Pohja (topologia)

Vuonna matematiikka , joka on pohja , joka topologia on joukko on aukkoja siten, että kaikki avoimet topologiasta on tapaaminen elementtejä Tästä. Tämä käsite on hyödyllinen, koska monet topologian ominaisuudet johtuvat lausunnoista yhdestä sen perustoista ja monet topologiat on helppo määritellä perustan tiedoilla.

Määritelmät

Olkoon ( X , T ) topologinen tila .

Verkko of T on joukko N osien X siten, että mikä tahansa avoin U of T on liitto elementtejä N , toisin sanoen: minkä tahansa kohta x on U , on olemassa N osa sisältyy U ja sisältävät x .

Emäs of T on verkosto, joka koostuu aukkoja.

Ominaisuudet

Joukko B osien X on perusteella topologia on X , jos ja vain jos se täyttää seuraavat kaksi ehtoa:

1. B on päällekkäisyyttä ja X  ;
2. Leikkauspiste kahdesta osasta B on liitto (minkä tahansa määrän) elementtejä B .

Riittävä ehto 2. olla totta, että B on stabiili rajallinen risteyksiä.

Jos B tarkastukset 1. ja 2., on yksi topologia on X , joka B on emäs: topologia syntyy mukaan B . Sen aukot ovat kaikki tapaamisia elementtien B ja mistä tahansa avo- päättyi O , voimme nimenomaisesti unionin että lomakkeet O (erityisesti välttää valinta-aksiooma ): O on yhdistymistä kaikkien osatekijöiden B , jotka ovat sisältyy O: han .

Jos B on perusta topologian T , mikä tahansa joukko avoimen T , joka sisältää B on emäksinen T .

Tahansa topologia T on X , joukko B- osien X on perusta T , jos ja vain jos, ja minkä tahansa x on X , osajoukon elementtien B , jotka sisältävät x on perusta lähiöissä ja x .

Kohteet, jotka on määritelty perustan perusteella

• Tilaus topologia määrittää yleensä kokoelma kuin sarjaa avoimissa välein.
• Metrinen topologia on yleensä määritelty kokoelma avoin palloja .
• Laskettavissa perustila on tarkalleen numeroituva pohja .
• Diskreetti topologia on perusta koostuu singletons .

Esimerkkejä

Reaalilukujen joukossa ℝ  :

• Joukko avoimen väliajoin muodostaa perustan tavallista topologian on ℝ. Voimme jopa rajoittua väleihin, joiden ääripäät ovat järkeviä, mikä tekee avaruudesta vapaan perustan  ;
• Toisaalta joukko puolitietämättömiä tyypin tyyppejä] −∞ , a [tai] a , + ∞ [, jossa a on todellinen luku, ei ole ℝ: n topologian perusta. Esimerkiksi] −∞ , 1 [ja] 0, + ∞ [kuuluvat todellakin tähän joukkoon, mutta niiden leikkauspistettä] 0, 1 [ei voida ilmaista tämän joukon elementtien yhdistelmänä.

Paino ja luonne

Määritämme topologisen tilan ( X , T ) ( T on usein implisiittinen) erilaisia kardinaaleja toimintoja , joista:

• paino on X , merkitään w ( X ), sillä pienin pää- ja perustuvat T ;
• sen hilan paino , havaittu nw ( X ) hilan pienimpänä kardinaalina  ;
• luonnetta pisteessä x on X , jota merkitään χ ( x , X ), kuten pienin kardinaali on perusteella lähiöissä ja x ;
• X: n merkki , merkitty χ ( X ), kaikkien χ ( x , X ) ylärajana .

Näitä eri kardinaaleja yhdistävät seuraavat ominaisuudet:

• nw ( X ) ≤ w ( X );
• jos X on erillinen , niin w ( X ) = nw ( X ) = | X | ;
• jos X on erillinen , niin nw ( X ) on äärellinen vain silloin, kun X on äärellinen ja erillinen;
• jokainen T: n pohja sisältää T : n kardinaalin w ( X ) pohjan ;
• jokainen pohjan lähiöissä pisteen x sisältää pohjan alueista x kanssa kardinaliteetti χ ( x , X );
• tahansa jatkuva kuva Y on X , nw ( Y ) ≤ w ( X ) (koska kuva mistä tahansa perusteella X on ristikon Y );
• jos ( X , T ) erotetaan, X: llä on vähemmän hienosti erotettu topologia T ' siten, että w ( X , T' ) ≤ nw ( X , T ). Enemmän , jos ( X , T ) on kompakti , nw ( X ) = w ( X ) (ensimmäisen pisteen mukaan ja koska nämä kaksi topologiaa yhtyvät).

Näiden käsitteiden avulla voidaan esimerkiksi osoittaa jälleen, että mikä tahansa jatkuva kuva Y metisable- kompaktista X : stä erillisessä osassa on metroitavissa (koska kompakti on metrizoitavissa vain ja vain, jos sillä on laskettava perusta , tai Y on kompakti, siis w ( Y ) = nw ( Y ) ≤ w ( X ) ≤ ℵ 0 ).

• Ei ole olemassa sellaista asiaa, että tiukasti kasvava aukkojen perhe (tai tiukasti pienenevä suljettujen) on indeksoitu w ( X ) +: lla .
• Määritämme myös π- painon π w ( X ) " π- perustan" pienimmäksi kardinaaliksi  , toisin sanoen aukkoperheestä siten, että mikä tahansa X: n ei-tyhjä aukko sisältää tämän perheen aukon .

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista "  Base (topology)  " ( katso kirjoittajien luettelo ) .

1. (in) Alexander Arhangelskii , "Net (sarjaa vuonna topologinen avaruus)" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Matematiikka , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , lue verkossa )
2. Tämä vastaavuus osoitetaan esimerkiksi kappaleessa "Perusteet" oppitunnin "yleinen topologia" päälle Wikikirjasto .
3. (en) Ryszard Engelking , yleinen topologia ,1977, s.  12, 127-128.
4. Muita näytesovelluksia, katso (in) AV Arkhangel'skii , "Cardinal character" julkaisussa Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , lue verkossa ).
5. Katso esittely ilman näitä työkaluja kohdasta Erotettavien tilojen ominaisuudet .
6. Arkhangel'skii, ”Kardinaalin ominaisuus”, op. cit.