On matematiikka , joka on prehilbertian tila määritellään todellinen tai kompleksinen vektori tilaa , jossa on piste tuote . Tämä käsite yleistyy kuin euklidisen tai Hermitian tilan tapauksessa mitään ulottuvuus , säilyttäen samalla tietty hyvä geometrinen ominaisuudet ja tilat rajallinen ulottuvuus ansiosta ominaisuuksien skalaaritulo, mutta menettää suuri etu a prehilbertian tilaa ääretön ulottuvuus ei ole välttämättä täydellinen . Voimme kuitenkin täydentää sen saadaksemme Hilbert-tilan .
Prehilbertin avaruuden yleinen tapaus äärettömässä ulottuvuudessa eroaa monessa suhteessa äärellisestä ulottuvuudesta. Duaaliavaruus ei enää välttämättä isomorfinen on tilaa, ortogonaalinen on vektori aliavaruus ei ole enää välttämättä vielä tämän aliavaruus, ortogonaalinen ortogonaalisen on aliavaruuden. Tila ei välttämättä anna takaisin tämän aliavaruuden. Lisäksi lineaariset kartat eivät ole enää välttämättä jatkuvia. Avaruuden analysointitekniikat ovat siksi hieman erilaisia. Lopullisia ulottuvuuksia käsitellään artikkeleissa " Euklidinen tila " ja " Ermiittinen tila ". Yleinen tapaus on tämän artikkelin olennainen tarkoitus.
Tärkeä sovellus on tutkimuksen funktion tilojen työkaluilla lineaarinen ja bilinear algebran . Pistetulo saadaan kahden funktion tuloksen, tarkemmin sanottuna yhden funktion, integraalista ja toisen konjugaatista sesquilineaarisen luonteen säilyttämiseksi . Toisin kuin äärellisen ulottuvuuden tapauksessa, skalaaritulosta ei enää määritellä aina siinä mielessä, että parin kuva ( x , x ) voi olla nolla, vaikka x olisi nollasta poikkeava vektori. Kiinteä todellakin ole riippuvainen funktion arvot on joukko toimenpiteen nolla . Käytetty termi on puolipisteinen tuote . Tarkkuus annetaan yleensä: tila on erotettavissa , toisin sanoen avaruudessa on joukko laskettavia ja tiheitä vektoreita . Tämä kokoonpano vastaa useita toiminnallisia tiloja.
Työkalun avulla on mahdollista voittaa ääretön ulottuvuus, topologia, aiheuttamat vaikeudet . Pistetuote määrittelee normin , siten etäisyyden ja topologian. Jos erityisluonnetta että pistetulo annetaan yhteisöjen metrinen avaruus mahdollistaa osoitus paljon tuloksia, yksi ominaisuus on kuitenkin puuttuu. Sanassa "prehilbertian" esiintyvä etuliite "pre-" viittaa tietyn hypoteesin puuttumiseen: täydellisyyteen , mikä on olennaista monien tulosten kannalta. Kun tämä hypoteesi on varmistettu, avaruudella on Hilbert-avaruuden tai Hilbert- avaruuden nimi .
Monet luonnolliset toiminnalliset tilat eivät ole täydellisiä, esimerkiksi jatkuvien toimintojen tila pienellä tuella. On yksinkertainen tapa täydentää prehilbertin tila käyttämällä sen kaksinkertaista tilaa .
Artikkelin loppuosassa kirjain K osoittaa reaalien tai kompleksien kentän , E vektoritilan K: ssä ja Ω avoimen kentän ℝ n .
Prehilbertin avaruuden keskeinen kohde on yleisesti nimeltään pistetulo. Se voi olla euklidinen pistetuote, kun tarkastellaan vektorilukuja reaalilukujen kentän päällä, tai Hermitian pistetulo , jos vektorivälit ovat kompleksilukujen kentän päällä.
Prehilbertin avaruus ( E , 〈⋅, ⋅〉) on sitten vektoritila E , jolla on skalaarinen tulo 〈⋅, ⋅〉. Sanomme väärinkäytöksillä, että E on prehilbertin tila, jos katsomme sen olevan skalaarinen tulo 〈⋅, ⋅〉, jolloin pari ( E , 〈⋅, ⋅〉) on prehilbertin tila.
Joissakin tapauksissa meidän on ehkä harkittava "puolipisteitä", toisin sanoen määrittelemättömiä symmetrisiä bilineaarisia tai positiivisia sesquilineaarisia muotoja.
Teosten ja kirjoittajien mukaan skalaarituotteelle löytyy muita merkintöjä, kuten 〈⋅ | ⋅〉 ja (⋅ | ⋅).
Perus- käsite , usein välttämätöntä lineaarialgebra , on vaikea käsitellä ulkopuolella rajallinen ulottuvuus. Jos Zornin lemma osoittaa perustan olemassaolon, ei ole nimenomaista menetelmää sellaisen perheen rakentamiseksi tämän olemassaololauseen avulla. Uusi määritelmä kiertää tämän vaikeuden. Hilbert perusteella, tai Hilbert perusteella , on perhe on yksikön ja kaksi-kahdella ortogonaalisella vektoreita, jotka tuottavat tiheä aliavaruus .
Termiä " ortonormaalipohjainen " käytetään joskus Hilbert-perustan merkityksessä.
Tietyt ominaisuudet eivät vedota avaruuden ulottuvuuden rajalliseen luonteeseen:
Kaikki nämä tulokset pitävät paikkansa puoliskalaarisista tuotteista ja niihin liittyvistä puolinormeista.
Eri toiminnallisten tilojen tutkimisen osalta hypoteesin puuttuminen ulottuvuudesta edellyttää uusien työkalujen käyttöä. Suurin osa rajallisen ulottuvuuden tekniikoista on itse asiassa tehotonta. Pistetuotteen aiheuttama topologia on tarpeeksi spesifinen tärkeiden tulosten saamiseksi. Tämän topologian analyysi normalisoitujen vektoritilojen yleisessä kehyksessä osoittaa, että se on yhteensopiva vektoritilan koostumuksen lakien kanssa. Tarkemmin sanottuna lisäys, ulkoinen kertolasku ja normi ovat jatkuvia tälle topologialle. Avoin pallot Keskustan pisteen x tilaa muodostavat pohjan lähiöissä , ne ovat kuperia .
Heillä on ylimääräinen ominaisuus. Pallot ovat "hyvin pyöristettyjä" tasaisesti kuperien tilojen merkityksessä : riittävän pitkien palloon sisältyvien segmenttien keskiosa on suhteellisen kaukana reunasta. Tämä ominaisuus ilmaistaan seuraavasti:
Tässä B (0,1) tarkoittaa palloa, jonka keskellä on vektori nolla ja säde 1.
EsittelyTämä on seurausta rinnakkaiskuvan identiteetistä. Riittää huomata, että:
Milman-Pettis lause, sitten osoittaa, että jos tilaa on täydellisempi, eli jos se on Hilbertin avaruus, se on refleksiivinen . Sillä on jopa vahvempia ominaisuuksia, jotka on kehitetty artikkelissa ” Hilbert Space ”.
Mikä tahansa prehilbertaalisen tilan vektorialatila on prehilbertinen skalaarisen tuotteen rajoituksen suhteen.
Olkoon E ja F kaksi prehilbertin avaruutta, sitten seuraavan yhtälön määrittämä kartta 〈⋅, ⋅〉E × F on pistetulo E × F : ssä:
Mikä tahansa normalisoidun vektoriavaruuden tai jopa vain osittain normalisoidun ( E , ║ ∙ ║ E ) jako vektorialatilalla F on luonnollisesti varustettu puolinormilla-∙ ║ E / F , jonka määrittelee
Jos puolinormi ║ ∙ ║ E on prehilbertinomainen, eli se on peräisin puoliskalaarisesta tuotteesta tai - mikä on vastaava - tarkistaa rinnakkaisnumeron identiteetin , osoitamme helposti, että se on jopa puolistandardille ║ ∙ ║ E / F :
Se on vakio, jos ja vain jos F on suljettu semi-standardi ║ ∙ ║ E . Osamäärä on silloin prehilbertin tila. Jos F ei ole vain suljettu, mutta täydellinen, se on ylimääräinen ortogonaalinen in E . Vastaava kohtisuoraa projektiota sitten antaa isomorfismi välillä E / F ja tämä lisää.
Erityinen tapaus prehilbertin puolinormin osamäärän normista on se, että missä F on puoliskalaarisen tuotteen ydin , ts. E : n kanssa kohtisuorien vektorien suljettu vektori-alatila :
Todiste tässä nimenomaisessa tapauksessa on suorempi, koska puoliskalaarinen tuote siirtyy luonnollisesti osamäärään. Lisäksi Cauchy-Schwarzin epätasa-arvo osoittaa, että tämä ydin supistuu puolinollanormin vektorien alatilaan, toisin sanoen, että puoliksi normoidun avaruuden normoidun kanonisen osamääräavaruuden klassinen rakenne on yhteensopiva tämän lisäyksen kanssa prehilbertin rakenne.
Esimerkin antaa tyhjien funktioiden avaruus E Ω: n ulkopuolella ja integroitavissa Riemannin mielessä . (Jotta vältettäisiin ongelmat, jotka liittyvät väärä integraalit , voidaan edelleen olettaa, että Ω on rajoitettu.) Ytimen F on luonnollinen osittain skalaaritulo koostuu toiminnoista E, joka on nolla lähes kaikkialla . E / F- osamäärä on integroituvien ja nollatoimintojen luokkien prehilbertin avaruus Ω: n ulkopuolella, kaksi funktiota, jotka kuuluvat samaan luokkaan, kun ne eroavat toisistaan vain mitan nollajoukossa.
Yksi prehilbertin avaruuden nähtävyyksistä on se, että kahdessa tapauksessa (jos prehilbertin tila on täydellinen tai erotettavissa ), on olemassa Hilbert-perusta, jolla on ominaisuuksia, jotka ovat lähellä perustan (siinä mielessä algebrallista) ominaisuuksia .
Toisin kuin äärellinen ulottuvuus, vektoria ei ole enää mahdollista ilmaista summana, joka käsittää vain rajallisen määrän nollasta poikkeavia termejä. Vektori näkyy sen sarjan rajana, jonka nollasta poikkeavien termien joukko on laskettavissa. Toisaalta, koska lähentyminen on ehdoton , sarjan järjestyksellä ei ole juurikaan merkitystä.
Läsnäoloa ei aina taata. Toisaalta varmistetaan Zornin lemman käyttö, jos tila on täydellinen.
Vaikka prehilbertin tilan toteuttaminen on suhteellisen yksinkertaista , tämä täydellisyyden turvaama olemassaolo ei ole täysin tyydyttävä. Lisäksi valitun aksiooman käyttö Zornin lemmassa tekee menetelmän käyttökelvottomaksi tällaisen perustan tehokkaan rakentamisen kannalta. Toisaalta Stone-Weierstrass-lause osoittaa, että monet toiminnalliset tilat ovat erotettavissa. Tämä vaihtoehtoinen hypoteesi riittää takaamaan Hilbert-perustan olemassaolon. Gram-Schmidt-menetelmä mahdollistaa tehokkaasti rakentaa tällaisen perusteella. Trigonometriset polynomi tai ne Legendren ovat esimerkkejä tilaa jatkuvia funktioita varsinaisella segmentin varustettu skalaaritulo L 2 .
Vektori-normoitu tila E on mahdollista suorittaa loppuun . Olla tarkka, on K -vektorisysteemi tilaa normeerataan ja täydellinen (siis Banach) H ja isometrinen lineaarisen kohdistuksen (siis injektio ) J ja E on H , niin että kuvan E mukaan J on tiheä on H .
Kun E: n normi on prehilbertinen, myös H: n normi . Polarisaatiotunnisteet antavat todellakin mahdollisuuden laajentaa E: n skalaaritulos H × H : n karttaan K: ssä, joka tiheydeltään on skalaarinen tuote, josta H- normi johtuu . Yhteenvetona :
Rajoitetut operaattorit ovat niitä, joilla yksikköpallon kuva on rajattu. Nämä ovat jatkuvia operaattoreita. Monimutkaisessa prehilbertin avaruudessa meillä on seuraava ominaisuus.
Todellisessa prehilbertiläisessä tilassa tämä tulos ei ole totta. (Suunnitelmassa annetaan vastaesimerkki kiertämällä neljänneskierros.)
Sitä käytetään esimerkiksi itse lisättyjen pienikokoisten operaattoreiden tutkimiseen .
EsittelyOletetaan, että x ja y ovat normin 1 mukaisia ja todistavat sen
Laskemme ensin (laajentamalla vasenta puolta):
täten (käyttämällä suunnan identiteettiä sekä oletusta x: stä ja y: stä ):
Ovat θ 1 , ie 2 vastaavien väitteiden kompleksin < ( x ), y > ja < ( y ), x >. Tahansa kulma μ, vastaava argumentit < ( x ) exp ( i μ) y > ja < (exp ( i μ) y ) x > on vastaavasti θ 1 -μ ja θ 2 + μ, joten ovat yhtä suuret, jos valitse μ = ( θ 1 - θ 2 ) / 2. Korvaamalla y edellisessä nousussa luvulla exp ( i μ) y , saadaan sitten haettu epätasa-arvo:
Kaksoisominaisuudella on olennaiset ominaisuudet euklidisen normin (skalaarisen tuloksen perusteella) spesifisyyden alkuperällä verrattuna mihin tahansa normiin. Seuraukset ovat yhtä moninaisia kuin syvällisiä. Tässä yhteydessä termi "kaksois" on otettava kaksoistopologisessa merkityksessä , toisin sanoen tutkitaan vain jatkuvia lineaarisia muotoja. Dual on siis Banach tilaa , että operaattori normi .
On olemassa semi-lineaarinen kanoninen kartta φ ja E sen kaksi: tahansa elementti x on E , φ ( x ) on jatkuva lineaarinen muoto, joka on y osakkuusyritysten < y , x >.
Tämä injektio antaa φ ( E ): lle luonnollisen skalaarisen tuotteen. Se on surjektiivinen vain, jos E on täydellinen. Yleensä meillä on "vain":
Kun φ on K -lineaarinen, toisin sanoen kun K = E , on siis olemassa toinen tapa täydentää E : riittää tunnistamaan se osaksi sen kaksoisosaa. Koska isometriseen isomorfismiin asti on vain yksi täydennys, tämä menetelmä antaa vastaavan tuloksen kuin mikä tahansa muu menetelmä normalisoidun vektoriavaruuden täydentämiseksi.
Olipa K yhtä suuri kuin ℝ tai ℂ, upotus, joka on aina K -lineaarinen ja jolla voi olla sama rooli, on E : n kaksinkertainen (topologinen) .
EsittelytMerkitään jonka H tarttuvuus imagon E sen kaksi. Siksi se on Hilbert-tila, jonka täydentää prehilbertin avaruus φ ( E ).
Walter Rudin , Todellinen ja monimutkainen analyysi [ yksityiskohdat painoksista ]