Semi-standardi

On matematiikka , joka on puoliksi normi on sovellus , joka vektori tila on joukko positiivisia reals . Se on "melkein" normi, mutta ominaisuus puuttuu: ei-nollavektorin puolinormi voi olla nolla.

On toiminnallinen analyysi , tämä tilanne on suhteellisen yleinen. Vektoritila on avaruuden funktioiden tila, joka mitataan reaaleissa tai komplekseissa olevilla arvoilla . Semi-normi vastaa esimerkiksi, että kiinteä ja itseisarvo tai moduulin toiminto. Nollatoiminto avaruudessa lukuun ottamatta vähäistä joukkoa ei ole nolla, mutta nolla puolinormi.

Topologia aiheuttama semi-normi annetaan tilaa rakenteen topologinen vektori tilaa , ei välttämättä erillään . Mukaan quotienting tämä tila, jonka hyvin valittu aliavaruus , saamme normalisoitu vektori tilaa . Vuonna Lebesguen integraalin teoria , ottaen huomioon tällaiset osamäärät johtaa työskennellä enää toiminnoista, vaan luokat toimintojen vastaavia joten tunnistettu jos ne eroavat vain yli vähäinen joukko.

Määritelmä ja esimerkkejä

Määritelmä

Tässä artikkelissa E tarkoittaa vektoriavaruutta kommutatiivisen kentän K yläpuolella . Yleensä K tarkoittaa reaalien tai kompleksien kenttää, vaikka teoriaa sovellettaisiin yleisemmässä yhteydessä.

Määritelmä  -  Sovellus on puolistandardi, jos se on: EI:E→R+{\ displaystyle {\ mathcal {N}}: E \ to \ mathbb {R} _ {+}}

• ehdottoman homogeeninen  :  ;∀(λ,x)∈K×EEI(λ⋅x)=|λ|EI(x){\ displaystyle \ forall (\ lambda, x) \ K \ kertaa E \ quad {\ mathcal {N}} (\ lambda \ cdot x) = | \ lambda | {\ mathcal {N}} (x)}
• sub-lisäainetta  : .∀(x,y)∈E2EI(x+y)≤EI(x)+EI(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x + y) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N} } (y)}

Puolinormi on normi vain ja vain, jos se täyttää seuraavat lisäominaisuudet: EI{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}

• erottaminen  : .∀x∈EEI(x)=0⇒x=0E{\ displaystyle \ forall x \ E \ quad {\ mathcal {N}} (x) = 0 \ Rightarrow x = 0_ {E}}

Esimerkkejä

Kaksi kokoonpanoa tuo luonnollisesti käyttöön normin funktionaalisessa analyysissä:

1. Antaa toimenpide yli mitattavissa tilaa (esimerkiksi: varustettu Borelian heimon ja Lebesguen mitta ), ja todellinen (Yksinkertaisimmassa tapauksessa on ). Mitattavien funktioiden joukko välillä Ω - K, jonka moduuli tehoon p on integroituva, on vektoritila, jota merkitään ℒ p (Ω, μ). Se on luonnollisesti varustettu puolistandardilla, jonka määrittelee:μ{\ displaystyle \ mu} Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω=R{\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R}}μ={\ displaystyle \ mu =}s≥1{\ displaystyle p \ geq 1}s=1{\ displaystyle p = 1} EIs{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {p}} ∀f∈Ls(Ω,μ)EIs(f)=[∫Ω|f|sdμ]1/s{\ displaystyle \ forall f \ muodossa {\ mathcal {L}} ^ {p} (\ Omega, \ mu) \ quad {\ mathcal {N}} _ {p} (f) = {\ left [\ int _ {\ Omega} | f | ^ {p} \ mathrm {d} \ mu \ right]} ^ {1 / p}}.Erottaminen ominaisuus puuttuu: heti kun toiminto on nolla täydennys on μ-vähäinen joukko , sen semi-normi on nolla.
2. Toinen esimerkki on ainesosa heikon topologian määritelmässä . On elementti kahden E * on E , joka on sanoa lineaariseen muotoon on E . Seuraavassa määritelty sovellus on puolistandardi:φ{\ displaystyle \ varphi} sφ{\ displaystyle p _ {\ varphi}} ∀x∈Esφ(x)=|φ(x)|{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad p _ {\ varphi} (x) = | \ varphi (x) |}.Tämä osittain normi on nolla ytimen ja (joka on hypertaso jos ).φ{\ displaystyle \ varphi}φ≠0{\ displaystyle \ varphi \ neq 0}

Ominaisuudet

Topologia

Kuten normi, semi-normi määrittelee topologia , jonka avoin pallot keskus pisteen x muodostavat perustan lähiöissä ja x  : joukko O on auki, jos kullekin pisteelle x on O , on olemassa avoin pallo-tyhjä keskus x sisältyy O: han . Tämä topologia erotetaan vain ja vain, jos puoli-normi täyttää erotusominaisuuden , toisin sanoen jos puoli-normi on normi.

Tätä topologiaa varten summaus ja kertolasku skalaarilla ovat jatkuvia: sanomme, että tämän topologian tarjoama vektoritila E on topologinen vektoritila . Myös puolistandardi on jatkuva. Lisäksi pallot ovat kuperia .

Demonstraatiot ovat samanlaisia ​​kuin artikkelissa " Norm (matematiikka)  " ehdotetut  .

Ydin

Puolinollan normin vektorilla on erityinen rooli, mikä oikeuttaa seuraavan määritelmän:

Määritelmä  -  Puolinollanormien joukkoa kutsutaan puolinormin ytimeksi .

Ytimellä on sekä algebralliset että topologiset ominaisuudet:

Lause  -  Puolinormin ydin on suljettu vektorialatila . Se on sama kuin tarttumista on nolla aliavaruuden .

Vektori x on itse asiassa kiinni ( singletti pienennetty nollavektoriksi ) vain ja vain, jos mikä tahansa avoin pallo, jonka keskipiste x ja säde r > 0, sisältää tämän nollavektorin, mikä johtaa: x : n puoli-normi on pienempi kuin mikä tahansa r > 0 tai muuten: x kuuluu ytimeen. Tämä osoittaa, että ydin on todellakin tyhjän alatilan tarttuminen. Siksi se on suljettu vektorialatila (kuten minkä tahansa vektorialatilan kiinnittyminen topologiseen vektoritilaan). {0}{\ displaystyle \ {0 \}}

Kuperuus

Jos peruskenttä on ℝ , mikä tahansa puolinormi on aliviivainen kartta ja siten kupera .

Puolikokoinen kartio

Kahden normin summa on puolinormi. Se on sama positiivisen reaalin puolinormin tuloksen kanssa. Toisin sanoen :

Puolinormien joukko avaruudessa E on a : n E- karttojen avaruuden terävä, kupera kartio .

Normi ​​ja osamäärä

Olkoon H vektorien E nollanormin alitila . Kolmion muotoisen epätasa-arvon mukaan puolinormi on vakio E / H- osamäärävektoriavaruuden kussakin luokassa . Siksi voimme varustaa tämän osamäärän indusoidulla normilla asettamalla:

Määritelmä  -  Jos H on ydin puoliksi normi on E , normi indusoi on osamäärä E / H on määritelty: EI{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}EIE/H{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {E / H}}

∀x∈EEIE/H(x¯)=EI(x).{\ displaystyle \ forall x \ E \ quadissa {\ mathcal {N}} _ {E / H} ({\ bar {x}}) = {\ mathcal {N}} (x).}

Koska on helpompaa työskennellä erillisessä tilassa, tätä osamenetelmää käytetään laajasti esimerkiksi funktionaalisessa analyysissä . Mennään takaisin esimerkissä 1 edellä . Puolinormin ydin on nollan Ω μ- funktioiden alatila melkein kaikkialla . Tämän ytimen ℒ p (Ω, μ) osamäärä on normalisoitu vektoritila (L p (Ω, μ), ║ ║ p ) . EIs{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {p}}

Puolistandardiperheen määrittelemä topologia

Puolikokoinen suodatinperhe

Perhe semi-normien sanotaan olevan suodattamalla , jos jokin äärellinen alaryhmä nostetaan yksi semi-normit . (si)i∈Minä{\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ in I}}E{\ displaystyle E} (sj)j∈J{\ displaystyle (p_ {j}) _ {j \ J}}si{\ displaystyle p_ {i}}

Esimerkiksi, perhe osittain standardien määritelty esimerkissä 2 edellä on ei suodattamalla. (sφ)φ∈E∗{\ displaystyle (p _ {\ varphi}) _ {\ varphi \ kielellä E ^ {*}}}

Kuitenkin, kaikki perheen semi-standardien , seuraavat perheen semi-standardien suodatus: (si)i∈Minä{\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ in I}}E{\ displaystyle E}

(sJ)J valmis ⊂Minä{\ displaystyle (p_ {J}) _ {J {\ text {valmis}} \ osajoukko I}}, missä on puolistandardi .sJ{\ displaystyle p_ {J}}x↦enintj∈Jsj(x){\ displaystyle x \ mapsto \ max _ {j \ kohteessa J} {p_ {j} (x)}}

Liittynyt topologia

Harkita suodatus perhe semi-normien (voimme aina vähentää itse Suodatuksen tapauksessa, edellä kuvattu menettely). Sitten, seuraavat joukot muodostavat perheen naapurustossa emästen määrittävät topologia on , mikä tekee topologinen vektori tila (kuten tilaa kutsutaan paikallisesti kupera tila ): (si)i∈Minä{\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ in I}}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}

Otamme kunkin vektorin naapurustojen perustaksi joukon indeksoidun perheen ja ns. "  P- pallot": x{\ displaystyle x}i∈Minä{\ displaystyle i \ sisään I}R>0{\ displaystyle R> 0}

β(x,i,R): ={y∈E∣si(y-x)<R}{\ displaystyle \ beta (x, i, R): = \ {y \ E \ keskellä p_ {i} (yx) <R \}}.

Toisin sanoen: ryhmien naapurustot sisältävät ainakin yhden "  p- pallon" keskipisteen . x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}

Esittely

Tarkistakaamme, että naapuruston viisi aksiomia todella täyttyvät:

1. If on naapuruston ja sitten on naapuruston  : määritelmän mukaan.V{\ displaystyle V}x{\ displaystyle x}W⊃V{\ displaystyle W \ supset V}W{\ displaystyle W}x{\ displaystyle x}
2. Kahden naapuruston risteyskohde on naapuruus  : jos ja koska puolinormien perhe suodatetaan, pääaineen perheestä on olemassa puolinormi ja . Joten .x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}β(x,i1,R1)⊂V{\ displaystyle \ beta (x, i_ {1}, R_ {1}) \ osajoukko V}β(x,i2,R2)⊂W{\ displaystyle \ beta (x, i_ {2}, R_ {2}) \ osajoukko W}si{\ displaystyle p_ {i}}si1{\ displaystyle p_ {i_ {1}}}si2{\ displaystyle p_ {i_ {2}}}β(x,i,min(R1,R2))⊂V∩W{\ displaystyle \ beta (x, i, \ min (R_ {1}, R_ {2})) \ osajoukko V \ korkki W}
3. E{\ displaystyle E}on naapuruston  : välittömät.x{\ displaystyle x}
4. Jokainen naapuruston sisältää  : .x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}x∈β(x,i,R){\ displaystyle x \ in \ beeta (x, i, R)}
5. Mille tahansa naapurustossa ja on olemassa naapurustossa on sellainen, että on naapurustossa kunkin pisteen  : että on , on olemassa sellainen, että ja sitten . Tämä osoittaa sen , mikä on sen vuoksi .V{\ displaystyle V}x{\ displaystyle x}W{\ displaystyle W}x{\ displaystyle x}V{\ displaystyle V}W{\ displaystyle W}y∈W: =β(x,i,R)⊂V{\ displaystyle y \ W: = \ beta (x, i, R) \ osajoukko V}a>0{\ displaystyle \ alpha> 0}si(y-x)+a<R{\ displaystyle p_ {i} (yx) + \ alfa <R}∀z∈Esi(z-y)<a⇒s(z-x)≤s(y-x)+s(z-y)<s(y-x)+a<R{\ displaystyle \ forall z \ in E \ quad p_ {i} (zy) <\ alpha \ Rightarrow p (zx) \ leq p (yx) + p (zy) <p (yx) + \ alfa <R}β(y,i,a)⊂β(x,i,R)⊂V{\ displaystyle \ beta (y, i, \ alpha) \ osajoukko \ beta (x, i, R) \ osajoukko V}y{\ displaystyle y}

Juuri määrittelemämme topologia on yhteensopiva vektoriavaruuden rakenteen kanssa: sama todiste kuin normiin liittyvälle topologialle .

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Mittari kupera

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">