Syntymä |
23. tammikuuta 1862 Königsbergin ( provinssi Preussin , Preussin kuningaskunta ) |
---|---|
Kuolema |
14. helmikuuta 1943 Göttingen ( Hannoverin maakunta , Saksan valtakunta ) |
Kansalaisuus | Saksan kieli |
Alueet | Matemaatikko |
Laitokset |
Königsbergin yliopisto Göttingenin yliopisto |
Tutkintotodistus | Königsbergin yliopisto |
Tunnettu |
Hilbert- teoria Hilbert-aksiomit Hilbert- avaruus Hilbert- ongelmat |
Palkinnot |
Poncelet-palkinto (1903) Bolyai-palkinto (1910) |
David Hilbert , syntynyt vuonna 1862 Königsbergin ja kuoli 1943 vuonna Göttingen , on saksalainen matemaatikko . Se on usein pidetään yhtenä suurimmista matemaatikot XX : nnen vuosisadan. Hän loi tai kehitti laajan valikoiman perusideoita, olipa se sitten invarianttiteoria , geometrian aksiomatisointi tai toiminnallisen analyysin perusta ( Hilbert-tilojen kanssa ).
Yksi tunnettuja esimerkkejä parhaista johtoasemansa on se laadittu 1900 ja hänen kuuluisa ongelmista , jotka ovat kestäviä vaikutus matematiikan tutkimus XX : nnen vuosisadan. Hilbert ja hänen opiskelijansa tuottivat merkittävän osan matemaattisesta infrastruktuurista, joka tarvitaan kvanttimekaniikan ja yleisen suhteellisuusteorian syntymiseen .
Se hyväksyttiin ja voimakkaasti puolusti ajatuksia Georg Cantor on joukko-opin ja transfinite numerot . Hän on myös tunnettu yhtenä perustajista todiste teorian , ja matemaattista logiikkaa, ja selvästi erotettava matematiikan alkaen metamathematics .
David Hilbert syntyi 23. tammikuuta 1862Königsbergissä keskiluokan protestanttisen perheen keskellä, joka on jo asunut kahden sukupolven ajan Itä-Preussin pääkaupungissa . Hilbertin isä, joka toimi tuomarina hänen kaupungissaan, juurrutti lapsilleen tiukkoja preussilaisia arvoja. Äiti puolestaan on intohimoisesti filosofia, tähtitiede ja alkuluvut. Hilbert käy lukiossa, ja koulunsa aikana hänellä on jo energinen, itsepäinen ja päättäväinen luonne. Siitä huolimatta hän kehitti intohimoa taiteeseen ja kirjallisuuteen hyvin varhaisessa vaiheessa samalla kun hänellä oli suuri kiinnostus matematiikkaan - olematta varhaiskypsä matemaatikko.
Vuonna 1880 hän läpäisi kokeen päästä Königsbergin yliopistoon ja valitsi matematiikkakurssin. Hän sai tohtorin tutkinnon siellä Ferdinand von Lindemannin valvonnassa . Vuonna 1885 hän toimitti väitöskirjansa nimeltä " Uber invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen" ( Erityisten binaarimuotojen, erityisesti pyöreiden toimintojen invariantteista ominaisuuksista ). Samanaikaisesti Hermann Minkowski osallistui samaan yliopistoon. Kummasta opiskelijasta tuli hyviä ystäviä, ja tästä lähtien kullakin oli kerrallaan merkittävä vaikutus toisen tieteelliseen uraan.
Otsikon kanssa lääkärin kädessä, Hilbert valmistautuu läpäistävä hyväksynnän saamiseksi aseman privatdozent . Tehdäkseen tämän, hänen oli esitettävä panoksensa tutkimukseen innovatiivisella tavalla, hän lähti tapaamaan Felix Kleinia , yhtä aikansa johtavista matemaatikoista. Hänen neuvonsa jälkeen Hilbert meni Pariisiin, jossa hän tapasi ranskalaisen matematiikan pääedustajan Henri Poincarén , joka yritti syrjäyttää loistavan saksalaisen matematiikan. Tästä syystä Poincaré ja Hilbert eivät tunteneet myötätuntoa, ja on selvää, että Poincaré ja Klein eivät myöskään tule toimeen. Paluumatkalla Königsbergiin Hilbert pysähtyy Göttingenin yliopistossa, jonne Klein on juuri asettunut. Hänen kauttaan hän joutui kosketuksiin Paul Gordanin kanssa , joka on yksi suurimmista invarianttiteorian asiantuntijoista , kentällä, jolla Hilbert kokisi ensimmäisen suuren menestyksensä.
Hilbert opetti Königsbergin yliopistossa yksityisosaajana jo vuonna 1886, ja vuonna 1892 hänet nimitettiin sinne varsinaiseksi professoriksi. Vaikka hän on erinomainen opettaja, harvat opiskelijat tulevat ottamaan hänen luokkansa. Hänet ei suinkaan masenneta, mutta hän näkee tämän ajan hitaana mutta jatkuvana kypsymisprosessina. Samana vuonna hän meni naimisiin Käthe Jeroschin (1864-1945) kanssa, ja seuraavana vuonna heillä oli poika nimeltä Franz. Vuonna 1895 hänet nimitettiin Felix Kleinin ehdotuksesta arvostetun Göttingenin yliopiston matematiikan puheenjohtajaksi , jota pidettiin maailman parhaimpana matematiikan tutkimuksen keskuksena. Hilbert pysyi siellä eläkkeelle siirtymiseen vuonna 1930 huolimatta muista tarjouksista.
8. syyskuuta 1930 Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte (de) -keskustelun yhteydessä hän julisti puheen lopuksi: "Ihmishengen kirkkaus", sanoi Königsbergin Jacobin kuuluisa matemaatikko. koko tieteen ainoa tavoite. Emme saa uskoa niitä, jotka tänään filosofisella kannalla ja ylivoimaisella äänellä ennustavat kulttuurin kaatumista ja hyväksyvät tietämättömyyden. " Viitaten tässä latinalaiseen lauseeseen Ignoramus et ignorabimus, joka tarkoittaa " Emme tiedä eikä tule koskaan tietämään " , hän jatkaa, että hänelle ei ole tietämättömyyttä . Lopuksi hän ehdottaa tunnusta, joka on säilynyt kuuluisana (ja joka on kaiverrettu hänen hautaansa): " Wir müssen wissen, wir werden wissen " tai "Meidän on tiedettävä, me tiedämme. " Eräänä päivänä ennen tämän lauseen lausumista Kurt Gödel esittelee opinnäytetyönsä, joka sisältää sen täydellisyyslausekkeen , joka koskee ensiluokkaista logiikkaa . Siksi yritys näyttää olevan oikealla tiellä. Ironista kyllä, vuosi myöhemmin sama Gödel osoittaa kuuluisan epätäydellisyyslausekkeensa , mikä pakottaa meidät relativisoimaan tai jopa hylkäämään Hilbertin ohjelman .
Hitlerin tullessa valtaan vuonna 1933 natsipuolueeseen kuuluva Ludwig Bieberbach ajettiin saksalaisen matematiikan kärkeen ja kannusti "arjalaista tai saksalaista" matematiikkaa (Deutsche Mathematik) . Juutalaiset opettajat, jotka on nyt suljettu opetuksesta, menettävät tehtävänsä peräkkäin. Göttingenin matematiikan instituutti purettiin pian ja sen kansainvälinen arvostus heikensi, Hilbertin suureksi valitukseksi. Lopulta hänet seuraajaksi valitun Hermann Weylin on lähdettävä maasta, myös Emmy Noether , Richard Courant , Edmund Landau ja Otto Blumenthal . Hilbertin matemaattisen logiikan yhteistyökumppani Paul Bernays ja hänen kanssaan kirjoittanut Grundlagen der Mathematik , tärkeä kaksikirjainen kirja vuosina 1934 ja 1939, lähti Saksasta natsien painostuksen jälkeen. Heidän työnsä oli jatkoa Hilbertin ja Ackermannin julkaisemalle kirjalle : Grundzüge der teorischen Logik (1928).
Noin vuotta myöhemmin juhlaan kutsuttu Hilbert istuu natsiopetusministerin Bernhard Rustin vieressä . Rustin kysymykseen: "Kuinka matematiikka on Göttingenissä nyt, kun siinä ei ole juutalaisten vaikutusta?" " , Hilbert vastaa: " Matematiikka Göttingenissä? Tuskin on enää. "
Kun Hilbert kuoli vuonna 1943, natsit uudistivat yliopistoa kokonaan, kaikki juutalaiset ja juutalaiset puolisot pakotettiin lähtemään, jotkut onnistuivat pakenemaan Saksasta, toiset karkotettiin . Noin tusina ihmistä osallistuu hänen hautajaisiin, vain kaksi entistä kollegaa. Haudalle Göttingen, voimme lukea tämä muistokirjoitus : ” Wir müssen Wissen, wir werden wissen. " Joko:
”Meidän on tiedettävä, tiedämme. "
Otto Blumenthal , ensimmäinen 69 opiskelijasta, jotka suorittivat tohtorin hänen valvonnassaan, muistaa 40 vuotta myöhemmin vaikutelman, jonka Hilbert oli tehnyt saapuessaan Göttingeniin: ”Verrattuna muihin professoreihin tämä eloisa, paksu miehen punainen parta ja melko tavallinen vaatteet näyttivät hyvin vähän kuin akateeminen. Hänen oppituntinsa olivat hyvin ytimekkäitä. Hän opetti melko tylsällä tavalla, mutta sisällön rikkaus ja esityksen selkeys saivat unohtaa muodon. Hän esitti usein uusia asioita, jotka oli löytänyt itsensä, mutta otti vaivaa varmistaakseen, että kaikki seuraavat häntä. Hän antoi oppituntinsa opiskelijoille, ei itselleen .
Muita Hilbertin opetuslapsia ovat Hermann Weyl , Max Dehn , Erhard Schmidt , Richard Courant , Ernst Zermelo , kuuluisa shakin maailmanmestari Emmanuel Lasker , Carl Gustav Hempel , Klara Löbenstein , John von Neumann, joka oli hänen avustajansa. Hermann Weyl erottui erityisesti, kun hän valmistui tohtorin tutkinnosta Hilbertin johdolla vuonna 1908 ja seurasi häntä eläkkeelle siirtyessään vuonna 1930.
Hilbert oli aina erittäin opettavainen oppilaidensa kanssa ja auttoi heitä aina kun pystyi. Esimerkiksi, kun ääntä vastustettiin nuoren ja tunnetun matemaatikon Emmy Noetherin nimittämistä professoriksi Göttingenissä, Hilbert nousi reaktiivisempien kollegoidensa kimppuun sanoen "En ymmärrä, kuinka ehdokkaan sukupuoli olisi syy vastustaa hänen pääsyä. Loppujen lopuksi olemme yliopistossa, ei julkisessa kylpylässä .
Yliopistossa Göttingen, ystäväpiiriin Hilbert koostui paras matemaatikot XX : nnen vuosisadan kuten Emmy Noether ja Alonzo Church .
Vuonna 1914 suuri osa eurooppalaisista tervehti ensimmäistä maailmansotaa valtavan innokkaasti. Hilbert puolestaan on vaatinut alusta alkaen tämän konfliktin järjettömyyttä. SisäänElokuu 1914, 93 tunnettua älymystöä kirjoittaa manifestin "sivistetyille kansakunnille" vastauksena Saksan armeijan toiminnan aiheuttamaan kasvavaan suuttumukseen.
Upotettuaan tähän selvästi kansallismieliseen ilmapiiriin Felix Klein allekirjoittaa kannattavan keisarin politiikkaa koskevan kannanoton. Hilbertiä kannustetaan myös tilaamaan, mutta hän kieltäytyy yksinkertaisesti väittäen, että hän ei tiedä, ovatko Saksaa vastaan esitetyt syytteet totta vai väärää. Tämä kanta on lähellä Einsteinin kantaa, joka pasifismiinsa uskollisena pidättyy allekirjoittamasta manifestia. Lisäksi vuonna 1917, keskellä konfliktia, Hilbert julkaisi kiitollisen nekrologin Gaston Darbouxille , maineikkaalle ranskalaiselle matemaatikolle, joka oli juuri kuollut. Kun opiskelijat piirittävät hänen taloa ja pyytävät häntä korjaamaan tämä muistiinpano vihollisen matemaatikon muistoksi, Hilbert vastaa vaatimalla heiltä muodollista anteeksipyyntöä - jonka hän saa.
Kaikista näistä syistä hänen eurooppalaiset kollegansa pitävät häntä vapaana henkenä, joka ei vaivaudu mukavuuksiin ja tapoihin. Sodan lopussa Saksan kiistämättömän reitin takia sen maine ei ollut huono. Ensimmäisessä sotien välisen matemaatikkojen kansainvälisessä kongressissa - kahdeksannessa Bolognassa vuonna 1928 pidetyssä kongressissa - hän vaati matematiikan universaalisuutta ja korosti, että kaikki rajat olivat luonnottomia.
Pidämme häneltä etenkin hänen luettelon 23 ongelmasta , joista joitain ei ole vielä ratkaistu tänään ja jonka hän esitteli8. elokuuta 1900Sorbonnessa, toisessa kansainvälisen kongressin Matematiikan vuonna Pariisissa .
Hänen panoksensa matematiikkaan on lukuisia:
Hilbertin ensimmäinen työ muuttumattomista toiminnoista johti häneen osoittamaan vuonna 1888 äärellisen perustan teoreettinsa . Kaksikymmentä vuotta aiemmin, käyttäen monimutkaista laskentamenetelmää, Paul Gordan osoitti lauseen binäärimuotojen generaattoreiden rajallisuudesta. Yritykset yleistää hänen menetelmään toimintoihin, joissa on useita muuttujia, epäonnistuvat laskelmien monimutkaisuuden vuoksi. Hilbert päättää valita toisen polun. Hän todistaa näin ollen äärellisen peruslauseen , joka väittää, että algebrallisten muotojen invarianteille on olemassa rajallinen joukko generaattoreita mihin tahansa muuttujien lukumäärään. Se ei todellakaan rakenna tällaista perustaa eikä se osoita tapaa rakentaa sitä. Hän todistaa olemassaolon muodollisesti osoittamalla, että tämän olemassaolon hylkääminen johtaa ristiriitaan.
Hilbert lähettää tulokset Mathematische Annalenille . Gordan, invarianttiteorian talon asiantuntija , ei arvosta Hilbertin työn vallankumouksellista luonnetta. Hän hylkää artikkelin sanoen, että se on käsittämätön: ”Tämä on teologiaa, ei matematiikkaa! "
Toisaalta Felix Klein tunnustaa työn merkityksen ja takaa, että se julkaistaan ilman muutoksia, huolimatta hänen ystävyydestään Gordaniin. Kleinin innoittamana ja Gordanin kommentit Hilbert laajentaa toisessa artikkelissaan tuloksiaan antamalla arvion generaattoreiden vähimmäisjoukon enimmäisasteesta. Luettuaan Klein kirjoitti hänelle: "Epäilemättä tämä on tärkein yleisen algebran työ, jonka Annalens on koskaan julkaissut ".
Myöhemmin, kun Hilbertin menetelmät tunnustettiin laajalti, Gordan itse sanoi: "Minun on myönnettävä, että jopa teologialla on ansioita. "
Hilbert julkaisi Grundlagen der Geometrie -lehden ( Geometrian perustukset ) vuonna 1899. Hän korvasi Euklidean geometrian viisi tavanomaista aksiomia kahdellakymmenellä. Hänen järjestelmänsä eliminoi Eukleidin geometrian heikkoudet, ainoan siihen asti opetettu.
Hänen lähestymistavansa on ratkaiseva aksiomaattisten menetelmien omaksumisessa . Aksioomat eivät ole enää muuttumattomia. Geometria voi koodata intuition, joka meillä on "esineistä", mutta kaikkea ei tarvitse kodifioida. "Meidän on aina pystyttävä korvaamaan" pisteet , linjat , lentokoneet "sanoilla" pöydät, tuolit, olutlasit ". " Sen pitäisi sen sijaan keskittyä heidän suhteisiinsa.
Hilbert aksiomatisoi tasogeometrian viiden suuren ryhmän mukaan:
Nämä aksioomat yhdistyvät yhdeksi järjestelmätason geometriaksi ja avaruuden geometriaksi , molemmat euklidisiksi.
Vuonna 2005 pidetyn toisen kansainvälisen matemaatikkojen kongressin yhteydessä Elokuu 1900in Paris , hän tarjoaa kuuluisan luettelo 23 ongelmia . Jopa XXI th luvulla, sitä pidetään kokoamista ongelmia on ollut suurin vaikutus matematiikan jälkeen kolme suurta ongelmia antiikin .
Ehdotettuaan uusia perusteita klassiselle geometrialle Hilbert olisi voinut pyrkiä ekstrapoloimaan muun matematiikan. Pikemminkin hän päättää määrittää perusongelmat, joihin matemaatikoiden on puututtava matematiikan yhtenäistämiseksi. Hänen lähestymistapaansa vastustavat logiikkojen Russell ja Whitehead , “tietosanakirjoittajat” Bourbaki ja metamatemaatikko Giuseppe Peano . Hänen luettelonsa haastaa koko matemaattisen yhteisön riippumatta heidän kiinnostuksestaan.
Kongressissa hänen puheensa alkaa seuraavasti:
"Kuka ei halukas nostamaan verhoa, joka piilottaa tulevaisuuden meiltä, jotta voisi vilkaista tieteemme etenemistä ja sen jatkokehityksen salaisuuksia tulevina vuosisatoina? Mitkä ovat tämän hedelmällisen ja laajan matemaattisen tieteenalan erityiset tavoitteet, joita tulevien sukupolvien matemaattisen ajattelun oppaat yrittävät saavuttaa? Mitkä ovat tällä alalla uudet totuudet ja uudet menetelmät alkaneen vuosisadan aikana? "
Minkowskin ehdotuksesta hän esittää huoneeseen noin kymmenen ongelmaa. Koko luettelo julkaistaan kongressin julkaisuissa. Toisessa viestissä hän tarjoaa laajennetun ja lopullisen version luettelostaan.
Muutama asia ratkaistiin nopeasti. Toiset aikana keskusteltiin XX : nnen vuosisadan; joidenkin katsotaan nyt olevan liian epämääräisiä lopullisen vastauksen antamiseksi. Vielä nykyäänkin on olemassa muutama hyvin määritelty ongelma, joka haastaa matemaatikot.
Hilbert ongelmat ovat myös eräänlainen manifesti , jonka avulla syntyminen koulun formalistisen , yksi kolmesta suuresta koulujen XX : nnen vuosisadan matematiikan. Tämän koulun mukaan matematiikka on kaiken aikomuksen ja ajatuksen ulkopuolella. Ne ovat symboleja, joita on käsiteltävä muodollisten sääntöjen mukaisesti. Ei ole kuitenkaan varmaa, että Hilbertillä oli niin yksinkertainen ja mekaaninen näkemys matematiikasta.
Hilbertin ohjelmaVuonna 1920 hän ehdotti nimenomaisesti metamatematiikan tutkimusohjelmaa, joka myöhemmin tunnetaan nimellä Hilbert-ohjelma . Hän haluaa matematiikan muotoilevan vankasti ja täydellisesti logiikan perusteella. Hilbert uskoo, että se on mahdollista, koska:
Vaikuttaa siltä, että Hilbert nojautuu sekä teknisiin että filosofisiin argumentteihin ehdottaa tällaista ohjelmaa. Hän vahvistaa, että hän inhoaa tietämättömyyttä, joka on suhteellisen yleistä saksalaisessa ajattelussa (jonka muotoilu on jäljitettävissä Emil du Bois-Reymondiin ).
Tämä ohjelma on nyt osa formalismia . Bourbaki hyväksyi karsitun ja vähemmän muodollisen version projekteilleen:
Vaikka tämä lähestymistapa on ollut hedelmällistä algebrassa ja toiminnallisessa analyysissä , muualla se on ollut vain vähän menestystä.
Gödelin vaikutusHilbert ja muut yrityksessä työskentelevät matemaatikot haluavat menestyä. Heidän työnsä oli kuitenkin lopetettava äkillisesti.
Vuonna 1931 Kurt Gödel osoitti, että mikään ei-ristiriitainen muodollinen järjestelmä, joka on riittävän täydellinen sisällyttämään ainakin aritmeettisen , ei voi osoittaa sen johdonmukaisuutta tukeutuen sen aksiomeihin. Kuten muotoiltiin, Hilbertin suuri järjestelmä on siksi tuomittu epäonnistumiseen.
Keskeneräisyys Lause Gödel ei sano että on mahdotonta toteuttaa tällaisen järjestelmän hengessä Hilbertin ohjelma. Päätökseen todiste teorian selvensi käsite yhtenäisyyden, joka on keskeinen modernissa matematiikassa. Hilbertin ohjelma käynnisti logiikan selvennyspolulla. Halu ymmärtää paremmin Gödelin lauseen mahdollisti rekursioteorian kehittämisen ja logiikan selventämisen. Jälkimmäisestä tuli itsenäinen tieteenala vuosikymmeninä 1930 ja 1940. Se muodosti lähtökohdan nykyiselle teoreettiselle tietojenkäsittelytieteelle , jonka ovat kehittäneet Alonzo Church ja Alan Turing .
Hilbert tutki jo metodologisesti differentiaali- ja integraaliyhtälöitä jo vuonna 1909 . Tällä työllä on merkittävä vaikutus nykyaikaiseen toiminnalliseen analyysiin .
Tehtävänsä suorittamiseksi hän esitteli äärettömän kokoisten euklidisten tilojen , myöhemmin nimeltään Hilbert-avaruudet, käsitteen . Yllättäen tämä työ toistetaan teoreettisessa fysiikassa seuraavien kahden vuosikymmenen ajan.
Myöhemmin Stefan Banach yleisti konseptin tehdäkseen siitä Banach-tilan .
Minkowski näyttää olevan vastuussa suurimmasta osasta Hilbertin fysiikan tutkimusta ennen vuotta 1912, mukaan lukien heidän yhteinen seminaari aiheesta 1905. Hilbert toimi todellakin vuoteen 1912 asti yksinomaan puhdasta matematiikkaa .
Tuona vuonna hän käänsi huomionsa fysiikkaan . Hän palkkasi jopa "fysiikan opettajan". Hän aloittaa tutkimalla kaasujen kineettistä teoriaa , jatkaa sitten säteilyteoriaa ja täydentää aineen molekyyliteoriaa . Jopa ensimmäisen maailmansodan aikana se tarjosi seminaareja ja kursseja, joissa esiteltiin Albert Einsteinin ja muiden fyysikkojen töitä .
Hilbert kutsuu Einstein Göttingen antaa luentosarjan yleinen suhteellisuusteoria vuonnaKesäkuu ja Heinäkuu 1915. Kahden tutkijan välinen vaihto johtaa Einstein- yleissuhteellisuusyhtälön (eli Einstein-kenttäyhtälön ja Einstein-Hilbert-toiminnan ) luomiseen . Vaikka Hilbert ja Einstein eivät koskaan kiistelleet yhtälön kirjoittajaa, jotkut halusivat kyseenalaistaa sen (ks. Kiista suhteellisuusteoriasta ).
Lisäksi Hilbertin työ ennakoi ja tukee kvanttimekaniikan matemaattisen muotoilun edistymistä . Sen Hilbert tilat ovat välttämättömiä työn Hermann Weyl ja John von Neumann matemaattiseen välinen vastaavuus matriisin mekaniikka ja Heisenberg ja Schrödingerin yhtälön , ja yleinen muotoilu kvanttimekaniikka.
Vuonna 1926 Neumann osoitti, että jos atomitiloja pidetään vektorina Hilbert-avaruudessa, ne vastaavat Schrödingerin aaltofunktiota ja Heisenberg-matriisia.
Osana fysiikan työtä Hilbert pyrkii tekemään matematiikan käytöstä tiukempaa. Vaikka heidän työnsä riippuu kokonaan korkeammasta matematiikasta, fyysikot ovat huolimattomia käsitellessään matemaattisia esineitä. Hilbertin kaliiperin matemaatikolle tätä tilannetta on vaikea ymmärtää, menemällä niin pitkälle, että sitä kutsutaan "rumaksi".
Kun hän onnistuu saamaan muotokuvan matematiikan käytöstä fysiikassa, hän kehittää johdonmukaisen matemaattisen teorian fyysikkojen käyttöön, erityisesti integraalisten yhtälöiden suhteen . Kun Richard Courant julkaisee Methoden der mathematischen Physik (en) -sivuston, johon sisältyy joitain Hilbertin ideoita, hän lisää Hilbertin nimen kirjoittajana, vaikka viimeksi mainittu ei osallistunut sen kirjoittamiseen. Hilbert kirjoitti: "Fysiikka on liian vaikeaa fyysikoille" ja halusi kiinnittää huomiota korkeampaan matematiikkaan liittyvään vaikeuteen. Courantin ja Hilbertin työ yrittää silittää nämä vaikeudet.
Hilbert yhdistää algebrallinen lukuteoria hänen Raportti Numbers ( Zahlbericht (en) ), julkaistu10. huhtikuuta 1897), jossa hän kokoaa kaiken asiaankuuluvan tiedon, joka on järjestetty uudelleen uuden näkökulman mukaan, tekee demonstraatiot uudelleen ja jatkaa muotoiluja. Se ratkaisee Waringin ongelman melkein kokonaan. Hänen tutkielmansa uuvuttaa aihetta, mutta " Hilbertin modulaarisen muodon " käsitteen ilmaantuminen tarkoittaa, että hänen nimensä on jälleen sidottu pääosaan matematiikasta.
Hän teki useita arvauksia on teoria luokan kenttiä . Käsitteet ovat erikoisen tärkeitä, ja oma osuus näkyvät kehon luokissa Hilbert ja Hilbert symboli sekä paikallisen luokan alalla teoriassa . Näiden teorioiden tulokset todistettiin melkein kaikki vuonna 1930 Teiji Takagin merkittävän läpimurron jälkeen , joka perusti hänet ensimmäiseksi japanilaiseksi japanilaiseksi matemaattiseksi matemaatikoksi.
Hilbert ei työskennellyt analyyttisen lukuteorian pääosien parissa , mutta hänen nimensä on edelleen liitetty Hilbert-Pólya-oletukseen anekdoottisista syistä.
: tämän artikkelin lähteenä käytetty asiakirja.