillä sivuilla voidaan tulkita yleistyneiksi ympyröiksi: kiinteällä etäisyydellä d d ' olevat pisteet tietyn suoran D muodostavat käyrä, jota kutsutaan hyperjaksoksi ; käyrät, joiden normaalit muodostavat kaikissa kohdissa asymptoottisesti yhdensuuntaisten viivojen perheen, kutsutaan horosyklikeiksi (tai joskus horicycleiksi ). Vuonna Poincaré levy malli , ympyrät, horocycles, ja hypercycles (sekä viivoja) ovat edustettuina mukaan eli kaarista. Kolmion muodostavan kolmen pisteen kautta kulkee tämän perheen yksittäinen käyrä (ympyrä, horosykli tai hyperpyörä), mikä siten yleistää käsitteen ympyrästä, joka on rajattu tähän kolmioon. Lopuksi, jos pisteiden sarja P n ( ) on sellainen, että segmentit S n = [ P n P n +1 ] ovat kaikki saman pituisia ja että näiden segmenttien väliset kulmat ovat kaikki yhtä suuret ja riittävän suuret, se muodostaa monikulmio ääretön säännöllinen , nimeltään säännöllinen apeirogoni , kirjoitettu horocycle tai hypercycle.
Kulma yläosassa on säännöllinen monikulmio , jossa on n- sivut (joka on voimassa euklidisessa tasossa) riippuu pituudesta on puolella, joka on hyperbolinen geometria ja voidaan tehdä niin pieneksi kuin halutaan; tästä syystä voimme tasoittaa hyperbolisen tason tasaisilla polygoneilla, joiden lukumäärä tahansa sivuja, ja millä tahansa määrällä polygoneja, joilla on yhteinen kärki (vaikka sitä ei ole euklidisessa tasossa kuin kolme säännöllistä laattaa ). Vastakkaisessa esimerkissä esitetään ( Poincaré-levyn mallissa ) säännöllisten viisikulmioiden laatoitus, jossa on viisi suorakulmaa.
Toisin kuin euklidinen taso, hyperbolisessa tasossa on absoluuttinen pituusskaala, joka on samanlainen kuin pallon säde pallomaisessa geometriassa ja joka voidaan tulkita "kaarevuudeksi", euklidisen tason muodonmuutokseksi, joka tekee esimerkiksi kolmion alle 180 ° kulmien summa; Gauss määritteli yleisemmin käsitteen sisäisestä kaarevuudesta mille tahansa pinnalle käyttämällä vain pinnalle piirrettyjä viivoja; Tämän määritelmän on osoitettu, että hyperbolinen taso on jatkuvasti kaareva pinta negatiivinen K . Valitsemalla sopivasti pituuden yksikkö voimme ottaa K: n olevan -1; tätä käytäntöä käytetään seuraavassa. Yleisempien kaavojen vuoksi olisi tarpeen kertoa -K: lla kaikki siellä esiintyvät pituudet; siten suorakulmion sivujen välisestä suhteesta tulee yleisesti cosh ( Kc ) = cosh ( Ka ) cosh ( Kb ) ja säteen r levyn pinta-ala on .
RinnakkaisuuskulmaJos P on kohta ulkopuolella linja D ja H- ortogonaaliset projektio D (jossa a = HD etäisyys P ja D ), esitetyissä kaavoissa alla suorakulmainen kolmio PHM , jossa M on D siirtymässä pois äärettömään, johtaa kaava, joka antaa rinnakkaiskulman sinin θ , kaava, jonka Lobachevsky löysi :
.Tämä kulma nousee nopeasti 0: een, kun P siirtyy poispäin D: stä , toisin sanoen suurin osa P: n läpi kulkevista linjoista on yhdensuuntaisia D: n kanssa .
AlueetSäteen r ympyrän kehä on 2π sinh ( r ) = π (e r - e - r ) ja vastaavan levyn pinta-ala on ; täten levyn pinta-ala kasvaa säteensä kanssa paljon nopeammin kuin euklidisella tasolla. Se on aivan erilainen kolmion alueella Δ (jonka kulmat α , β ja γ ovat kaikki pienempiä, koska sivut ovat suuret): Lambert osoitti, että Δ = π - (α + β + γ) , kaava, joka on identtinen allekirjoittaa Girard kaava on Pallotrigonometria , ja joka osoittaa ohimennen, että kulmien summa on kolmion on aina pienempi kuin π .
Hyperbolisen kolmion trigonometriaMuodollisesti, voidaan saada vastaavat tulokset hyperbolinen tasoon olettamalla kolmio piirretään pallo, jonka kuvitteellinen säde R = i (toisin sanoen, että R 2 = -1 ); toisin sanoen korvaamalla pallomaisen trigonometrian klassisissa kaavoissa kaarien (ja ei kulmien) sinit ja kosinit hyperbolisilla sini- ja kosinusineilla (ja korjaamalla tietyt merkit). Näin ollen kolmion ABC kohdalla on samat käytänteet kuin pallomaisessa tapauksessa (sivut merkitsivät a = BC , b = AC ja c = AB ; vastaavat kulmat merkitsivät α , β ja γ ), meillä on kosinilaki : cosh ( c ) = cosh ( a ) cosh ( b ) - sinh ( a ) sinh ( b ) cos (γ) , kaksoiskosinilaki : cos (γ) = - cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) cosh ( c ) , ja sine lakia : . Erityisesti C: n suorakulmion suhteen meillä on cosh ( c ) = cosh ( a ) cosh ( b ) ; kuten cosh ( x ) ≈ 1 +x 22kun x on riittävän pieni, löydämme lopulta Pythagoraan lauseen.
He kutsuvat suunnitelma liikkuvat isometria joka säilyttää suunnan . Kierrosta hyperbolisen tason määritellään täsmälleen kuten euklidisen geometrian: jos r on pyörimisen keskustasta C ja kulman α, kuva mukaan r , A ' = r ( ) on asetuspisteen siten, että CA' = CA ja että kulma ; sen osoittaminen, että tämä muutos on todellakin siirtymä, ei riipu rinnakkaisuuksien aksiomasta. Toisaalta hyperbolisessa geometriassa ei ole todellisia käännösten analogeja ; mikä on lähinnä sitä, on kiertyminen äärettömän C- pisteen ympäri , muunnos, jonka muodostaa kahden ortogonaalisen symmetrian yhdiste, jolla on akseleille kaksi samanaikaista suoraa viivaa tässä pisteessä (siis yhdensuuntaiset asymptootit); tällaisen muunnoksen iteraatioissa kukin piste kulkee säännöllisen apeirogonin pisteet, jotka on merkitty keskuksen C horosykliin (tätä muunnosta kutsutaan joskus keskuksen C horoloitumiseksi ). Yleisemmin osoitetaan, että mikä tahansa hyperbolisen tason siirtymä koostuu kahdesta ortogonaalisesta symmetriasta: se on identiteetti, jos symmetria-akselit sekoitetaan, se on tavallinen kierto, jos ne leikkaavat, se on horolatio s 'ne ovat yhdensuuntaisia asymptootit, ja lopuksi, jos kaksi symmetria-akselia ovat ultraparaalisia, tämä siirtymä on käännös niiden yhteisestä kohtisuorasta , kun taas muut pisteet kulkevat hyperpyörissä, joiden akseli on kohtisuorassa.
Keksintöä René Descartes on koordinoida järjestelmien, jotka kantavat hänen nimeään synnytti analyyttinen geometria , geometrian ratkaista ongelmia menetelmiä algebran . Hyperbolisen tason pisteet on mahdollista tunnistaa samalla tavalla numeropareilla, yleisimmin käytetty järjestelmä on aksiaalisten koordinaattien järjestelmä (ottamalla pisteen koordinaateille sen kohtisuorat projektiot kahdelle kohtisuoralle akselille), mutta nämä järjestelmät ovat kaukana siitä, että se on myös kätevää, koska kaavat ovat monimutkaisia, jotka kuvaavat tavanomaisia lukuja (viivat ja ympyrät) tai sallivat kulmien ja etäisyyksien laskemisen tämän vuoksi useimmat tietokonesovellukset käyvät läpi laskelmia Poincaré-levymallissa .
Teoria mallien löytää sen lähde tarkasti esimerkeissä rakentama Eugenio Beltrami , joka antoi heille nimen esityksiä ; hänelle geometrian esitys on esineiden rakentaminen tavallisessa euklidisessa avaruudessa (tai yleisemmin avaruudessa ) esineitä, jotka vastaavat johdonmukaisella tavalla geometriaa ja sen ominaisuuksia. Esimerkiksi Minkowskin kaavio kuvaa Minkowskin geometriaa ; pallo suurine ympyröineen muodostaa esityksen elliptisestä geometriasta . Beltrami käytetään eri esityksiä saaneensa tiukasti osoittaa itsenäisyyttä on selviö yhtäläisyyksiä .
Kaikki hyperbolisen geometrian esitykset ovat matemaattiselta kannalta vastaavia, toisin sanoen on olemassa isomorfismeja, jotka mahdollistavat siirtymisen yhdestä edustuksesta toiseen; tässä mielessä matemaatikot puhuvat hyperbolisesta tasosta yhtenä esineenä.
Sen varmistamiseksi, että alla esitetyt erilaiset esitykset ovat todellakin hyperbolisen geometrian malleja (toisin sanoen, että ne tarkistavat kaikki sen aksioomat), ei riitä sanomaan, mitkä "viivat" ovat; on myös tarpeen määritellä (segmenttien) kongruenssin käsite tai, mikä tarkoittaa samaa asiaa, pisteiden välinen etäisyys (joka on välttämättä erilainen kuin tavallinen avaruuden etäisyys). Kaavat, jotka määrittelevät nämä etäisyydet jokaiselle mallille, löytyvät vastaavista yksityiskohtaisista artikkeleista.
Tässä mallissa hyperbolinen tila on avoin euklidinen pallo. Dimensiossa 2 hyperbolinen taso on siis mallinnettu avoimella levyllä. Hyperbolisen avaruuden viivat ovat segmenttejä, joiden päät kuuluvat pallon reunaan; etäisyys saadaan Cayley-Klein metrinen . Hyperbolisten viivojen esittäminen on tässä mallissa helppoa, mutta kulmat eivät säily ja ympyrät ovat ellipsit.
Pallo (tai ympyrä dimensiossa 2), joka rajoittaa mallin aluetta, vastaa hyperbolisen avaruuden pisteitä, jotka sijaitsevat äärettömissä . Lisäksi, mitä lähempänä toimialueen reunaa olemme, sitä enemmän etäisyydet näyttävät supistuvan mallissa.
Kuten Klein-Beltrami-mallissa, tässä mallissa hyperbolista tilaa edustaa avoin euklidinen pallo (ja siten myös levy 2), mutta tämän hyperbolisen avaruuden viivat ovat ympyränkaaria, kohtisuorassa pallon palloon. ; etäisyys määritetään Poincaré-mittarilla . Tämän esityksen mielenkiinto on, että paikallisesti avaruuden metriikka on yhdellä tekijällä mallin euklidinen metriikka. Erityisesti kahden hyperbolisen avaruuden viivan välinen kulma on yhtä suuri kuin euklidisen geometrian kulma, jonka muodostavat mallin nämä kaksi viivaa edustavan ympyrän kaaren. Sanomme, että hyperbolisen avaruuden esitys on konforminen .
Kuten Klein-Beltrami-mallissa, mallin aluetta rajoittava pallo (tai ympyrä ulottuvuudessa 2) vastaa äärettömässä sijaitsevia hyperbolisen avaruuden pisteitä , etäisyydet näyttävät supistuvan lähestyttäessä toimialueen reunasta.
Tässä mallissa hyperbolinen tila on avaruuden puolikas tila . Dimensiossa 2 hyperbolista tasoa mallinnetaan siis euklidisella puolitasolla. Tämän hyperbolisen avaruuden viivat ovat ympyränkaaria, jotka ovat kohtisuorassa hypertasoon (tai linjaan ulottuvuudessa 2), rajoittavat puoliavaruutta; etäisyys määritetään metriikan avulla Esitys on jälleen yhdenmukainen.
Tässä mallissa aluetta rajoittava hypertaso (tai suora viiva dimensiossa 2) vastaa hyperbolisen avaruuden pisteitä, jotka sijaitsevat äärettömissä . Etäisyydet supistuvat lähestyessään tätä hypertasoa ja laajenevat siirtyessään.
Tässä mallissa, jota Poincaré ja erityisesti Killing tutkivat 1880-luvulla, hyperbolinen tila on hyperboloidiarkki , joka on varustettu tietyllä mittarilla. Tarkemmin sanottuna, kun Minkowskin tilaan , toisin sanoen R- N + 1 , varustettuja pseudometric - dx2
0+ dx2
1+ ... + dx2
n, se on yhtälön x hyperboloidin taulukko2
0- x2
1- ... - x2
n= 1 siten, että x 0 > 0 , mukana indusoitu pseudometriikka, joka on itse asiassa homogeeninen Riemannin-metriikka. Minkowski osoitti vuonna 1908, että tämä malli identifioitiin erityisen suhteellisen suhteellisen nopeusvektorien ( Geschwindigkeitsvectoren ) avaruuteen .
Eugenio Beltrami ehdotti vuonna 1868, että negatiivisen vakion kaarevuuden pinta otettaisiin hyperbolisen tason malliksi (ja kutsuttaisiin tämän pinnan geodeetteja "viivoiksi" ). On mahdotonta ( Hilbertin lauseen mukaan ) saada näin mallia koko hyperbolisesta tasosta, jossa ei ole singulariteetteja , mutta pseudosfääri on paras esitys; sillä on myös se etu, että pidetään tavallinen metriikka mittaamalla etäisyydet geodeettisilla pituuksilla. Henri Poincaré osoitti yleisemmin hyperbolisen tason vastaavuuden minkä tahansa "abstraktin" pinnan kanssa (teknisesti mikä tahansa ulottuvuuden 2 Riemannin-jakokanava ) täydellisen ja yksinkertaisesti yhdistetyn vakionegatiivisen negatiivisen kaarevuuden , jonka sen geodeettiset ominaisuudet tarjoavat; tämä tulos on erityistapaus hänen yhdenmukaistamislauseestaan .
Määritellä hyperbolinen tilaa ulottuvuus n , jota merkitään H: n , on mahdollista käyttää itsestään selvää lähestymistapa uudelleen (luottamalla esimerkiksi Hilbertin aksioomat ); toisaalta Felix Kleinin määritelmä voidaan helposti yleistää missä tahansa ulottuvuudessa korvaamalla absoluuttinen kartio hyperneliöllä .
Nykyaikaiset määritelmät tukeutuvat kuitenkin mieluummin Riemannin jakotukin käsitteeseen : H n on Riemannin nukkuma, joka on ulottuvuudeltaan n , yksinkertaisesti yhdistetty symmetrisesti ja jolla on vakio ja negatiivinen poikkileikkauksen kaarevuus (kaikki nämä ominaisuudet täyttävät jakotukit ovat isomorfisia ja jopa isometrisiä). "Linjat" ovat tämän jakotukin geodeettisia ominaisuuksia, ja jokaisen pisteen läpi kulkee ainakin yksi alajakaja isomorfinen aiemmin tutkittuun hyperboliseen tasoon; tämä lähestymistapa johtaa vastavuoroisesti ihmettelemään, mitkä geometriat ovat yhteensopivia tietyn jakotukin kanssa (ja erityisesti mitkä olosuhteet ovat välttämättömiä sille, että sille voidaan tarjota hyperbolinen geometria); Tämän tutkimuksen huipentui vuonna 2003, jolloin mielenosoituksen Grigori Perelman on Thurston geometrization arveluihin .
Kolmas, lisää rakentava lähestymistapa koostuu määriteltäessä H n olevan yksi edellä mainittujen mallien (jotka ovat kaikki isomorfinen toisiinsa), hyperboloidin malli yksinkertaisuuden vuoksi laskelmat, tai Poincare mallin , yhteensopimattoman , kätevä graafisia esityksiä. Hyperboloidin malli, erityisesti, voidaan määritellä osamäärä on tilaa matriiseja , mikä antaa sille rikas algebrallinen rakenne, ja helpottaa tutkimus sen isometries .
On ehdotettu myös useita puhtaasti geometrisia lähestymistapoja; toisaalta Bachmannin axiomatics , joka on rakennettu vuonna 1959 käyttäen vain esiintyvyyden, ortogonaalisuuden ja isometrian käsitteitä ; toisaalta, 2000-luvun alkupuolella löydettiin algebrallinen rakenne , gyrovektoriaalinen tila , joka pelaa hyperbolisen geometrian suhteen samaa roolia kuin vektoritilan rakenne, euklidisessa geometriassa.
Yleisemmin Mikhail Gromov löysi noin vuoden 1985 jälkeen hyperboliset metriset tilat , tilat, joilla on samanlaiset ominaisuudet kuin hyperbolisella avaruudella, ja jotka määritetään käyttämällä etäisyyksien välistä suhdetta , Gromovin tuotetta .
Modulaarinen ryhmä toimii luonnollisesti hyperbolisen tasolla, enemmän erityisesti edustavista Poincarén; se on alaryhmä sen tilavuus ryhmä , jota edustaa näissä malleissa jonka Möbiuskuvausten . Modulaarinen käyrät on määritelty osamäärät hyperbolisen tason joidenkin alaryhmien modulaarisen ryhmä; vastaavat ekvivalenssiluokat johtavat hyperbolisen tason laatoitukseen, jota ovat tutkineet erityisesti Poincaré , Dedekind ja Klein .
Geode virtaus on kompakti Riemannin moninaiset kielteisiä kaarevuus on kaikkein kaoottinen jatkuva-aikaisen dynaaminen järjestelmä prototyyppi , kiinteistön huomannut jo 1898 Hadamard . Tiedämme nyt, että tämä virtaus on Bernoulli ja siksi erityisen ergodinen, sekoittaminen (" sekoittaminen ") jne. Lukuisia yksityiskohtaisia tutkimuksia tulvasta ja sen sovelluksista on julkaistu 1980-luvun lopulta.
Teoria monimutkaisuus , sen tavallisessa muodossaan olettaa maailmassa, jossa signaalit etenevät välittömästi, ja joissa tämän vuoksi lukeminen data vie aina samaan aikaan. Mutta yksityiskohtaisempia analyyseja on ehdotettu; sitten havaittiin, että hyperbolisessa maailmassa tietylle etäisyydelle voidaan tallentaa paljon enemmän tietoa, mikä mahdollistaa tiettyjen laskelmien nopeuttamisen; voimme erityisesti osoittaa, että P = NP (tulos, jolla ei valitettavasti ole käytännön sovellusta).
Jo vuonna 1908 Hermann Minkowski huomasi, että erityisen suhteellisen suhteellisuustason nopeusvektorien tila käyttäytyi kuin hyperbolinen taso (se on hyperboloidin malli ). Nopeuksien koostumus synnyttää siten algebrallisen rakenteen, jota kutsutaan gyrovektoritilaksi , jonka määrittelivät ja tutkivat 2000-luvulta useat kirjoittajat, mukaan lukien Abraham A.Ungar, ja joka on löytänyt sovelluksia varsinaisessa hyperbolisessa geometriassa, mutta myös esimerkiksi tutkimuksessa n Bloch alalla .
Gauss , sitten Lobachevsky , katsoi, että fyysisen avaruuden geometria ei ollut euklidista, mutta geodeettiset ja jopa astrometriset mittaukset, jotka he pystyivät saavuttamaan, vain vahvistivat rinnakkaisuuksien aksioman. Kysymys otettiin fyysisestä näkökulmasta, kun Einstein muotoili yleisen suhteellisuusteoriansa , jonka mallissa oletetaan, että massat "taipuvat" tilaa. Koko avaruuden geometrian ja erityisesti sen kaarevuuden määrittämisestä tulee sitten kokeellisille kokeille altis kysymys, jossa käytetään erityisesti sitä tosiasiaa, että hyperbolisessa tilassa pallon tilavuus kasvaa paljon nopeammin kuin kuutio. Sen säde . Vuoden alussa 21 : nnen vuosisadan kuitenkin tila näyttää "flat" (euklidinen) ja mittausten tarkkuutta, että nykyinen tietämys fysiikan eivät selitä paljon: Tällä tasaisuus ongelma . Jotkut kosmologit , kuten Jean-Pierre Luminet , ovat kuitenkin ehdottaneet ”rypistyneen maailmankaikkeuden” nimellä universumimalleja, joista osa on peräisin hyperbolisesta avaruudesta H 3 (rakentamalla siitä osamäärä ). väittävät olevansa yhteensopivia havainnointitietojen kanssa.
Vaikka monissa sci-fi- ja fantasiateksteissä viitataan ei-euklidisiin geometrioihin ( Lovecraft mainitsi toistuvasti, että muinaisten käyttämä arkkitehtuurissa ajaa ne, jotka yrittävät ymmärtää sen hulluuden), näyttää siltä, että vain Christopher Priestin romaani , Le Monde inverti , vie paikka universumiin ( katenoidin pinta ), jolla on hyperbolinen geometria. Voimme kuitenkin mainita myös Géométriconin , sarjakuvan, joka kertoo Anselme Lanturlun seikkailut kaarevissa tiloissa, mukaan lukien hyperbolinen taso.
Maurits Escher ansiosta tarjoamia työkaluja hänelle Harold Coxeter vuonna 1952, käytetään toistuvasti tilings hyperbolisista tason muuttamalla niiden malleja, jotta ne anthropomorphic lukuja tai eläimiä, kuten Enkelit ja Demonit , tai sarjassa pyöreä rajoja .
Innoituksemme mallit, ja valmistettu paperi katsastaja William Thurston , Daina Taimiņa keksitty tekniikka virkkaamalla osien hyperbolisen tasossa, käytetään taiteellisesti mukaan Margaret ja Christine Wertheim on jäljitellä koralliriuttoja .