Vuonna matematiikka The topologia järjestys on luonnollinen topologia määritellään tahansa järjestetyn joukon ( E , ≤), ja joka riippuu suhteesta tilauksen ≤.
Kun määritämme tavallisen numerolinjan top topologian , kaksi vastaavaa lähestymistapaa ovat mahdollisia. Voimme luottaa siihen, että järjestyksen suhteen vuonna ℝ, tai itseisarvo on etäisyyden kahden numerot. Alla olevien siteiden avulla voit vaihtaa yhdestä toiseen:
Absoluuttinen arvo yleistyy etäisyyden käsitteeksi, joka indusoi metrisen avaruuden topologian käsitteen . Olemme kiinnostuneita tästä toisesta lähestymistavasta.
Olkoon ( E , ≤) järjestetty joukko.
Anna meille soittaa avoin väli (merkityksessä järjestyksessä) ja E välein muodossa] x, y [tahansa kahden elementin x ja y ja E , tai muotoa] x , + ∞ [tai] -∞ , x [tahansa elementti x on E , tai jälleen] -∞ , + ∞ [, jossa nämä neljä merkintöjä merkitsevät, määritelmän mukaan:
( + ∞ ja –∞ ovat siis osa merkintöjä, eivätkä merkitse mitään E: n osaa ).
Tällöin järjestyksen topologiaa kutsutaan avoimien aikavälien tuottamaksi topologiaksi, toisin sanoen vähiten hienoksi topologiaksi, jolle avoimet aikavälit ovat avoimia . Se myöntää ennakkoedellytyksenä avoimet intervallit ja tasaiset, koska] x, y [=] x , + ∞ [∩] –∞ , y [, avoimet intervallit ottavat huomioon "äärettömän sidotun".
Jos E: n järjestys on osittainen , tätä topologiaa voidaan käyttää vastaesimerkkien rakentamiseen.
Kun ( E , ≤) on täysin järjestetty , kahden avoimen aikavälin leikkauspiste on aina avoin väli. Siksi avoimet intervallit muodostavat topologian perustan ; Lyhyesti sanottuna: osa E: stä on avoin vain ja vain, jos se on avoimien aikavälien liitto. Tämä topologia on silloin erillinen ja jopa täysin normaali .
Olkoon ( E , ≤) järjestetty joukko.
Aloitetaan huomauttamalla se
Lomakkeen [ x , + ∞ [ välit] muodostavat siis perustan E- topologialle , jota joskus kutsutaan oikean asteen topologiaksi tai oikeakätiseksi topologiaksi . Sen aukot ovat päättyy osien tilauksen.
Tämä on erityisesti tapauksessa Alexandroff topologia liittyy ennakkotilauksen , kun tämä ennakkotilauspalveluineen on järjestyksessä, toisin sanoen kun siihen liittyvä topologia täyttää ominaisuus T 0 (heikoin erottaminen ominaisuudet ).
Kun ( E , ≤) on täysin järjestetty joukko, voimme määritellä muunnoksen yllä olevasta topologiasta.
Jos kokonaisjärjestys on, muodon] x , + ∞ [(johon meidän on lisättävä E, jos E myöntää pienemmän elementin) välit muodostavat perustan topologialle.
Funktio f, jonka arvot ovat ℝ, on alempi puolijatkuvaa vain ja vain, jos kun ℝ: llä on tämä topologia, f on jatkuva.
Olkoon ( E , ≤) järjestetty joukko, jolla on järjestyksen topologia.
Kun E- tilauksesi on yhteensä:
Erityisesti :