Metrinen tila

In matematiikan ja erityisemmin topologia , eli metrinen avaruus on joukko , jonka sisällä käsitettä etäisyyden välillä elementtien sarja on määritelty. Elementtejä kutsutaan yleensä pisteiksi.

Mikä tahansa metrinen tila on kanonisesti varustettu topologialla . Metrizable tilat ovat topologinen tilat tällä tavalla saatu.

Intuitiiviseen avaruuskokemukseemme parhaiten soveltuva esimerkki on kolmiulotteinen euklidinen avaruus . Tämän avaruuden euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen välisen etäisyyden niitä yhdistävän segmentin pituudeksi.

Isometria luokka metristä tila (eli asetettu kaikkien tilojen saman metrinen rakenne) on paljon pienempi kuin sen homeomorphy luokka . Esimerkiksi neliö, kolmio, ympyrä ja kaikki Jordanin käyrät ovat homeomorfisia, mutta ne eivät ole isometrisiä. Siten metrinen rakenne koodaa paljon enemmän tietoa esineiden geometrisesta muodosta kuin yksinkertainen topologinen rakenne; mikä ei ole yllättävää, koska kahden pisteen välisen etäisyyden käsite on keskeinen tavalliselle geometrialle.

Metrisen tilan käsitteen muotoili ensin ranskalainen matemaatikko René Maurice Fréchet vuonna 1906 puolustetussa tutkielmassaan.

Määritelmä

Määritelmä (metrinen tila) - metrinen tila on pari, jossa on tyhjä joukko ja joka on etäisyyden yli , eli sovellus, joka täyttää seuraavat kolme ominaisuutta. $(E, d)$ $E$ $d$ $E$ ${\ displaystyle d: E \ kertaa E \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$

Symmetria: . ${\ displaystyle \ kaikki x, y \ E: ssä, \, d (x, y) = d (y, x)}$
Etäisyys: . ${\ displaystyle \ kaikki x, y \ E: ssä, \, d (x, y) = 0 \ vasen nuoli x = y}$
Kolmikulmainen epätasa-arvo . ${\ displaystyle \ kaikki x, y, z \ E: ssä, \, d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$

Yksinkertaisuuden vuoksi metriseen tilaan viittaa joskus vain joukko eikä pari, kun taustalla olevasta etäisyydestä ei ole epäselvyyttä . $E$ $(E, d)$ $d$

Metrisen avaruuden topologia

Pallo ja pallo

Määritelmä (pallo ja pallo) - Antaa olla metrinen tila, ja . Määritämme avoimen ja suljetun pallon , keskitettynä sisäänpäin ja säteellä , seuraavasti. $(E, d)$ $vanhin$ ${\ displaystyle r \ sisään \ vasen] 0, + \ infty \ oikea [}$ $klo$ $r$

Avoin pallo: . ${\ displaystyle B (a, r): = \ {x \ E: ssä, | \, d (a, x) <r \}}$
Pallo kiinni: . ${\ displaystyle B_ {f} (a, r): = \ {x \ E: ssä, | \, d (a, x) \ leq r \}}$

Määritämme myös pallon keskitetyn ja säteen kanssa seuraavasti. $klo$ $r$

Pallo . ${\ displaystyle S (a, r): = B_ {f} (a, r) \ setminus B (a, x) = \ {x \ E: ssä, | \, d (a, x) = r \}}$

Huomaa, että pallo, avoin tai suljettu, ei ole koskaan tyhjä, koska se sisältää aina sen keskipisteen . Toisaalta pallo voi olla tyhjä. $klo$

Joskus on kätevää määritellä käsite tylsä pallo (avoin tai suljettu): Tämä on pallo, joka on määritelty kuten aiemmin, ja sen keskiosa on riistetty . Esimerkiksi tylsä avoin pallo, jonka säde on r ja keskikohta , osoittaa joukon:

${\ displaystyle B (a, r) \ setminus \ {a \}}$ .

Topologia

Antaa olla metrinen tila. Määritämme kokoonpanon, joka koostuu kaikista mahdollisista avoimien pallojen liitoksista, tarkemmin: $(E, d)$ ${\ mathcal {T}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {T}}: = \ {\ cup _ {i \ in I} B (a_ {i}, r_ {i}) \, | \, I {\ text {kaikki sarjat ja}} \ forall i \ in I, \, a_ {i} \ in E, \, r_ {i}> 0 \}}$

jossa katsomme, että tyhjä unioni (kun ) on tyhjän sarjan arvoinen . ${\ displaystyle I = \ lakkaus}$ $\ lakkaus$

Ehdotus / määritelmä (metrisen avaruuden topologiasta) - Joukko on topologia , jota kutsutaan etäisyyden tuottamaksi topologiaksi . Se tarkoittaa sitä ${\ mathcal {T}}$ $E$ $d$

Tyhjä joukko samoin kuin koko sarja kuuluvat . $\ lakkaus$ $E$ ${\ mathcal {T}}$
Sarja on vakaa missään liitossa. ${\ mathcal {T}}$
Sarja on vakaa rajallisella risteyksellä. ${\ mathcal {T}}$

Määritelmä (avoin, suljettu ja naapurustossa) - Käytämme seuraavaa sanastoa.

Elementit ovat soitetaan, avoin niistä on . ${\ mathcal {T}}$ $E$
Osajoukkojen jotka on kirjoitettu kuin täydentää avoimen, toisaalta, kutsutaan suljetun ja . $E$ $E$
Joukko sanotaan olevan naapurustossa jos on avoin sellainen, että . ${\ displaystyle V \ osajoukko E}$ $x \ E: ssä$ ${\ displaystyle U \ paikassa {\ mathcal {T}}}$ ${\ displaystyle x \ U-osajoukossa V}$

Avoimen, suljetun ja naapuruston käsitteet ovat itse asiassa topologisiin tiloihin liittyviä käsitteitä , yleisempiä, eivätkä ne ole ominaisia metrisille tiloille.

Ensimmäiset ominaisuudet

Mikä tahansa avoin pallo on avoin pallo.
Mikä tahansa suljettu pallo on suljettu.
Jokainen pallo on suljettu.
Osa of E on naapurustossa pisteen jos ja vain jos sisältää avoimen pallon keskelle .
Avoin pallot keskitetty pisteeseen muodostavat perustan lähiöissä ja . Eli mitä tahansa naapurustossa sisältää avoimen pallon keskelle .
Kaikki avoimet pallot muodostaa pohjan avoimen ja E . Toisin sanoen mikä tahansa avaus voidaan kirjoittaa avoimien pallojen liitokseksi (mikä tahansa).

Sviittien lähentyminen

Määritelmä (konvergenssi, kiinnittymisarvo, Cauchyn sekvenssi) - Antaa olla metrisen avaruuden ja . ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $(E, d)$ $x \ E: ssä$

Sanomme, että se lähentyy tai jos se on raja , jos ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $x$ $x$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ olemassa n_ {0} \ geq 0, \, \ forall n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Sanomme, että se on tarttumisarvo si $x$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ kaikki n_ {0} \ geq 0, \, \ olemassa n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Sanomme, että se on Cauchy-sekvenssi, jos ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ olemassa n_ {0} \ geq 0, \, \ forall p, q \ geq n_ {0}, \, d (x_ {p}, x_ {q}) \ leq \ varepsilon}

Seuraavat ominaisuudet tarkistetaan:

Konvergenttisekvenssillä on ainutlaatuinen tarttuvuusarvo, joka on sen raja.
Cauchyn sekvenssi yhtyy vain ja vain, jos sillä on tarttuvuusarvo.

Avoimen pallon tarttuminen

Adheesio avoimen pallo, jonka säde on r ja keskus , huomattava , on määritelmän mukaan pienin suljettu, jossa sen avoin pallo . Meillä on aina niin, koska suljettu pallo sisältää avoimen pallon ja on suljettu. Toisaalta on mahdollista, että tämä sisällyttäminen on tiukkaa. Esimerkiksi jos ajatellaan reaaliakselilla varustettuja etäisyyden jälkeen , ja . ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r)}$ ${\ displaystyle B (a, r)}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r) \ osajoukko B_ {f} (a, r)}$ ${\ displaystyle d (x, y): = \ min \ {| xy |, 1 \}}$ ${\ displaystyle B (0,1) = \ vasen] -1,1 \ oikea [}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (0,1) = \ vasen [-1,1 \ oikea]}$ ${\ displaystyle B_ {f} (0,1) = \ mathbb {R}}$

Huomautukset

Mitään ei-tyhjä osa on E , kartta joka missä tahansa kohdassa x ja E liittää etäisyys x ja (eli inf etäisyyk- x kaikkiin kiinnostaviin ) on jatkuva , koska 1- Lipschitzian . X , jossa se raja katoaa ovat jäseniä kohtaan on .
- Kaikki mitattavissa oleva topologinen
tila ei siis ole vain erotettu, vaan täysin normaali - siis normaali - toisin sanoen kaikki singletonit ovat kiinni ja että mikä tahansa suljettu F on jatkuvan funktion peruutuspaikka : sovellus x ↦ d ( x , F ).

Erityisesti, että minkä tahansa elementin on E , kartta x ↦ d ( x , ) on 1-Lipschitzian. Päätelmämme ovat seuraavat:

mikä tahansa suljettu pallo B f ( a , r ) on suljettu topologialle, joka liittyy etäisyyteen ( vastakuvana suljetun [0, r ] : n tällä kartalla ). Tarttuvuus B ( ,

R ) ja B ( , r ) sisältyy siten B f ( , R ), mutta joskus tiukasti: artikkeleissa " Ball (matematiikka) " ja " Ultrametric etäisyys ".

Kartan d on 2-Lipschitzian , on tuotteen tila E x E jolla on etäisyyden d

\infty

määritelty d

\infty

(( x 1 , x 2 ), ( y 1 , y 2 )) = max ( d ( x 1 , y 1 ), d ( x 2 , y 2 )).

Mitään osaa on E , indusoitu topologia osuu määrittelemä rajoittaminen etäisyys. Itse asiassa ne molemmat ovat kuin perustana lähiöissä pisteen x on leikkaa avoin pallot keskustan x .

Metrisen tilan sanotaan olevan puhdas, jos kaikki sen suljetut pallot ovat kompakteja . Mikä tahansa oikea metrinen tila on paikallisesti kompakti, mutta päinvastoin on väärä (ajattele rajattoman joukon erillistä etäisyyttä ).

Esimerkkejä

Normi N on todellinen tai monimutkaisia vektori tila luonnollisesti aiheuttaa etäisyyden d ( x , y ) = N ( x - y ).
Eri tavanomaiset etäisyydet ℝ n: llä johdetaan normista, esimerkiksi:
- (kun n = 1) tavanomainen etäisyys reaalilukujoukosta on absoluuttiseen arvoon liittyvä etäisyys ;
- (kun n = 2) etäisyys Manhattanista tasossa ℝ 2 : d ( a , b ) = | x b - x a | + | y b - y a | Se on normin 1 aiheuttama etäisyys ;
- (jos n = 2) shakin etäisyys antaa tietää shakin pelin siirtojen vähimmäismäärän kuninkaan kanssa neliöstä a = ( x a , y a ) neliöön b = ( x b , y b ) ja se määritellään seuraavasti: d ( a , b ) = max (| x b - x a |, | y b - y a |) ;
Moduuli on ero kahden kompleksiluvun on etäisyys.
Triviaali etäisyys (tai myös erillinen etäisyys tai diskreetti metriikka) määritetään mihin tahansa joukkoon seuraavasti: d ( x , y ) = 1, jos x ≠ y ja d ( x , x ) = 0. Liittyvä topologia on diskreetti topologia .
Hamming-etäisyys on käytetty korjaavia koodin teoriassa .
Topologinen tilat ℝ ja] 0, 1 [ ovat homeomorphic, mutta joka on varustettu tavallista etäisyys, ne eivät ole isomorfinen kuin metrinen tilat ; esimerkiksi ℝ on täydellinen, mutta] 0, 1 [ei ole.
Jos saamme ℝ + etäisyydellä d ( x , y ) = | e x - e y |, löydämme tavallisen topologian kohdasta ℝ +, mutta nyt kaikki polynomifunktiot ovat tasaisesti jatkuvia .

Metristen tilojen tulo

Mikä tahansa äärellinen tai laskettavissa tuote metristä tilat voidaan varustaa etäisyys, joka indusoi yhtenäinen tuotteen rakenne ja sitäkin suuremmalla syyllä tulotopologia : tätä, jos ( E k , d k ) ( k ∈ℕ) ovat metrijärjestelmän mukaisia tiloja, voimme esimerkiksi anna E 1 ×… × E n etäisyydellä d N, jonka määrittelee

d_ {N} {\ Big (} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) {\ Big)} = N {\ Big (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {\ iso)},

jossa N on vakio ℓ s mielivaltaisesti ℝ n (tai minkä tahansa muun standardin kasvaa päälle (ℝ + ) n ja tuote järjestyksessä ) ja tarjoamalla E = Π k ∈ℕ E k etäisyyden d määritellään

d (x, y) = \ sup _ {k \ sisään \ mathbb {N}} {\ frac {d_ {k} (x_ {k}, y_ {k})} {2 ^ {k}}},

jossa kukin matkan E k ensin vaihtaa tarvittaessa, jonka topologisesti vastaava etäisyys d k kasvoi jonka riippumaton vakio k . On helppo todeta, että d N ja d ovat todellakin etäisyydet vastaavilla joukkoilla ja että niiden määrittelemät topologiat yhtyvät tuotetopologioihin (laskelmat osoittavat jopa, että näiden kahden topologian lisäksi päällekkäisyydet ovat myös yhdenmukaiset. josta ne ovat peräisin, edellyttäen, että hän on valinnut, että ennen korvaaminen d k , vastaava etäisyydet tasaisesti, mutta ei vain topologisesti).

Jos jokainen d k on erillinen etäisyys , tämä d : n valinta antaa: jos x ≠ y , d ( x , y ) = 2 - k, missä k on pienin n siten, että x n ≠ y n . Esimerkkejä ovat Baire tilaa ja topologinen renkaat sekä virallista sarjassa .

Toisaalta ei- karkeiden topologisten tilojen ei-laskettava tuote ei ole koskaan mitattavissa eikä edes peräkkäinen .

Metristen tilojen vastaavuus

Vertaamalla kahta metristä tilaa on mahdollista erottaa eri vastaavuusasteet . Ainakin metriikan aiheuttaman topologisen rakenteen säilyttämiseksi tarvitaan jatkuva toiminto näiden kahden välillä.

Kaksi metristä tilaa ( M 1 , d 1 ) ja ( M 2 , d 2 ) sanotaan:

topologisesti isomorfinen (tai homeomorfinen ), jos niiden välillä on homeomorfismi ;
tasaisesti isomorfinen, jos niiden välillä on tasaisesti jatkuva bijektio, jonka vastavuoroisuus on tasaisesti jatkuva.
Lipschitz-ekvivalentit, jos on olemassa bijection yhdestä toiseen, joka on Lipschitzin, samoin kuin sen vastavuoroinen kartta.
isometrisesti isomorfinen, jos niiden välillä on yksi-yhteen-isometria. Tässä tapauksessa nämä kaksi välilyöntiä ovat olennaisesti identtiset. Isometria on funktio f : M 1 → M 2 , joka säilyttää etäisyydet: d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 1 ( x , y ) kaikille x , y on M 1 . Isometriat ovat välttämättä injektoivia .
samanlainen, jos positiivinen vakio k > 0 ja bijektio f : M 1 → M 2 , kutsutaan samankaltaisuudeksi , niin että d 2 ( f ( x ), f ( y )) = k d 1 ( x , y ) kaikille x , y on M 1 .
samanlainen, jos on olemassa bijektio f : M 1 → M 2 , jota kutsutaan samankaltaisuudeksi siten, että d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 2 ( f ( u ), f ( v )) ja vain jos d 1 ( x , y ) = d 1 ( u , v ) kaikkien x , y , u , v on M 1 .

Kaksi samanlaista euklidista avaruutta ovat väistämättä homeomorfisia, siksi saman mitoisia ja siksi isometrisiä.

Mitattava tila

Sanomme, että topologinen tila on mitattavissa, jos on olemassa etäisyys, joka tuottaa sen topologian. Tässä on joitain esimerkkejä mitattavista tiloista:

Esimerkkejä mitattavista tiloista

Yhdessä	Topologia	Etäisyyden muodostava topologia
todellinen suora $\ mathbb {R}$	tavallinen topologia, joka on luotu avoimilla väleillä ${\ displaystyle \ vasen] a, b \ oikea [}$	absoluuttiseen arvoon liittyvä etäisyys
monimutkainen suunnitelma $\ mathbb {C}$	avoimien suorakulmioiden tuottama topologia ${\ displaystyle \ {a <{\ mathfrak {Re}} (z) <b \} \ cap \ {c <{\ mathfrak {Im}} (z) <d \}}$	monimutkaiseen moduuliin liittyvä etäisyys
$\ mathbb {R} ^ {d}$	avoimien mukulakivien tuottama topologia ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {d} \ vasen] a_ {i}, b_ {i} \ oikea [}$	Euklidinen etäisyys
todellinen linja valmistunut ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$	topologia, jonka muodostavat lomakeryhmät tai missä ${\ displaystyle \ left] a, + \ infty \ right]}$ ${\ displaystyle \ vasen [- \ infty, a \ oikea [}$ $a \ sisään \ R$	${\ displaystyle d (x, y) = \| \ arctan (x) - \ arctan (y) \|}$ yleissopimuksen kanssa ${\ displaystyle \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm \, \ pi / 2}$
Todennäköisyys mittaukset on mitattavissa tila , jossa on metrizable ja erotettavissa ja joissa Borelian heimo nimeää ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {1} (X)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}} (X))}$ $X$ ${\ mathcal {B}} (X)$	ainutlaatuinen topologia, kuten pohjana lähiöissä toimenpiteen saadaan sarjaa , jossa on rajattu jatkuvan, ja $\ mu$ ${\ displaystyle \ {\ nu \ in {\ mathcal {M}} ^ {1} (X) \, \| \, \ kaikki 1 \ leq i \ leq n, \| \ mu (f_ {i}) - \ nu (f_ {i}) \| <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ pisteet, f_ {n}}$ $\ varepsilon> 0$ $n \ geq 1$	Lévy-Prokhorov-etäisyys
Vektoritila , jolla on lukuisia erottavia puolinormeja (eli merkitsee sitä ) $E$ ${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ ${\ displaystyle p_ {n} (x) = 0 ~ \ kaikki n}$ $x = 0$	ainutlaatuinen topologia siten, että vektorin naapurustojen perustan antavat joukot, joissa on äärellinen ja $x$ ${\ displaystyle \ {y \ in E \, \| \, \ for all i \ in J, \, p_ {i} (xy) <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle J \ osajoukko \ mathbb {N}}$ $\ varepsilon> 0$	${\ displaystyle d (x, y) = \ summa _ {n \ geq 0} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ min (p_ {n} (xy), 1)}$

On riittävät ja vastaavat olosuhteet, jotta topologinen tila voidaan mitata:

Ensimmäinen todella hyödyllinen johtuu Urysohnista ; hän sanoo, että mikä tahansa laskettavissa oleva perussäännöllinen tila on mitoitettavissa ( Tychonov todisti tämän ehdon muodon itse asiassa vuonna 1926. Urysohn havaitsi vuonna 1925 julkaistussa artikkelissa, että mikä tahansa laskettavissa oleva perusnormaali tila on mitattavissa). Esimerkiksi, mikä tahansa laskettavissa emäs lajike on metrizable. Myös kompakti on mitattavissa vain ja vain, jos sillä on laskettava perusta.
Tämä riittävä Urysohnin ehto (säännöllisyys + laskettava perusta) muutettiin Bingin, Nagatan ja Smirnovin tarpeelliseksi ja riittäväksi ehdoksi (säännöllisyys + paikallisesti äärellinen laskettavissa oleva emäs ) .
Smirnov on myös osoittanut, että tila on metroitavissa vain ja vain, jos se on parakompakti ja paikallisesti metroituva (tilan sanotaan olevan paikallisesti mitattavissa, jos jokaisella pisteellä on mitattava alue). Erityisesti lajike on mitattavissa vain ja vain, jos se on parakompakti.

Huomautuksia ja viitteitä

Jean Dieudonné , Analyysin elementit , t. I: Nykyaikaisen analyysin perusteet [ yksityiskohtainen painos ], 3 ja toim. , s. 34 .
(in) CC Heyde ja E Seneta, tilastokonferenssin on vuosisatojen , Springer,2001( ISBN 978-0-387-95329-8 , lue verkossa ) , s. 331
Maurice Fréchet, ” Joitakin funktionaalisen laskennan pisteitä ”, Thesis, Pariisi. Rendiconti Circolo -matto. Palermo , voi. 22,1906, s. 1-74 ( lue verkossa )
Jacques Dixmier , yleinen topologia , PUF , s. 107.
Georges Skandalis , rakenteeseen ja analyysi 3 kolmannen vuoden: opetukset ja harjoitukset ratkaisuja , vol. 3, Pariisi, Dunod ,2004, s. 4.
Lisätietoja seuraa esimerkiksi linkkiä sivun alareunassa on Wikiopisto .
Henri Bourlès , syvällisen ja perusmatematiikan tarkkuus , voi. 2: Kenttien laajennukset, topologia ja topologiset vektoritilat, toiminnalliset tilat, hyllyt , Lontoo, ISTE,2018, 316 Sivumäärä ( ISBN 978-1-78405-416-8 , luettu verkossa ) , s. 101-102.
Pierre-Loïc Méliot, " Mittausten lähentyminen, Poissonin ja Lévyn prosessit " ,2016, s. 12-14
Stéphane Mischler, ” kurssi funktionaalianalyysi ja PDE École Normale supérieure. Luku 1 - Puolistandardi ja johdanto evtcs: iin " ,2007

Katso myös