Etäisyyksien vastaavuus
Eri käsitteitä etäisyyksien vastaavuudesta käytetään topologiassa , matematiikan haarassa, joka koskee avaruuden muodonmuutosten tutkimista jatkuvilla muunnoksilla (repimättä tai kiinnittämättä rakenteita).
Annetaan topologinen avaruus metrizable ( X , T ), löytyy erilaisia matkoja , jotka määrittävät saman topologian T . Esimerkiksi tavallinen top: n topologia voidaan määrittää etäisyydellä d : ( x , y ) ↦ | x - y |, mutta myös d / (1 + d ), tai mikä tahansa d : n moninkertainen ehdottomasti positiivinen reaali. Siksi on tarpeen määritellä "vastaavuus" tällaisten etäisyyksien välillä.
Määritelmät
Kaksi etäisyyttä d 1 ja d 2 samassa joukossa X sanotaan:
-
topologisesti ekvivalentti, jos siihen liittyvät topologiat ovat identtisiä (sama avoin ), ts. jos ( X , d 1 ): n ( X , d 2 ): n identiteettikartoitus on homeomorfismi tai uudestaan ( jatkuvuuden peräkkäisen karakterisoinnin jälkeen ) jos niillä on samat yhtenevät sekvenssit ;
-
tasaisesti vastaava jos identiteetti kartta X on tasaisesti jatkuva päässä ( X , d 1 ) ja ( X , d 2 ) ja myös ( X , d 2 ) ja ( X , d 1 );
-
syntyperäisesti vastaavat, jos ne ovat tasaisesti samanarvoisia ja jos molemmat etäisyydet määrittelevät samat rajatut osat;
-
Lipschitz-ekvivalentti, jos on ehdottomasti positiivisia vakioita a ja b siten, että ad 1 ≤ d 2 ≤ bd 1 .
Kaikki nämä etäisyyksien väliset suhteet ovat vastaavuussuhteita .
Esimerkkejä
Seuraava esimerkki antaa mahdollisuuden korostaa edellä kuvattujen vastaavuuskäsitteiden eriarvoisuutta: voimme antaa: neljällä etäisyydellä:
d1(x,y)=|x-y|{\ displaystyle d_ {1} (x, y) = | xy |}
;
d2(x,y)=|x3-y3|{\ displaystyle d_ {2} (x, y) = | x ^ {3} -y ^ {3} |}
;
d3(x,y)=min{1,d1(x,y)}{\ displaystyle d_ {3} (x, y) = \ min \ {1, d_ {1} (x, y) \}}
;
d4(x,y)=d1(x,y)/(1+d1(x,y)){\ displaystyle d_ {4} (x, y) = d_ {1} (x, y) / (1 + d_ {1} (x, y))}
.
Sitten varmistamme, että etäisyydet d 1 ja d 2 ovat topologisesti samanarvoisia, mutta eivät ole yhdenmukaisia (vaikka niillä on samat Cauchy-sekvenssit ), että etäisyydet d 1 ja d 3 ovat tasaisesti samanarvoisia, mutta eivät ole syntyperäisesti samanarvoisia, niin että etäisyydet d 3 ja d 4 ovat syntyperäisesti ekvivalentteja, mutta eivät ole Lipschitz-ekvivalentteja.
Huomautuksia ja viitteitä
-
Y. Sonntag, topologia ja toiminnallinen analyysi .
-
Tämä pitää paikkansa etäisyyksille, jotka samoin liittyvät mihin tahansa metriseen tilaan ( E , d 1 ).
-
Tämä johtuu vain rajaamattoman etäisyyden d 1 valinnasta .
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">