Sublineaarinen sovellus

Antaa olla vektoriavaruus on ℝ . Sanomme, että sovellus on aliviivainen, kun: V{\ displaystyle V}s:V→R∪{+∞}{\ displaystyle s \, \ kaksoispiste \, V \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}

• Kaikkien vektorit ja on , (sanomme, että on subadditive ),x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}V{\ displaystyle V}s(x+y)≤s(x)+s(y){\ displaystyle s (x + y) \ leq s (x) + s (y)}s{\ displaystyle s}
• tahansa vektori ja kaiken , (sanomme, että on positiivisesti homogeeninen ).x{\ displaystyle x}λ≥0{\ displaystyle \ lambda \ geq 0}s(λx)=λs(x){\ displaystyle s (\ lambda x) = \ lambda \, s (x)}s{\ displaystyle s}

Sublineaariset kartat ovat kuperia .

Esimerkkinä sublineaarisista sovelluksista lainataan puolinormit tai yleisemmin mikä tahansa lähtöä sisältävän kuperan mittari .

Huomautuksia ja viitteitä

1. Vrt. (En) Eric Schechter  (en) , Analyysin ja sen perustusten käsikirja , Academic Press ,1997( lue verkossa ) , s.  313-314. Tässä tapauksessa löydämme vastaavan määritelmän julkaisuista (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty ja Claude Lemaréchal, Kupera analyysin perusteet , Springer , coll.  "Grundlehren Text Editions",V=Rei{\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}2004( 1 st  toim. 2001) ( ISBN  978-3-540-42205-1 ) , s.  124ja julkaisussa (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty ja Claude Lemaréchal, kuperan analyysin ja minimoinnin algoritmit I: Fundamentals , Springer, coll.  "Grundlehren Text Editions",1993( ISBN  3-540-56850-6 ) , s.  198.
2. Sillä (tavan mukaan ) tämä ehto merkitsee .λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}0×∞=0{\ displaystyle 0 \ kertaa \ infty = 0}s(0)=0{\ displaystyle s (0) = 0}
3. Tai "positiivisesti homogeeninen aste 1".