Minkowskin eriarvoisuus
On matematiikka , Minkowskin epäyhtälö , joten saanut nimensä Hermann Minkowski , on kolmiomainen epätasa varten normi on tilat L p ja p ≥ 1 , jolloin vahvistetaan, että ne ovat normalisoitu vektori tilat .
Se koskee myös sviittitilojen standardia ℓ s .
Osavaltiot
Antaa mitattu tila , s ∈ [1, + ∞ [ ja kaksi toimintoa f , g ∈ L p ( X ) . Niin
(X,AT,μ){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}![{\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d634d210e57700027029694595ffea10410bf0d5)
‖f+g‖s≤‖f‖s+‖g‖s,{\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p},}
tarkoittaen
(∫|f+g|sdμ)1s≤(∫|f|sdμ)1s+(∫|g|sdμ)1s.{\ displaystyle \ left (\ int | f + g | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ leq \ left (\ int | f | ^ { p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}} + \ vasen (\ int | g | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}![{\ displaystyle \ left (\ int | f + g | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ leq \ left (\ int | f | ^ { p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}} + \ vasen (\ int | g | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15d74f902734e5d849acc81b18f7178a15e94c8)
Esittely
L p ( X ) on vektoriavaruus, f + g ∈ L p ( X ) . Jos ║ f + g ║ p = 0 , epätasa-arvo tarkistetaan.
Muussa tapauksessa soveltamalla peräkkäin ℝ: n kolmikulmaista epätasa-arvoa ja Hölderin epätasa-arvoa ( q = p / ( p - 1)) saadaan
‖f+g‖ss=∫|f+g|sdμ≤∫(|f|+|g|)|f+g|s-1dμ=∫|f||f+g|s-1dμ+∫|g||f+g|s-1dμ≤((∫|f|sdμ)1/s+(∫|g|sdμ)1/s)(∫|f+g|(s-1)(ss-1)dμ)1-1s=(‖f‖s+‖g‖s)‖f+g‖ss‖f+g‖s,{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ | f + g \ | _ {p} ^ {p} & = \ int | f + g | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \\ & \ leq \ int (| f | + | g |) | f + g | ^ {p-1} \ mathrm {d} \ mu \\ & = \ int | f || f + g | ^ {p-1} \ mathrm {d} \ mu + \ int | g || f + g | ^ {p-1} \ mathrm {d} \ mu \\ & \ leq \ vasen (\ vasen (\ int | f | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {1 / p} + \ left (\ int | g | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {1 / p} \ right) \ left ( \ int | f + g | ^ {(p-1) \ vasen ({\ frac {p} {p-1}} \ oikea)} \ mathrm {d} \ mu \ oikea) ^ {1 - {\ frac {1} {p}}} \\ & = (\ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}) {\ frac {\ | f + g \ | _ {p} ^ { p}} {\ | f + g \ | _ {p}}}, \ end {tasattu}}}![{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ | f + g \ | _ {p} ^ {p} & = \ int | f + g | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \\ & \ leq \ int (| f | + | g |) | f + g | ^ {p-1} \ mathrm {d} \ mu \\ & = \ int | f || f + g | ^ {p-1} \ mathrm {d} \ mu + \ int | g || f + g | ^ {p-1} \ mathrm {d} \ mu \\ & \ leq \ vasen (\ vasen (\ int | f | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {1 / p} + \ left (\ int | g | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {1 / p} \ right) \ left ( \ int | f + g | ^ {(p-1) \ vasen ({\ frac {p} {p-1}} \ oikea)} \ mathrm {d} \ mu \ oikea) ^ {1 - {\ frac {1} {p}}} \\ & = (\ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}) {\ frac {\ | f + g \ | _ {p} ^ { p}} {\ | f + g \ | _ {p}}}, \ end {tasattu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a723d6cec43fcf4bb4f1912656fb48a71c59558)
tästä johtuu ilmoitettu eriarvoisuus.
Lisäksi p > 1: llä on tasa-arvo vain ja vain, jos f ja g ovat positiivisesti yhteydessä melkein kaikkialle (pp) , ts. Jos f = 0 pp tai jos todellinen λ ≥ 0 on sellainen, että g = λ f pp
Erikoistapaukset
Kuten haltijan epätasa Minkowskin n epätasa pitää kussakin yksittäistapauksessa vektorien ℝ n (tai ℂ n ) ja jopa sarjan ( n = ∞ ):
(∑k=1ei|xk+yk|s)1/s≤(∑k=1ei|xk|s)1/s+(∑k=1ei|yk|s)1/s.{\ displaystyle \ left (\ summa _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} + y_ {k} | ^ {p} \ oikea) ^ {1 / p} \ leq \ left (\ summa _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p} \ oikea) ^ {1 / p} + \ vasen (\ summa _ {k = 1} ^ {n} | y_ {k} | ^ {p} \ oikea) ^ {1 / p}.}![\ vasen (\ sum_ {k = 1} ^ n | x_k + y_k | ^ p \ oikea) ^ {1 / p} \ le \ vasen (\ sum_ {k = 1} ^ n | x_k | ^ p \ oikea) ^ {1 / p} + \ vasen (\ sum_ {k = 1} ^ n | y_k | ^ p \ oikea) ^ {1 / p}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23c1b96c116c1aba72a0733a8e9277d502de086)
Nämä eriarvoisuudet voidaan päätellä edellisestä käyttämällä laskentamittaria .
Minkowskin kiinteä eriarvoisuus
Anna ja olla kahden mitatun tilat σ-äärellinen ja positiivinen mitattavissa toiminto niiden tuote . Sitten kaikille p ∈ [1, + ∞ [ :
(X,AT,μ){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}
(Y,B,v){\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}}, \ nu)}
F{\ displaystyle F}![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
(∫X(∫YF(x,y)dv(y))sdμ(x))1s≤∫Y(∫XF(x,y)sdμ(x))1sdv(y).{\ displaystyle \ left (\ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} F (x, y) \, \ mathrm {d} \ nu (y) \ right) ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ oikea) ^ {\ frac {1} {p}} \ leq \ int _ {Y} \ vasen (\ int _ {X} F (x, y) ^ {p} \ , \ mathrm {d} \ mu (x) \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \, \ mathrm {d} \ nu (y).}![{\ displaystyle \ left (\ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} F (x, y) \, \ mathrm {d} \ nu (y) \ right) ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ oikea) ^ {\ frac {1} {p}} \ leq \ int _ {Y} \ vasen (\ int _ {X} F (x, y) ^ {p} \ , \ mathrm {d} \ mu (x) \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \, \ mathrm {d} \ nu (y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c132d7b89581e4b382cdae8841e9af9b136f5d2)
Esittely
Huomaa , ja sellainen .
f(x): =∫YF(x,y)dv(y){\ displaystyle f (x): = \ int _ {Y} F (x, y) \, \ mathrm {d} \ nu (y)}
M: =∫Y‖F(⋅,y)‖Ls(μ)dv(y){\ displaystyle M: = \ int _ {Y} \ | F (\ cdot, y) \ | _ {\ mathrm {L} ^ {p} (\ mu)} \, \ mathrm {d} \ nu (y)}
q∈]1,∞]{\ displaystyle q \ in] 1, \ infty]}
1s+1q=1{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}![{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff66949e963cd56cc66808c26aa25f186ac40c69)
Tavoitteena on osoittaa, että , tai jopa, mukaan ääritapaus Hölder epäyhtälö , että . Riittää, että (olettaen yleistystä menettämättä , että ) soveltaa lause, Fubini -Tonelli ja epätasa haltijalle.
‖f‖Ls(μ)≤M{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ mathrm {L} ^ {p} (\ mu)} \ leq M}
∀g∈Lq(μ)‖fg‖L1(μ)≤M‖g‖Lq(μ){\ displaystyle \ kaikki g \ sisällä \ mathrm {L} ^ {q} (\ mu) \ quad \ | fg \ | _ {\ mathrm {L} ^ {1} (\ mu)} \ leq M \ | g \ | _ {\ mathrm {L} ^ {q} (\ mu)}}
g≥0{\ displaystyle g \ geq 0}![{\ displaystyle g \ geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9beeeef79ee73a89cef1e1986fc88d7d248f4e)
Siinä tapauksessa, että on pari ja laskentamitta, σ-lopullisuusoletus on tarpeeton ja löydämme edellisen lauseen.
Y{\ displaystyle Y}
v{\ displaystyle \ nu}
μ{\ displaystyle \ mu}![\ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
Tapauksessa, jossa p > 1, on tasa-arvo (jos ja) vain, jos positiivisia mitattavia (päällä ja vastaavasti) on niin, että F ( x , y ) = φ ( x ) ψ ( y ) pp tuotemittaukselle .
φ,ψ{\ displaystyle \ varphi, \ psi}
X{\ displaystyle X}
Y{\ displaystyle Y}![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
Huomautuksia ja viitteitä
-
(in) Elias M. Stein , Singular Integraalit ja differentiability ominaisuudet Toiminnot , PUP ,1970( lue verkossa ) , s. 271, § A.1.
-
(en) GH Hardy , JE Littlewood ja G.Polya , eriarvoisuudet , CUP ,1952, 2 nd ed. ( 1 st toim. 1934) ( lue linja ) , s. 148, th. 202.
-
(in) René Castillo Humberto Rafeiro Erlin, pitänyt kurssin Lebesgue tiloissa , Springer , ai. " CMS- kirjat matematiikassa",2016( lue verkossa ) , s. 57, th. 3.25.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">