Poincaré-metriikka
On matematiikka , ja tarkemmin sanottuna ero geometria , Poincaré metrinen , koska Henri Poincaré , on metrinen tensori kuvaavat pinnan jatkuva negatiivinen kaarevuus . Se on luonnollinen metriikka, jota käytetään hyperbolisen geometrian tai Riemannin pintojen laskemiseen .
Kaksi samanarvoista esitystä käytetään useimmiten kaksiulotteisessa hyperbolisessa geometriassa: Poincarén puolitaso , malli, joka tarjoaa ylemmän (monimutkaisen) puolitason hyperbolisella metriikalla, ja Poincaré-levy , malli, joka on määritelty yksikön levylle. levy ja puolitaso ovat isometrisiä konformaalisen muunnoksen avulla , ja niiden isometriat annetaan Mobius-muunnoksilla ). Lisäksi tylppä levy, joka on varustettu puolitason eksponentiaalisen funktion indusoimalla hyperbolisella metriikalla , on esimerkki avoimesta, jota ei ole yksinkertaisesti kytketty (tässä tapauksessa kruunu) ja jolla on hyperbolinen metriikka.
q=exp(iπτ){\ displaystyle q = \ exp (i \ pi \ tau)}![q = \ exp (i \ pi \ tau)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76d7504b5c483579bdcd0a302d55b4d0630e4ab)
Mittarit Riemannin pinnalla
Metrinen kompleksitasossa voidaan yleensä ilmaista muodossa:
ds2=λ2(z,z¯)dzdz¯{\ displaystyle ds ^ {2} = \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}) \, dz \, d {\ overline {z}}}![ds ^ {2} = \ lambda ^ {2} (z, \ overline {z}) \, dz \, d \ overline {z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d716ab1dc5f29f7d771397bf3359156890b2d1e9)
missä λ on z: n ja: n todellinen positiivinen funktio . Käyrän γ pituus kompleksitasossa (tälle metriikalle) saadaan sitten:z¯{\ displaystyle {\ overline {z}}}
l(y)=∫yλ(z,z¯)|dz|{\ displaystyle l (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} \ lambda (z, {\ overline {z}}) \, | dz |}
Kompleksitason (riittävän säännöllinen) osajoukon pinta-ala saadaan seuraavasti:
Alue (M)=∫Mλ2(z,z¯)i2dz∧dz¯{\ displaystyle {\ text {Aire}} (M) = \ int _ {M} \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}) \, {\ frac {i} {2}} \ , dz \ wedge d {\ overline {z}}}![{\ text {Aire}} (M) = \ int _ {M} \ lambda ^ {2} (z, \ overline {z}) \, {\ frac {i} {2}} \, dz \ wedge d \ overline {z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980b3096266255b3056ab01c9532527a784d7df5)
,
missä on ulkoinen tuote (yleensä määrittelemällä lomakkeen tilavuuden). Metrikon determinantti on yhtä suuri , joten sen neliöjuuri on . Metriikan määrittämä perusala on ja näin ollen
∧{\ displaystyle \ wedge}
λ4{\ displaystyle \ lambda ^ {4}}
λ2{\ displaystyle \ lambda ^ {2}}
dx∧dy{\ displaystyle dx \ wedge dy}![dx \ wedge dy](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5e9538468f1fc0ce6b6750ebd0f1e85d1f4621)
dz∧dz¯=(dx+idy)∧(dx-idy)=-2idx∧dy.{\ displaystyle dz \ wedge d {\ overline {z}} = (dx + i \, dy) \ wedge (dx-i \, dy) = - 2i \, dx \ wedge dy.}![dz \ wedge d \ overline {z} = (dx + i \, dy) \ wedge (dx-i \, dy) = - 2i \, dx \ wedge dy.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e774c36de980c17ce545bbe1709a5b38b8ee704)
Funktion sanotaan olevan metrinen potentiaali, jos
Φ(z,z¯){\ displaystyle \ Phi (z, {\ overline {z}})}![\ Phi (z, \ yliviiva {z})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50685b3a1ac7e5f86da84cf59e9d04bb7f9b8760)
4∂∂z∂∂z¯Φ(z,z¯)=λ2(z,z¯).{\ displaystyle 4 {\ frac {\ partituali {\ osittainen z}} {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen {\ overline {z}}}} \ Phi (z, {\ yliviiva {z}}) = \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}).}![4 {\ frac {\ partituuli {\ osittainen z}} {\ frac {\ osallinen} {\ osittainen \ yliviiva {z}}} \ Phi (z, \ yliviiva {z}) = \ lambda ^ {2} ( z, \ overline {z}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebae52f6a939b5266e03583ced9c0b5e53e55bb2)
Laplace-Beltramin operaattori saadaan kaavasta:
Δ=4λ2∂∂z∂∂z¯=1λ2(∂2∂x2+∂2∂y2).{\ displaystyle \ Delta = {\ frac {4} {\ lambda ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partitali z}} {\ frac {\ partitali} {\ osittainen {\ overline {z} }}} = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ vasen ({\ frac {\ osal ^ {2}} {\ osaa x ^ {2}}} + {\ frac {\ osallinen ^ {2}} {\ osittainen y ^ {2}}} \ oikea).}![\ Delta = {\ frac {4} {\ lambda ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partitali z}} {\ frac {\ partial} {\ osittainen \ overline {z}}} = { \ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ vasen ({\ frac {\ osal ^ {2}} {\ osittain x ^ {2}}} + {\ frac {\ osaa ^ {2}} {\ osittainen y ^ {2}}} \ oikea).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaa04864c0fd4153778b8aa2e039abf368b68fb)
Gaussin kaarevuus metrisen saadaan
K=-ΔHirsiλ.{\ displaystyle K = - \ Delta \ log \ lambda. \,}![K = - \ Delta \ log \ lambda. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f214004e6d52dfb6052f85135d9d4e69d7e048)
Tämä kaarevuus on puolet Ricci-skalaarikaarevuudesta .
Isometriat säilyttävät kulmat ja kaaren pituudet. Riemannin pinnalla isometriat vastaavat koordinaattien muutosta; siis Laplace-Beltrami-operaattori ja kaarevuudet ovat kaikki isometrisiä invariantteja. Joten jos esimerkiksi S on metrisen Riemannin pinta ja T on metrisen Riemannin pinta , niin muunnos:
λ2(z,z¯)dzdz¯{\ displaystyle \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}) \, dz \, d {\ overline {z}}}
μ2(w,w¯)dwdw¯{\ displaystyle \ mu ^ {2} (w, {\ overline {w}}) \, dw \, d {\ overline {w}}}![\ mu ^ {2} (w, \ overline {w}) \, dw \, d \ overline {w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b95a6a021ddd412a4a90c68cf79ddc01ca8dfaa)
f:S→T{\ displaystyle f: S \ - T \,}![f: S - T \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828e51435aa55ae5dcb7e8aca90210d2eec646f9)
jossa on isometria jos ja vain jos se vastaa, ja jos
f=w(z){\ displaystyle f = w (z)}![f = w (z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb07885e7f00077a08baa648bf09e0e050e6495)
μ2(w,w¯)∂w∂z∂w¯∂z¯=λ2(z,z¯){\ displaystyle \ mu ^ {2} (w, {\ overline {w}}) \; {\ frac {\ partial w} {\ partitali}} {\ frac {\ osittainen {\ overline {w}}} {\ osittainen {\ overline {z}}}} = \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}})}![\ mu ^ {2} (w, \ yliviiva {w}) \; {\ frac {\ osittain w} {\ osittain z}} {\ frac {\ osittainen \ yliviiva {w}} {\ osittainen \ yliviiva {z }}} = \ lambda ^ {2} (z, \ yliviiva {z})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fdc3d528c83c759fdd250c7b5d7e6670d2f219)
.
Muunnoksen vaatimustenmukaisuuden pyytäminen merkitsee seuraavaa:
w(z,z¯)=w(z),{\ displaystyle w (z, {\ overline {z}}) = w (z),}![w (z, \ yliviiva {z}) = w (z),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51064246935eca21ac6a11556f90669dfc5808e2)
tarkoittaen,
∂∂z¯w(z)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ partituali {\ osittainen {\ yliviiva {z}}}} w (z) = 0.}![{\ frac {\ partituali {\ osittainen \ yliviiva {z}}} w (z) = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7825c8f73ec1e8a1591a2365cdaf2ca1d48c632)
Metrinen ja alkeellinen alue Poincaré-tasossa
Metrinen Poincarén tensor että Poincare puoli-tasossa, ylempi puoli-tasossa vastaa kompleksien positiivisen imaginääriosan, saadaan
H{\ displaystyle \ mathbb {H}}![\ mathbb {H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e050965453c42bcc6bd544546703c836bdafeac9)
ds2=dx2+dy2y2=dzdz¯y2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}} = {\ frac {dz \, d {\ overline {z}}} {y ^ {2}}}}![ds ^ {2} = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}} = {\ frac {dz \, d \ overline {z}} {y ^ {2 }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffeff7db882ba2a9a42521d40d5c0b1a587d397)
asettamalla
Tämä metrinen tensori on invariantti SL: n (2, R ) vaikutuksesta . Toisin sanoen huomaa
dz=dx+idy.{\ displaystyle dz = dx + i \, dy.}![dz = dx + i \, dy.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24621546e3d4c0d9bba9176cb1211ba9a1f599f2)
z′=x′+iy′=kloz+bvs.z+d{\ displaystyle z '= x' + iy '= {\ frac {az + b} {cz + d}}}![z '= x' + iy '= {\ frac {az + b} {cz + d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07dd202843b98683e1a730023054f41c6d278427)
kanssa , käy ilmi, että
klod-bvs.=1{\ displaystyle ad-bc = 1}![ad-bc = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4755f20d723d7bbf809462a07f12f0f5974840bf)
x′=klovs.(x2+y2)+x(klod+bvs.)+bd|vs.z+d|2{\ displaystyle x '= {\ frac {ac (x ^ {2} + y ^ {2}) + x (ad + bc) + bd} {| cz + d | ^ {2}}}}![x '= {\ frac {ac (x ^ {2} + y ^ {2}) + x (ad + bc) + bd} {| cz + d | ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a41cb1f2a1cd4f13d05b9b634c110f7212b7c4e)
ja
y′=y|vs.z+d|2.{\ displaystyle y '= {\ frac {y} {| cz + d | ^ {2}}}.}![y '= {\ frac {y} {| cz + d | ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4840144ba3cb090a416184a635d567a28c916e)
Äärettömän pienet elementit muunnetaan seuraavasti:
dz′=dz(vs.z+d)2{\ displaystyle dz '= {\ frac {dz} {(cz + d) ^ {2}}}}![dz '= {\ frac {dz} {(cz + d) ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb08b555d9cb5401c1023f60d63d61d1288d9131)
ja niin
dz′dz¯′=dzdz¯|vs.z+d|4{\ displaystyle dz'd {\ overline {z}} '= {\ frac {dz \, d {\ overline {z}}} {| cz + d | ^ {4}}}}![dz'd \ overline {z} '= {\ frac {dz \, d \ overline {z}} {| cz + d | ^ {4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8983188eaa8028307ec15bd59ad6feac70b7e8)
joka osoittaa metrisen tensorin muuttumattomuuden ryhmän SL (2, R ) vaikutuksesta. Muuttumaton alue elementti saadaan
dμ=dxdyy2.{\ displaystyle d \ mu = {\ frac {dx \, dy} {y ^ {2}}}.}![d \ mu = {\ frac {dx \, dy} {y ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b29c326206b27cb8024c45c5b1e26cef5a8270e)
Mittari on
ρ(z1,z2)=2tanh-1|z1-z2||z1-z2¯|{\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = 2 \ tanh ^ {- 1} {\ frac {| z_ {1} -z_ {2} |} {| z_ {1} - {\ yliviiva {z_ {2}}} |}}}
ρ(z1,z2)=Hirsi|z1-z2¯|+|z1-z2||z1-z2¯|-|z1-z2|{\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = \ log {\ frac {| z_ {1} - {\ overline {z_ {2}}} | + | z_ {1} -z_ {2 } |} {| z_ {1} - {\ yliviiva {z_ {2}}} | - | z_ {1} -z_ {2} |}}}
varten . Toinen mielenkiintoinen metriikan muoto sisältää ristisuhteen . Annetaan neljä pistettä , , ja on Riemannin pallo (kompleksitasossa, johon on lisätty kohtaan äärettömään), rajat suhde näiden pisteiden on määritelty
z1,z2∈H{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ sisään \ mathbb {H}}
z1{\ displaystyle z_ {1}}
z2{\ displaystyle z_ {2}}
z3{\ displaystyle z_ {3}}
z4{\ displaystyle z_ {4}}
VS^=VS∪∞{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ infty}![{\ hat {\ mathbb {C}}} = {\ mathbb {C}} \ cup \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943933f06533d45baa9683023904df781d80584d)
(z1,z2;z3,z4)=(z1-z2)(z3-z4)(z2-z3)(z4-z1).{\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {1} -z_ {2}) (z_ {3} -z_ {4} )} {(z_ {2} -z_ {3}) (z_ {4} -z_ {1})}}.}![(z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {1} -z_ {2}) (z_ {3} -z_ {4})} { (z_ {2} -z_ {3}) (z_ {4} -z_ {1})}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132c51c5da34ae120e6ac30dd0d70a9ae0e788b1)
Metrika voidaan sitten kirjoittaa
ρ(z1,z2)=ln(z1,z2×;z2,z1×).{\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = \ ln (z_ {1}, z_ {2} ^ {\ kertaa}; z_ {2}, z_ {1} ^ {\ kertaa}) .}![\ rho (z_ {1}, z_ {2}) = \ ln (z_ {1}, z_ {2} ^ {\ kertaa}; z_ {2}, z_ {1} ^ {\ kertaa}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58df68b9da10f281a02a9c9cd1dbd5829f4c7b8c)
Täällä, ja ovat päät (reaaliakselilla) ja geodeettisen yhdistää ja numeroitu siten, että välissä ja .
z1×{\ displaystyle z_ {1} ^ {\ kertaa}}
z2×{\ displaystyle z_ {2} ^ {\ kertaa}}
z1{\ displaystyle z_ {1}}
z2{\ displaystyle z_ {2}}
z1{\ displaystyle z_ {1}}
z1×{\ displaystyle z_ {1} ^ {\ kertaa}}
z2{\ displaystyle z_ {2}}![z_2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abf655fa14f7ea44ad0ca781b59ff59c5f49117)
Tämän mittarin geodeettiset muodot ovat ympyränkaaret, jotka ovat kohtisuorassa reaalilukujen akseliin nähden, ts. Puoliympyrät, jotka ovat keskellä tätä akselia, ja puoliviivat, jotka ovat kohtisuorassa tähän akseliin.
Puolitason oikea levitys levylle
Ylempi puolitaso on konformisessa bijektiossa yksikölevyn kanssa Möbius-muunnoksen kautta
w=eiϕz-z0z-z0¯{\ displaystyle w = e ^ {i \ phi} {\ frac {z-z_ {0}} {z - {\ overline {z_ {0}}}}}}![w = e ^ {{i \ phi}} {\ frac {z-z_ {0}} {z- \ overline {z_ {0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b33f6c03144b4364a86470bf6585901d822c74)
missä w on yksikkölevyn piste, joka vastaa puolitason pistettä z . Vakio z 0 voi olla mikä tahansa puolitason piste, joka lähetetään levyn keskelle. Todellisella akselilla on kuvalle yksikköympyrä (lukuun ottamatta pistettä 1, äärettömän pisteen kuva). Todellinen vakio vastaa levyn pyörimistä.
ℑz=0{\ displaystyle \ Im z = 0}
|w|=1.{\ displaystyle | w | = 1.}
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
Kanoninen sovellus
w=iz+1z+i{\ displaystyle w = {\ frac {iz + 1} {z + i}}}![w = {\ frac {iz + 1} {z + i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f082de8376a9e5401d707596fcdb4542c8aa9f)
(katso Cayleyn muunnosartikkeli ) lähettää i lähtöpaikkaan (levyn keskelle) ja 0 pisteeseen -i .
Metrinen ja alkeellinen alue Poincaré-levyllä
Metrinen tensor Poincarén että levy Poincarén annetaan levyn avonainen mukaan
U={z=x+iy:|z|=x2+y2<1}{\ displaystyle U = \ {z = x + iy: | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} <1 \}}![U = \ {z = x + iy: | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} <1 \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd3bc94f0b9cac192c8f58169ebd175cf7cba22)
ds2=4dx2+dy2(1-(x2+y2))2=4dzdz¯(1-|z|2)2.{\ displaystyle ds ^ {2} = 4 {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2}}} = 4 {\ frac {dz \, d {\ overline {z}}} {(1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}.}![ds ^ {2} = 4 {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2}}} = 4 { \ frac {dz \, d \ overline {z}} {(1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139b118359aedde840453f3990a47c8192002671)
Alueen elementin antaa
dμ=4dxdy(1-(x2+y2))2=4dxdy(1-|z|2)2,{\ displaystyle d \ mu = {\ frac {4dx \, dy} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2}}} = {\ frac {4dx \, dy} {(1- | z | ^ {2}) ^ {2}}},}![d \ mu = {\ frac {4dx \, dy} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2}}} = {\ frac {4dx \, dy} {(1 - | z | ^ {2}) ^ {2}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7e29f13e4d7874b630b1854a0cd70a7a484c07)
ja kahden pisteen välisen etäisyyden mukaan
z1,z2∈U{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ U-muodossa}![z_ {1}, z_ {2} \ U: ssa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6dfcf4858fc1e265b8a4cd3e38d247804b45e34)
ρ(z1,z2)=2tanh-1|z1-z21-z1z2¯|{\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = 2 \ tanh ^ {- 1} \ vasen | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1-z_ {1} { \ overline {z_ {2}}}}} \ oikea |}![\ rho (z_ {1}, z_ {2}) = 2 \ tanh ^ {{- 1}} \ vasen | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1-z_ {1} \ overline {z_ {2}}}} \ oikea |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a96c1980d8cfdc7771cd93d81baa9d7d0c56b8)
.
Geodeettiset muodot ovat ympyränkaaria, jotka ovat kohtisuorassa (päissään) levyn yksikköympyrän reunaan.
Tylsä levy
Tärkeä puolitasossa määritelty sovellus on sovellus, joka soveltaa puolitasoa tylpälle levylle eksponenttitoiminnon kautta
H{\ displaystyle \ mathbb {H}}
{z:0<|z|<1}{\ displaystyle \ {z: 0 <| z | <1 \}}![\ {z: 0 <| z | <1 \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342713efa4849e5bea1353e081d1599c5377f171)
q=exp(iπτ){\ displaystyle q = \ exp (i \ pi \ tau)}![q = \ exp (i \ pi \ tau)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76d7504b5c483579bdcd0a302d55b4d0630e4ab)
.
Elliptisten funktioiden ja modulaarisen funktion teoriassa muuttuja q on nimi (en) ja τ jaksojen puolisuhde.
Puolitason Poincaré-metriikka indusoi mittarin q-levylle
ds2=4|q|2(Hirsi|q|2)2dqdq¯{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4} {| q | ^ {2} (\ log | q | ^ {2}) ^ {2}}} dq \, d {\ overline {q} }}![ds ^ {2} = {\ frac {4} {| q | ^ {2} (\ log | q | ^ {2}) ^ {2}}} dq \, d \ yliviiva {q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58a83abbe8b4d37b006582b53b08da261a53012)
,
jonka potentiaali on
Φ(q,q¯)=4HirsiHirsi|q|-2{\ displaystyle \ Phi (q, {\ overline {q}}) = 4 \ log \ log | q | ^ {- 2}}![\ Phi (q, \ overline {q}) = 4 \ loki \ loki | q | ^ {{- 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ba9564ac4521c4a4050d3d1065352e0c5ef061)
.
Schwarz lemma
Poincare metriikka on sopimuksen sovellus on harmoniset funktiot . Tämä tulos on yleistys Lemman Schwarz , kutsutaan Schwarz-Alhfors-Pick lause (in) .
Viitteet
Bibliografia
-
(en) Hershel M.Farkas ja Irwin Kra (en) , Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ( ISBN 0-387-90465-4 ) .
-
(en) Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ( ISBN 3-540-43299-X ) (Katso osa 2.3) .
-
(en) Svetlana Katok , Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ( ISBN 0-226-42583-5 ) (yksinkertainen ja luettava johdanto.)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">