Puhdasta matematiikkaa (tai perustavaa laatua matematiikka ) sisältää toiminnot tutkimusta vuonna matematiikan motivoi muista syistä kuin käytännön soveltamista.
Puhdas matematiikka perustuu aksiomien joukkoon ja loogiseen järjestelmään , irrotettuna kokemuksesta ja todellisuudesta. Kuitenkin, se ei ole harvinaista, teorioita kehitetty ilman käytännön tavoite, jota käytetään myöhemmin tietyissä sovelluksissa, kuten Riemannin geometria on yleinen suhteellisuusteoria .
Muinaisen Kreikan matemaatikot erosivat ensimmäisten joukossa puhtaan ja sovelletun matematiikan .
Platon vaikutti kuiluun "laskutoimituksessa" ja "logistiikassa", jota nyt kutsutaan aritmeettiseksi . Platon piti logistiikkaa (aritmeettista) sopivana liikemiehille ja sotureille, joiden "täytyy oppia numerotaide tai he eivät osaa järjestää joukkojaan" ja laskutoimitukset sopivat filosofeille.
"Opiskelija, joka kysyi kerran Euclidilta geometrian käyttöä, kuuluisa matemaatikko käski itsensä ohella orjan antamaan pojalle muutaman kolikon", jotta hän voisi nähdä oppimansa hyödyllisyyden ". Se on tietysti legenda, mutta […]. "
Pergalaisen Apollonius väitti kartikkojen viidennen kirjan esipuheessa , että yhden näistä aiheista "näyttävät itselleen kelvollisilta tutkia".
Termi itsessään on osa sadleirienne-saarnatuolin täydellistä nimeä , joka perustettiin XIX - luvun puolivälissä. Ajatus puhtaan matematiikan tekemisestä itsenäiseksi tieteenalaksi saattaa olla syntynyt noin tänä aikana. Gaussin sukupolvi ei tee mitään radikaalia eroa puhtaan ja sovelletun matematiikan välillä .
Alussa XX : nnen vuosisadan matemaatikot ovat käyttäneet itsestään selvää menetelmää , vaikuttavat voimakkaasti David Hilbert . Bertrand Russellin ehdottama puhtaan matematiikan looginen muotoilu näytti yhä uskottavammalta, kun suuri osa matematiikasta muuttui aksiomatisoituneeksi ja joutui siksi tiukkojen todistuskriteerien kohteeksi.
Itse asiassa aksiomaattisissa puitteissa tiukka ei lisää mitään mielenosoituksen ajatukseen . Puhdas matematiikka on Bourbaki- kollektiiville katsottavasta näkökulmasta osoitettu.
Keskeinen käsite puhtaassa matematiikassa on idea yleisyydestä; puhdas matematiikka osoittaa usein taipumusta suurempaan yleisyyteen.
Yleisyyden vaikutus intuitioon riippuu sekä aiheesta että henkilökohtaisista mieltymyksistä. Usein yleisyyttä pidetään intuition esteenä, mutta se voi varmasti toimia apuna sille.
Voimme ottaa esimerkkinä Erlangen ohjelma , joka kehitti laajentamista geometria mukautumaan ei-Euclidean geometriat , sekä domeeni topologia , ja muut aliverkkotunnuksissa geometria, tutkimalla geometrian tutkimuksen tilaan, joka on ryhmä on muunnokset. Tutkimus numerot , kutsutaan algebran alussa koulutus-, sitten ulottuu abstraktin algebran klo kehittyneempi tasolle; ja tutkimuksen toimintoja , kutsutaan hammaskiven sen alkuvaiheessa, niin matemaattinen analyysi ja toiminnallinen analyysi on kehittyneempi tasolle. Jokaisella näistä matematiikan abstrakteimmista haaroista on paljon osa-alueita, ja puhtaan sovelletun matematiikan alojen välillä on todella paljon yhteyksiä. Vahva kehitys abstraktio havaittiin puolivälissä XX : nnen vuosisadan.
Käytännössä nämä evoluutiot johtivat voimakkaaseen eroavaisuuteen fysiikassa , erityisesti vuosina 1950-1983. Myöhemmin tätä eroa kritisoitiin, esimerkiksi Vladimir Arnold , koska liian paljon Hilbertiä , ei tarpeeksi Poincaréa .
Matemaatikoilla on aina ollut erilaisia mielipiteitä puhtaan ja sovelletun matematiikan erottamisesta. Yksi kuuluisimmista (mutta luultavasti väärin) moderni esimerkkejä tästä keskustelusta löytyy Matemaatikon apologia , jonka GH Hardy.
Yleisesti uskotaan, että Hardy piti sovellettua matematiikkaa rumana ja tylsänä. Vaikka onkin totta, että Hardy suosii puhdasta matematiikkaa ja että hän vertaili sitä usein maalaukseen ja runouteen , Hardy havaitsi eron puhtaan ja sovelletun matematiikan välillä, mikä on yksinkertaisesti sitä, että sovellettu matematiikka pyrkii ilmaisemaan fyysisen totuuden matemaattisissa puitteissa, kun taas puhdas matematiikka ilmaisee totuuksia, jotka ovat riippumattomia fyysisestä maailmasta. Hardy erottaa matematiikan sen välillä, mitä hän kutsuu "todelliseksi" matematiikaksi ", jolla on pysyvä esteettinen arvo", ja "matematiikan tylsille ja alkeellisille osille", joilla on käytännön käyttöä.
Hardy piti tiettyjä fyysikkoja, kuten Einstein ja Dirac , "todellisten" matemaatikkojen joukossa, mutta anteeksipyyntöä kirjoittaessaan hän piti myös yleistä suhteellisuusteoriaa ja kvanttimekaniikkaa "tarpeettomana" hänelle. Väitti, että vain "tylsää" matematiikkaa on hyödyllinen.
" Platon on tärkeä matematiikan historiassa suurelta osin hänen roolistaan muiden inspiroijana ja ohjaajana, ja ehkä hänelle johtuu antiikin Kreikan jyrkkä ero aritmeettisen (numeroiden teorian mielessä) ja logistisen (tekniikan tekniikka) välillä laskenta). Platon piti logistiikkaa sopivana liikemiehelle ja sotamiehelle, jonka "täytyy oppia numerotaide, muuten hän ei osaa sijoittaa joukkojaan". Toisaalta filosofin on oltava aritmetikko ", koska hänen on noustava muutosten merestä ja pidettävä kiinni todellisesta olemuksesta". "
" Apollonius tekee tämän kirjan lauseiden yhteydessä lausunnon, joka viittaa siihen, että hänen aikanaan, kuten meidänkin aikanamme, oli puhtaan matematiikan ahdasmielisiä vastustajia, jotka kysyivät pejoratiivisesti tällaisten tulosten hyödyllisyydestä. Kirjoittaja väitti ylpeänä: "He ansaitsevat hyväksynnän itse mielenosoitusten vuoksi samalla tavalla kuin me hyväksymme monia muita asioita matematiikassa tästä syystä eikä mistään muusta syystä." (Heath 1961, s. Lxxiv).
Kirja V: n esipuhe, joka liittyy kartioleikkaukseen vedettyihin suora- ja maksimiviivoihin, väittää jälleen, että aihe on yksi niistä, jotka näyttävät olevan "tutkimuksen arvoisia heidän itsensä vuoksi". Kirjoittajaa täytyy ihailla hänen ylevän älyllisen asenteensa vuoksi, mutta voidaan olennaisesti huomauttaa, että päivä oli kaunis teoria, ilman mahdollisuutta soveltaa aikansa tieteeseen tai tekniikkaan, on sittemmin tullut perustavanlaatuiseksi sellaisilla aloilla kuin maan dynamiikka ja taivaallinen mekaniikka. "