Kolmikulmainen epätasa-arvo

On geometria , kolmion epätasa on se, että on kolmio , pituus toisella puolella on pienempi kuin pituuksien summa on kaksi muuta sivua. Tämä epätasa-arvo on tietysti intuitiivinen siinä määrin, että se on ilmeistä. Tavallisessa elämässä, kuten euklidisessa geometriassa , tämä johtaa siihen, että suora viiva on lyhin polku  : Lyhin polku pisteestä A pisteeseen B on mennä suoraan eteenpäin kulkematta kolmannen pisteen C ohitse, joka ei olisi suora viiva.

Abstraktimmin tämä epätasa-arvo vastaa sitä tosiasiaa, että suora etäisyys on etäisyyden vähimmäisarvo. Se on myös ominaisuus tai edellytys hyvän etäisyyden määrittelemiseksi . Tämä etäisyys on mahdollinen valinta matemaattisessa mittaristossa , mutta ei välttämättä paras tapauksesta ja käytöstä riippuen.

Lausunnot

Geometriassa

Vuonna euklidisessa tasossa , eli kolmio ABC . Sitten pituudet AB , AC ja CB tyydyttävät seuraavat kolme eriarvoisuutta:

• ATB≤ATVS+VSB{\ displaystyle AB \ leq AC + CB} ;
• ATVS≤ATB+BVS{\ displaystyle AC \ leq AB + BC} ;
• BVS≤BAT+ATVS{\ displaystyle BC \ leq BA + AC}.

Ja päinvastoin, kun otetaan huomioon kolme pituutta, joista kukin (tai mikä riittää: suurempi) on pienempi kuin kahden muun summa, on olemassa kolmio, jolla on nämä sivupituudet.

Omaisuus johtuu näistä eriarvoisuuksista: |ATVS-VSB|≤ATB{\ displaystyle | AC-CB | \ leq AB} Tämä viimeinen epätasa-arvo tarkoittaa, että kolmiossa yhden sivun pituus on suurempi kuin kahden muun pituuksien ero. Mikä siis näkyy kolmion topologiaan liittyvänä ominaisuutena .

Toinen täydentää ne: ATB=ATVS+VSB⇔VS∈[ATB]{\ displaystyle AB = AC + CB \ Vasen nuoli C \ kohdassa [AB]}.

Kompleksiluvuille

Käyttämällä monimutkaista esitystä euklidisesta tasosta voimme huomata

• x=kiinnitä ATVS→{\ displaystyle x = {\ text {liitetiedosto}} {\ overrightarrow {AC}}}
• y=kiinnitä VSB→{\ displaystyle y = {\ text {liitetiedosto}} {\ overrightarrow {CB}}}

Tämä ekvivalentti formulaatio saadaan.

Sillä meillä on: (x,y)∈VS2{\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {C} ^ {2}}

• |x+y|≤|x|+|y|{\ displaystyle | x + y | \ leq | x | + | y ​​|} ;
• |x+y|=|x|+|y|⟺∃(λ,μ)∈R+2∖{(0,0)}, λy=μx{\ displaystyle | x + y | = | x | + | y ​​| \ Longleftrightarrow \ on olemassa (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2} \ setminus \ {(0 , 0) \}, \ \ lambda y = \ mu x}.

Yleistäminen prehilbertin tiloihin

Antaa olla todellinen prehilbertian tilaa. Toteamme normi liittyy skalaaritulo . Siksi tarkistamme: (E,⟨⋅|⋅⟩){\ displaystyle (E, \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle)}‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}(x,y)∈E2{\ displaystyle (x, y) \ muodossa E ^ {2}}

• ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |} ;
• ‖x+y‖=‖x‖+‖y‖⟺∃(λ,μ)∈R+2∖{(0,0)}, λy=μx{\ displaystyle \ | x + y \ | = \ | x \ | + \ | y \ | \ Longleftrightarrow \ on olemassa (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}, \ \ lambda y = \ mu x}.

(Mikä tahansa monimutkainen prehilbertin tila on piste-tuotteelle todellinen prehilbertin tila , joka indusoi saman normin kuin Hermitian tuote .) (E,⟨⋅|⋅⟩′){\ displaystyle (E, \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle ')}⟨x|y⟩: =Re(⟨x|y⟩′){\ displaystyle \ langle x | y \ rangle: = \ mathrm {Re} (\ langle x | y \ rangle ')} ⟨⋅|⋅⟩′{\ displaystyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle '}

Aksiomaattinen näkökulma

Olkoon E joukko ja . Sanomme, että d on E : n etäisyys, jos: d:E×E→R+{\ displaystyle d: E \ kertaa E \ arvoksi \ mathbb {R} ^ {+}}

• ∀(x,y)∈E2, d(x,y)=d(y,x){\ displaystyle \ forall (x, y) \ muodossa E ^ {2}, \ d (x, y) = d (y, x)}
• ∀(x,y)∈E2, d(x,y)=0⟺x=y{\ displaystyle \ forall (x, y) \ muodossa E ^ {2}, \ d (x, y) = 0 \ Longleftrightarrow x = y}
• ∀(x,y,z)∈E3, d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z){\ displaystyle \ forall (x, y, z) \ muodossa E ^ {3}, \ d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}

Kolmas ominaisuus, jonka on oltava etäisyys, on tarkistaa kolmiomainen epätasa-arvo. Ensimmäiseen liittyneenä se sisältää: d{\ displaystyle d}

• ∀(x,y,z)∈E3, |d(x,z)-d(y,z)|≤d(x,y){\ displaystyle \ forall (x, y, z) \ muodossa E ^ {3}, \ | d (x, z) -d (y, z) | \ leq d (x, y)}

ja yleisemmin mikä tahansa ei-tyhjä osa on E , (katso ”  Etäisyys pisteen osaan  ”). |d(x,AT)-d(y,AT)|≤d(x,y){\ displaystyle | d (x, A) -d (y, A) | \ leq d (x, y)}

Päinvastoin . |d(x,z)-d(y,z)|≤d(x,y)⟹d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z){\ displaystyle | d (x, z) -d (y, z) | \ leq d (x, y) \ Longrightarrow d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}

Mikä tahansa normalisoitu vektoritila - erityisesti - on luonnollisesti varustettu etäisyydellä , jonka määrittelee , jolle kasvu kirjoitetaan: (E,‖ ‖){\ displaystyle (E, \ | ~ \ |)}(VS,| |){\ displaystyle (\ mathbb {C}, | ~ |)}d{\ displaystyle d}d(x,y)=‖x-y‖{\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}|d(x,0)-d(y,0)|≤d(x,y){\ displaystyle | d (x, 0) -d (y, 0) | \ leq d (x, y)}

• |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖{\ displaystyle {\ iso |} \ | x \ | - \ | y \ | {\ iso |} \ leq \ | xy \ |}.

Esittely

Antaa olla todellinen prehilbertin tila ja . (E,⟨⋅|⋅⟩){\ displaystyle (E, \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle)}(x,y)∈E2{\ displaystyle (x, y) \ muodossa E ^ {2}}

Eriarvoisuus

Meillä on . ‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2+2⟨x|y⟩{\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ langle x | y \ rangle}

Vuoteen Cauchy-Schwarz , . ⟨x|y⟩≤|⟨x|y⟩|≤‖x‖‖y‖{\ displaystyle \ langle x | y \ rangle \ leq | \ langle x | y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |}

Mistä . ‖x+y‖2≤‖x‖2+‖y‖2+2‖x‖‖y‖=(‖x‖+‖y‖)2{\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ | x \ | \ | y \ | = (\ | x \ | + \ | y \ |) ^ {2}}

Ja niin . ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |}

(Jos on euklidinen taso, tunnistaa kompleksitasossa , joilla on sisempi tuote ⟨ u , v ⟩ = Re ( u v ) - jonka liittyvä standardi on moduuli - Cauchyn-Schwarz epätasa käytetään tässä, kuten myös tasa tapauksessa alle , kompleksilukujen perusominaisuus .) E{\ displaystyle E}

Tasa-arvon tapaus

Oletetaan, että ja . ‖x+y‖=‖x‖+‖y‖{\ displaystyle \ | x + y \ | = \ | x \ | + \ | y \ |}y≠0{\ displaystyle y \ neq 0}

Aikaisemmalla on näin . ⟨x|y⟩=|⟨x|y⟩|=‖x‖‖y‖{\ displaystyle \ langle x | y \ rangle = | \ langle x | y \ rangle | = \ | x \ | \ | y \ |}

Joten, jota Cauchyn-Schwarz tasa tapaus , jossa . x=λy{\ displaystyle x = \ lambda y}λ=⟨x|y⟩/‖y‖2=‖x‖/‖y‖≥0{\ displaystyle \ lambda = \ langle x | y \ rangle / \ | y \ | ^ {2} = \ | x \ | / \ | y \ | \ geq 0}

Lopuksi meillä on hyvä kanssa . λy=μx{\ displaystyle \ lambda y = \ mu x}μ=1{\ displaystyle \ mu = 1}

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Minkowskin eriarvoisuus
• Täysin tilattu ryhmä

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">