Hilbert-tila

On matematiikka , joka on Hilbert tila on todellinen (vast. Complex ) vektori tilaa jolla kanssa euklidisen (vast. Hermite ) skalaari tuote , jonka avulla on mahdollista mitata pituudet ja kulmat ja määritellä ortogonaalisuuden . Lisäksi Hilbert-tila on valmis , mikä mahdollistaa analyyttisten tekniikoiden soveltamisen . Nämä tilat ovat velkaa nimensä saksalaiselle matemaatikolle David Hilbertille .

Käsite Hilbertin avaruus ulottuu menetelmiä lineaarisen algebran yleistämällä käsitteet euklidinen avaruus (esimerkiksi euklidinen taso tai tavallista tila ulottuvuus 3 ) ja Hermite tilaa ja tiloja tahansa ulottuvuus (äärellinen tai ääretön).

Hilbert-tilat esiintyvät usein matematiikassa ja fysiikassa, ensisijaisesti äärettömän ulottuvuuden funktionaalisina tiloina . Ensimmäinen Hilbert tilat on tutkittu tässä yhteydessä ensimmäisen vuosikymmenen XX : nnen  vuosisadan David Hilbert, Erhard Schmidt ja Frigyes Riesz . Ne ovat välttämättömiä työkaluja osittaisen differentiaaliyhtälön , kvanttimekaniikan , Fourier-analyysin (joka sisältää sovelluksia signaalinkäsittelyyn ja lämmönsiirtoon ) ja ergodisen teorian teorioissa, joka muodostaa termodynamiikan matemaattisen perustan . John von Neumann loi Hilbert-avaruuden ilmaisun abstraktille käsitteelle, joka on taustalla monille näistä sovelluksista. Hilbert-tilojen tuomat menetelmät johtivat erittäin tuottavaan aikakauteen toiminnallisessa analyysissä . Lisäksi klassisen Euclidean tilat, Hilbert tilat yleisimpiä esimerkkejä ovat neliön funktio tilojen integroitu , Sobolev tilat , jotka koostuvat yleisen toimintoja, ja Hardy tilat ja holomorfinen funktio .

Geometrinen intuitio on mukana monissa Hilbertin avaruusteorian näkökohdissa. Näillä välilyönneillä on samanlaiset lauseet kuin Pythagoraan lauseessa ja suunnassa . Sovelletun matematiikan, ortogonaaliset projektiot on aliavaruus (joka vastaa madaltumista tilaa noin mitat) on tärkeä rooli optimoinnissa ongelmia muun näkökohtia teoriaa. Hilbert-avaruuden elementti voidaan määrittää yksilöllisesti sen koordinaateilla suhteessa Hilbert-pohjaan , analogisesti suorakulmaisten koordinaattien kanssa tason ortonormaalissa pohjassa . Kun tämä akselijoukko on laskettavissa , Hilbert-tila voidaan nähdä summoitettavina neliöinä . Hilbert-avaruuden lineaariset operaattorit ovat samanlaisia ​​kuin konkreettiset esineet: "oikeissa" tapauksissa ne ovat yksinkertaisesti transformaatioita, jotka venyttävät tilaa eri kertoimilla pitkin kaksi kerrallaan kohtisuorassa suunnassa tavalla, joka määritellään niiden niiden tutkimuksessa. taajuuksia .

Määritelmä ja esimerkkejä

Johdantoesimerkki: ulottuvuuden 3 euklidinen tila

Yksi yleisimmistä esimerkeistä Hilbert-avaruudesta on kolmiulotteinen euklidinen tila , jota merkitään ℝ 3 ja jolla on tavallinen skalaarinen tulo . Pistetulo assosioituu kaksi vektoria ja huomattava todellinen numero . Jos ja niillä on vastaavat suorakulmaiset koordinaatit ja , niiden skalaarinen tulo on: x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}x⋅y{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}(x1,x2,x3){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}(y1,y2,y3){\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3})}

x⋅y=x1y1+x2y2+x3y3.{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3}.}

Pistetuote täyttää seuraavat ominaisuudet:

1. se on symmetrinen, sillä kaikki vektorit ja ,  ;x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}x⋅y=y⋅x{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {x}}
2. se on lineaarinen suhteessa ensimmäiseen argumentti: kaikki todelliset luvut ja ja kaikki vektorit , meillä on tasa  ;klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}x1,x2,y{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y}(klox1+bx2)⋅y=klox1⋅y+bx2⋅y{\ displaystyle (ax_ {1} + bx_ {2}) \ cdot y = ax_ {1} \ cdot y + bx_ {2} \ cdot y}
3. se on positiivinen selvä: minkä tahansa vektorin tulo on positiivinen ja nolla vain ja vain, jos se on yhtä suuri kuin nolla-vektori .x{\ displaystyle \ mathbf {x}}x⋅x{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}} x{\ displaystyle \ mathbf {x}}

Pistetulo on läheisesti liittyy euklidinen geometria on seuraava kaava, joka liittyy pistetulo kahden vektorin ja niiden pituudet (merkitty vastaavasti ja ) ja kulma ne muodostavat: x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}‖x‖{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ |}‖y‖{\ displaystyle \ | \ mathbf {y} \ |} θ{\ displaystyle \ theta}

x⋅y=‖x‖‖y‖cos⁡θ.{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ | \ mathbf {x} \ | \, \ | \ mathbf {y} \ | \, \ cos \ theta.}

Kaikkia vektoritoimintoja, jotka täyttävät edellä mainitut kolme ominaisuutta, kutsutaan myös pistetuloksi . Vektori tila on varustettu skalaaritulo kutsutaan todellinen prehilbertian tilaa.

Hilbert tila on prehilbertian tilaa, joka on myös ominaisuus matemaattinen analyysi  : se on valmis , väitteen, joka rajoista sekvenssien vektorien tähän tilaan.

Määritelmä

Hilbert-avaruus on täydellinen prehilbertin avaruus , ts. Banach-tila, jonka normi ║ · ║ saadaan skalaarista tai Hermitian tuotteesta〈·, ·〉 kaavan mukaan

‖x‖=⟨x,x⟩.{\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}.}

Se on yleistys missä tahansa ulottuvuudessa (äärellinen tai ääretön) euklidealaista tai hermiittistä tilaa .

Esimerkkejä

• Euklidisen tila ℝ n jolla on tavallista skalaaritulo.
• Hermiittinen tila ℂ n varustettu tavallista hermiittisellä tuote.
• Tila L 2 ([ , b ]) ja toimintojen [ , b ], jossa on arvoja ℂ ja neliön integroitavissa sopimuksella, että kahteen yhtä toiminnot lähes kaikkialla samat (katso artikkeli tila L p ), edellyttäen, /⟨f,g⟩=∫klobf(x)g(x)¯ dx.{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ overline {g (x)}} ~ \ mathrm {d} x.}
• Tila sekvenssien ℓ 2 , joka koostuu sekvensseistä kompleksilukujen kuten(uei)ei∈EI{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ sisään \ mathbb {N}}}∑ei=0∞|uei|2<+∞,{\ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} | u_ {n} | ^ {2} <+ \ infty,}kahden sekvenssin Hermiti-tuote ja se on määritelmän mukaan sarjan summau{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}∑ei=0∞ueiv¯ei.{\ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} {\ overline {v}} _ {n}.}

Luokitus

Äärettömän hilbert-avaruudessa tavallinen pohjan käsite korvataan Hilbert-pohjan (tai Hilbert-pohjan) käsitteellä, mikä ei enää mahdollista kuvata vektoria sen koordinaateilla, vaan lähestyä sitä loputtomalla vektorisarjalla joilla on rajalliset koordinaatit. Siksi olemme lineaarisen algebran ja topologian yhtymäkohdassa .

• Kaksi Hilbert tilat myöntää ekvipotentissa Hilbert emäksiä ovat isometrisesti isomorfinen , toisin sanoen: mikä tahansa Hilbert tilaa Hilbert emäksen X on isomorfinen ℓ 2 ( X ) . Esimerkiksi: mikä tahansa erotettavissa oleva Hilbert- avaruus (ja äärettömän kokoinen) on isomorfinen arvoon ℓ 2 (ℕ) = ℓ 2 . Riesz-Fischer-teoreema voidaan myös nähdä erityistapauksena tämän tuloksen.
• Päinvastoin kahdella Hilbert-emäksellä samasta Hilbert-avaruudesta on sama kardinaali . Tämä kardinaalinumero , jota kutsutaan Hilbertin avaruusulottuvuudeksi, luonnehtii sitä siis isomorfismiin asti ja sillä on siten sama rooli kuin kiinteän kentän vektoritilojen kategorian ulottuvuudella .
• Hilbert-avaruudella on rajallinen ulottuvuus vain ja vain, jos sen Hilbert-ulottuvuus on äärellinen, ja tässä tapauksessa nämä kaksi kokonaislukua ovat yhtä suuret.

Fréchet-von Neumann-Jordan-lause

Banach-tila (vastaavasti normoitu vektoriavaruus ) on Hilbert-tila (vastaavasti prehilbertin tila ) vain ja vain, jos sen normi tyydyttää tasa-arvon

‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2){\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 (\ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2})},

mikä tarkoittaa, että yhdensuuntaisen neliön neljän sivun neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen diagonaalien neliöiden summa ( suuntaissääntö ).

Tämä lause johtuu Maurice René Fréchetistä , John von Neumannista ja Pascual Jordanista .

Polarisaatioidentiteetti  :

• todellisessa tapauksessa pistetuote on määritelty ⟨x,y⟩=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2){\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} {\ bigr )}} ;
• monimutkaisessa tapauksessa oikea sesquilineaarinen Hermitian tuote on määritelty ⟨x,y⟩=⟨x,y⟩1+i⟨x,iy⟩1{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle x, y \ rangle _ {1} + {\ rm {i}} \ langle x, {\ rm {i}} y \ rangle _ {1}}, tai⟨x,y⟩1=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2){\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {1} = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2 } {\ bigr)}}ja i on kuvitteellinen yksikkö (kompleksiluku, joka on identifioitu reaaliparilla (0, 1)).

Sovellukset

• Hilbert-tilojen puitteissa kehitettiin variaatioformulaation teoria , jota käytettiin monilla fysiikan aloilla.
• In kvanttimekaniikan , tila järjestelmä edustaa vektori Hilbert tilaan.

Viitteet

• (fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista "  Hilbert Space  " ( katso kirjoittajaluettelo ) .
• Pierre Colmez , Analyysin ja algebran elementit (ja lukuteoria) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique ,2009, 469  Sivumäärä ( ISBN  978-2-7302-1563-3 , luettu verkossa ) , "Espaces de Hilbert", s.  159-164

1. Colmez 2009 , s.  159.

Liitteet

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Riesz-edustuslause
• Projisointilause suljettuun kuperaan Hilbert-avaruuteen
• Lax-Milgram-lause
• Stampacchian lause
• Sobolev-tila
• Toissijainen toimenpide
• Aluthge-muutos
• Heikko lähentyminen Hilbert-tilassa

Ulkoinen linkki

Analyysikurssi - Jacques Harthong

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">