Harmoninen toiminto

On matematiikka , joka on harmoninen funktio on funktio , joka täyttää Laplacen yhtälö .

Klassinen harmonisten toimintojen ongelma on Dirichlet-ongelma : voisimmeko antaa avoimen rajalla määritellyn jatkuvan funktion laajentamalla sitä toiminnolla, joka on harmoninen missä tahansa avoimen kohdan kohdassa?

Määritelmä

Olkoon $U$ avoin joukko ℝ $n$ . Kaksinkertaisesti erottuvan kartan $f : U$ → ℝ sanotaan olevan harmoninen $U: n suhteen,$ jos

{\ displaystyle {\ frac {\ osal ^ ^ {2} f} {\ osaa x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ osaa ^ {2} f} {\ osaa x_ {2} ^ { 2}}} + \ cdots + {\ frac {\ osal ^ {2} f} {\ osittain x_ {n} ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}

tai (jos kreikkalaisen kirjaimen delta edustaa laplaasialaista operaattoria ):

{\ displaystyle \ Delta f = 0}

Tällainen toiminto kuuluu automaattisesti luokkaan C ∞ .

Harmoninen toiminto ℂ

Tunnistamalla ℂ merkinnällä ℝ 2 näemme, että harmoniset toiminnot liittyvät hyvin holomorfisiin toimintoihin .

Todellinen osa on holomorphic tai anti-holomorphic toiminto avoimen joukko ℂ on harmoninen.

Tämän ominaisuuden vastakohta on väärä, toisaalta meillä on:

Olkoon Ω yksinkertaisesti yhdistetty avoin joukko ℂ; mikä tahansa Ω: n harmoninen funktio on Ω: n holomorfisen funktion todellinen osa.

Aiheeseen liittyvät artikkelit