Olkoon E ja F on mitattavissa tilojen varustettu niiden heimoja vastaaviin ℰ ja ℱ.
Funktio f : E → F sanotaan olevan (ℰ, ℱ) -measurable jos heimo vastavuoroisesti kuva , jonka f heimon ℱ sisältyy ℰ, eli jos:
Identiteetti, kahden mitattavan funktion yhdistelmä, on mitattavissa. Mitattavissa toimintoja siten toimitettava luokan mitattavissa tilojen kanssa luokan rakennetta .
Jos F on asetettu sekä todelliset luvut ja jos ℱ on sen Borelian heimo , me vain sanoa, että f on mitattavissa toiminto ( E , ℰ).
Borelian heimon ℝ on luotu (esimerkiksi) esitetyt puoli-linjat muodossa ] , + ∞ [ , liikenteen lemman varmistaa sen, että f on mitattavissa toiminnon ( E , ℰ) jos ja vain jos vastavuoroista f : n kuva jokaisesta näistä puoliviivoista on ℰ. Esimerkiksi: mikä tahansa reaalisen muuttujan todellinen funktio, joka on yksitoikkoinen, on Borelian.
Toiminnoille, joiden arvot ovat valmiilla rivillä ℝ = ℝ ∪ {–∞, + ∞} , samanlainen tulos pätee väliin ] a , + ∞] .
Olkoon E mitattava tila ja ( f n ) n mitattavien toimintojen sarja E: stä ℝ: een (tai jopa ℝ: seen ). Sitten funktio f määritellään f = sup n f n (jossa on arvot ℝ ) on mitattavissa. Todellakin f : n ] a , + ∞]: n vastavuoroinen kuva voidaan kirjoittaa
ja tämä joukko on ℰ: n alkioiden laskettava yhdistelmä, joten mitattava joukko.
Johtamalla vastakohtia, päättelemme, että jos toiminnot f n ja E on ℝ ovat kaikki mitattavissa, niin funktio inf n f n on myös mitattavissa .
Voimme sitten osoittaa, että ala- ja ylärajatoiminnot liminf n → ∞ f n ja limsup n → ∞ f n ovat myös mitattavissa.
Erityisesti :
Jos ( E , ℰ) on erotettavissa metrizable tila jolla on sen Borelian heimo, mitattavissa toiminto E (todellisia arvoja) ja rajoittuu on monotoninen raja jatkuvan rajoitettujen toimintojen .