Hardy Space

Hardy tilat alalla matematiikan ja funktionaalista analyysia , ovat tilat ja analyyttisten funktioiden on laite levyn ? kompleksitasossa .

Hilbert-tapaus: välilyönti H 2 (?)

Määritelmä

Olkoon f olla holomorphic funktio on ?, tiedämme, että f myöntää Taylorin sarjan laskenta 0 laitteen levy:

∀z∈D.f(z)=∑ei=0+∞f^(ei) zeikanssaf^(ei): =f(ei)(0)ei!.{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {D} \ qquad f (z) = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, {\ hat {f}} (n) \ z ^ { n} \ qquad {\ text {kanssa}} \ qquad {\ hat {f}} (n): = {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}}.}

Sitten sanotaan, että f on Hardy-tilassa H 2 (?), jos sekvenssi kuuluu ℓ 2: een . Toisin sanoen meillä on: (f^(ei)){\ displaystyle ({\ hattu {f}} (n))}

H2(D.)={f∈Hol(D.) | ∑ei=0+∞|f^(ei)|2<+∞}{\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {D}) = \ left \ lbrace f \ in Hol (\ mathbb {D}) ~ \ left | ~ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, | {\ hattu {f}} (n) | ^ {2} <+ \ infty \ right. \ right \ rbrace}

Sitten määritellä normi on f seuraavasti:

‖f‖2: =(∑ei=0+∞|f^(ei)|2)12.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}: = \ vasen (\ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | {\ hattu {f}} (n) | ^ {2} \ oikea) ^ {\ frac {1} {2}}.}

Esimerkki

Funktio kuuluu H 2: een (?) sarjan lähentymisen avulla ( yhtenevä Riemann-sarja ). z↦Hirsi⁡(1-z)=-∑ei=1∞zeiei{\ displaystyle z \ mapsto \ log (1-z) = - \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n}}}∑ei≥11ei2{\ displaystyle \ summa _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

Toinen standardin ilmaisu

Saat f holomorphic päälle ? ja 0 ≤ r <1 , määritellään:

M2(f,r): =(12π∫-ππ|f(reit)|2 dt)12.{\ displaystyle M_ {2} (f, r): = \ vasen ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

• funktio r ↦ M 2 ( f , r ) kasvaa arvoon [0, 1 [ .
• f ∈ H 2 (?) vain ja jos:limr→1-M2(f,r)<+∞{\ displaystyle \ lim _ {r \ - 1 ^ {-}} M_ {2} (f, r) <+ \ infty}

‖f‖22=limr→1-12π∫-ππ|f(reit)|2 dt=sup0≤r<112π∫-ππ|f(reit)|2 dt.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2} ^ {2} = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} {{\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi } ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t} = \ sup _ {0 \ leq r < 1} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t.} Esittely

• Laitetaanpa missä ja . Meillä on :z=reit{\ displaystyle z = r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}}r∈[0,1[{\ displaystyle r \ in [0,1 [}t∈[-π,π]{\ displaystyle t \ sisään [- \ pi, \ pi]}f(z)=∑ei=0+∞f^(ei)zei siksi f(reit)=∑ei=0+∞f^(ei)reieieit{\ displaystyle f (z) = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) z ^ {n} {\ hbox {siis}} f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hattu {f}} (n) r ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}Joten Parsevalin kaavan mukaan meillä on:M2(f,r)2=∑ei=0+∞|f^(ei)|2r2ei{\ displaystyle M_ {2} (f, r) ^ {2} = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hattu {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n}}Tämä kaava todistaa ensimmäisen väitteen.
• Jos f ∈ H 2 (?), edellinen kaava osoittaa, että se on kasvava funktio, siis rajattu on siis olemassa ja monotonisen konvergenssilauseen mukaan tämä raja on yhtä suuri kuin . Päinvastoin, jos jokaisella meillä on kasvulla  :M2(f,.){\ displaystyle M_ {2} (f,.)}limr→1-M2(f,r){\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r)}}‖f‖2{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}}limr→1-M2(f,r)=M<+∞{\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ oikeanpuoleinen nuoli 1-} M_ {2} (f, r) = M <+ \ infty}}EI≥0{\ displaystyle N \ geq 0}M2(f,r){\ displaystyle M_ {2} (f, r)}∑ei=0EI|f^(ei)|2r2ei≤∑ei=0+∞|f^(ei)|2r2ei≤M2{\ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {N} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ { + \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq M ^ {2}}Ylittämällä rajan, kun taipumus kohti, sitten kun taipumus kohti , saamme toisen väitteen.r{\ displaystyle r}1-{\ displaystyle 1 ^ {-}}EI{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Joitakin avaruuden H 2 (?) ominaisuuksia

• Hardy tila H 2 (?) on isometrisesti isomorfinen (kuten normalisoitu vektori tila ) ja ℓ 2 . Siksi se on Hilbert-tila .

Esittely

Katsomme sovelluksen määrittelemän . Tämä on hyvin määritelty H 2: n (?) määritelmällä, se on selvästi lineaarinen. Koko sarjan kehityksen ainutlaatuisuuden vuoksi se on injektiivinen , on vielä osoitettava, että se on surjektiivinen . T:H2(D.)→ℓ2{\ displaystyle T: H ^ {2} (\ mathbb {D}) \ rightarrow \ ell _ {2}}T(f)=(f^(ei)){\ displaystyle T (f) = ({\ hattu {f}} (n))}

Olkoon , siis , on rajoittuu koko sarjan f määritellään a a suppenemissäde suurempi tai yhtä suuri kuin 1, erityisesti ja . on siis surjektiivinen. (kloei)∈ℓ2{\ displaystyle (a_ {n}) \ in \ ell _ {2}}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}f(z)=∑ei=0+∞kloeizei{\ displaystyle f (z) = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} z ^ {n}}f∈Hol(D.){\ displaystyle f \ in Hol (\ mathbb {D})}T(f)=(kloei){\ displaystyle T (f) = (a_ {n})}T{\ displaystyle T}

• Kaikille f ∈ H 2 (?) ja kaikille z: ssä in: lle on:

|f(z)|≤‖f‖21-|z|2.{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.} Esittely

Sovellamme Cauchy-Schwarzin epätasa-arvoa Taylor-sarjan laajenemiseen f: ssä 0. Meillä on sitten kaikille z : ssä z : lle:

|f(z)|≤∑ei=0+∞|f^(ei)||z|ei≤‖f‖2(∑ei=0+∞|z|2ei)12=‖f‖21-|z|2{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert \ vert z \ vert ^ {n} \ leq \ | f \ | _ {2} \, {(\ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert z \ vert ^ {2n})} ^ {\ frac {1} {2} } = {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}}}.

Tämä tarkoittaa sitä, että lineaarinen kartta arvioinnin f ↦ f ( z ) , alkaen H 2 (?) ja ℂ, on jatkuva kaikkien z on ? ja sen normi on pienempi kuin:

11-|z|2.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.}

Itse asiassa voimme osoittaa, että normi on täsmälleen sama kuin tämä vakio.

• Heikko topologia on yksikön pallo on H 2 (?) sattuu yhteen topologian tasainen suppeneminen tahansa kompakti .

Seuraavat kaksi ominaisuutta ovat sitten jälkimmäisen suoria seurauksia.

• Olkoon ( f n ) olla jono elementtejä H 2 (?), joka suppenee normi kohti f sitten ( f n ) suppenee tasaisesti tahansa kompakti ? kohti f .
• Olkoon ( f n ) olla jono elementtejä H 2 (?) mukana yksikön pallo. Sitten voimme poimia alijonon, joka yhtyy tasaisesti mihin tahansa compact-kompaktiin.

Yleinen tapaus

Määritelmä

Ja 0 < p <+ ∞ , yksi määritellään Hardy tila H p (?) olevan tilan analyyttisen toimintoja f laitteen levy, kuten:

sup0<r<1(∫02π|f(reit)|s dt2π)<+∞.{\ displaystyle \ sup _ {0 <r <1} \ vasen (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ { p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ oikea) <+ \ infty.}

Määritämme sitten:

‖f‖s=sup0<r<1(∫02π|f(reit)|s dt2π)1s.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sup _ {0 <r <1} \ vasen (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ oikea) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Joitakin ominaisuuksia

• Jos p ≥ 1 , H p (?) on Banach-väli .
• Olkoon f ∈ H p (?) p ≥ 1 . Joten melkein kaikelle t: lle ( Lebesgue-mittan merkityksessä ):f∗(eit): =limr→1-f(reit){\ displaystyle f ^ {*} (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}): = \ lim _ {r \ - 1 ^ {-}} f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t})}on olemassa ja kartta f ↦ f * on isometria on H p (?) on aliavaruus ja jossa:H∗s{\ displaystyle H _ {*} ^ {p}}Ls([0,2π],dt2π){\ displaystyle L ^ {p} \ vasen ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ oikea)}H∗s={f∈Ls([0,2π],dt2π) | ∀ei≤-1, f^(ei)=0}.{\ displaystyle H _ {*} ^ {p} = \ vasen \ {\ left.f \ L ^ {p} \ vasemmalla ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ~ \ right | ~ \ forall n \ leq -1, ~ {\ hat {f}} (n) = 0 \ right \}.}
• Meillä on toinen normin luonnehdinta subharmonisten toimintojen ominaisuuksien ansiosta  : Kaikille f ∈ H p (?):

‖f‖s=limr→1-(∫02π|f(reit)|sdt2π)1s.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ oikea) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Beurlingin jako

Bibliografia

• (en) Peter L.Duren , H p Spacesin teoria , Dover ,2000, 292  Sivumäärä ( ISBN  978-0-486-41184-2 , lue verkossa )
• Nikolaï Nikolski, edistyneen analyysin elementit T.1 - Hardyn avaruudet , Belin ,marraskuu 2012, ( ISBN  978-2701163482 )

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Kalan ydin

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">