Sylinterimäinen harmoninen
On matematiikka , lieriömäinen harmoniset ovat joukko lineaarisesti riippumaton ratkaisuja on Laplace differentiaaliyhtälön.
∇2V=1ρ∂∂ρ(ρ∂V∂ρ)+1ρ2∂2V∂φ2+∂2V∂z2=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partituali} {\ osittainen \ rho}} \ vasen (\ rho {\ frac {\ osaa V} { \ osittainen \ rho}} \ oikea) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ osallinen ^ {2} V} {\ osallinen \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ ositettu ^ {2} V} {\ osittainen z ^ {2}}} = 0}![{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partituali} {\ osittainen \ rho}} \ vasen (\ rho {\ frac {\ osaa V} { \ osittainen \ rho}} \ oikea) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ osallinen ^ {2} V} {\ osallinen \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ ositettu ^ {2} V} {\ osittainen z ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1f23c2c2526375f3bee5945fcfedad3dce096)
ilmaistuna sylinterimäisinä koordinaatteina ρ (säde), φ (atsimuutti) ja z (ulottuvuus). Kunkin toiminnon V n ( k ) on tuote kolme termiä, kukin riippuen vain yksi koordinaatti. Termi riippuvainen ρ: stä ilmaistaan Besselin funktioilla (joita kutsutaan joskus myös sylinterimäisiksi yliaaltoiksi).
Määritelmä
Kunkin toiminnon V n ( k ) on ilmaistu tuote kolme tehtävää:
Vei(k;ρ,φ,z)=Pei(k,ρ)Φei(φ)Z(k,z){\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d2199bac0fe7a0179450b0ca2cc18b445feeab)
jossa ( ρ , φ , z ) ovat sylinterimäiset koordinaatit, ja n ja k ovat vakioita, jotka erottavat joukon jäsenet. Laplace-yhtälön sovelletun superpositioperiaatteen seurauksena yleisiä ratkaisuja Laplace-yhtälöön voidaan saada näiden toimintojen lineaarisilla yhdistelmillä.
Koska kaikki pisteiden ρ , φ tai z pinnat ovat kartiomaisia, Laplace-yhtälö on erotettavissa sylinterimäisissä koordinaateissa. Tekniikalla ja erottaminen muuttujien , liuosta, erotetaan Laplace-yhtälö voidaan kirjoittaa:
V=P(ρ)Φ(φ)Z(z){\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}![{\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0634d66da3555f52bb4d6e2d88c15740ff4a1920)
ja jakamalla Laplace-yhtälö V : llä se yksinkertaistuu:
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+Z¨Z=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {{mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {{mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bf8224090b271c838f593978d61afe446aac85)
Termi Z: ssä riippuu vain z: stä ja sen on sen vuoksi oltava yhtä suuri kuin vakio:
Z¨Z=k2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dcfdc5395309937b67813621de7d6407a14dd55)
missä k on yleensä kompleksiluku . Annetulla k: n arvolla Z: llä on kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua.
- jos k on todellinen, voimme kirjoittaa:
Z(k,z)=cosh(kz) ou sinh(kz){\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {tai} \ \ sinh (kz) \,}![{\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {tai} \ \ sinh (kz) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee8bed9425f108c1c6b077793d8ba3eba24cd88)
tai riippuen sen käyttäytymisestä ad infinitum:
Z(k,z)=ekz ou e-kz{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {kz} \ \ mathrm {tai} \ {\ rm {e}} ^ {- kz} \,}
Z(k,z)=cos(|k|z) ou synti(|k|z){\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {tai} \ \ sin (| k | z) \,}![{\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {tai} \ \ sin (| k | z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acd51543c110cb967fac9095e238569cafd0526)
tai:
Z(k,z)=ei|k|z ou e-i|k|z{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} | k | z} \ \ mathrm {tai} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} | k | z} \,}
Voimme huomata, että funktiot Z ( k , z ) ovat Fourier-muunnoksen tai funktion Z ( z ) Laplace-muunnoksen ytimet ja siten k voi olla erillinen muuttuja jaksollisissa rajaolosuhteissa tai jatkuva muuttuja ei-jaksolliset reunaolosuhteet.
Korvaamme K 2 varten , meillä on nyt:
Z¨/Z{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}![{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1862dcecd5909da6283488ae99db938b6aee1e8b)
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+k2=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28e778708ed346da35e0307c577b7787ba4ab02)
Kertomalla ρ 2 : lla voimme erottaa funktiot P ja Φ ja lisätä uuden vakion n syistä, jotka ovat samankaltaisia kuin k termillä depending riippuen :
Φ¨Φ=-ei2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} = - n ^ {2}}
ρ2P¨P+ρP˙P+k2ρ2=ei2{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}![{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf7b107f4f3524387ef47d1e2064a57289281fb)
Koska φ on jaksollinen, voimme ottaa n positiivista ja siten merkitään ratkaisut Φ ( φ ) indekseillä. Todelliset ratkaisut Φ ( φ ): lle ovat
Φei=cos(eiφ) ou synti(eiφ){\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {tai} \ \ sin (n \ varphi)}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {tai} \ \ sin (n \ varphi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb39a5b8cd39792195649271a0f7570c8cb2a53)
tai vastaavasti:
Φei=eieiφ ou e-ieiφ{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {tai} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {tai} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89030b8bd4638d9dbb697326f191b8399ec9db9b)
Jäljelle jää termi P ( ρ ) , joka seuraa Besselin yhtälöä .
- jos k on nolla, mutta ei n , ratkaisut ovat:
Pei(0,ρ)=ρei ou ρ-ei{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {tai} \ \ rho ^ {- n} \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {tai} \ \ rho ^ {- n} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442cee54ba667ebbd6734a55a4b70d70a7f56ef)
- jos k ja n ovat molemmat nollasta poikkeavia, ratkaisut ovat:
P0(0,ρ)=lnρ ou 1{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {tai} \ 1 \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {tai} \ 1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5676a01dbb4576caa394d3944727b8a28450bd)
- jos k on reaaliluku, voimme kirjoittaa todellisen ratkaisun muodossa:
Pei(k,ρ)=Jei(kρ) ou Yei(kρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {tai} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {tai} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54db49118bb7e697728970c40d44b0eb51cea2a6)
jossa J n ( z ) ja Y n ( z ) , tavallinen Besselin funktioita.
- jos k on kuvitteellinen luku, voimme kirjoittaa todellisen ratkaisun muodossa:
Pei(k,ρ)=Minäei(|k|ρ) ou Kei(|k|ρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {tai} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {tai} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0279c579130224e91ab2ecbb5fd54926d24b104)
jossa
I n ( z ) ja
K n ( z ) , modifioitu Besselin funktioita.
( K , n ): n sylinterimäiset yliaallot ovat siis näiden ratkaisujen tulosta, ja yleinen ratkaisu Laplace-yhtälöön on lineaarinen yhdistelmä niistä:
V(ρ,φ,z)=∑ei∫dkATei(k)Pei(k,ρ)Φei(φ)Z(k,z){\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ summa _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ summa _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac45c1538a9077bb53d3c02a1ae1832a9004072)
missä A n ( k ) ovat vakioita sylinterimäisestä muodosta riippuen ja summan ja integraalin rajoista, jotka annetaan ongelman rajaehdoilla. Tietyt rajaehdot mahdollistavat integraalin korvaamisen erillisellä summalla. Ortogonaalisuuden J n ( x ) on usein hyödyllistä löytää ratkaisu tietyssä tapauksessa. Funktiot Φ n ( φ ) Z ( k , z ) ovat olennaisesti Fourier- tai Laplace-laajennuksia ja muodostavat joukon ortogonaalisia funktioita. Tapaukselle P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , ortogonaalisuuden J n , kanssa ortogonaalisuuden suhteet Φ n ( φ ) ja Z ( k , z ) avulla voidaan määrittää vakioita.
Toteamalla { x k } positiivinen nollat J n , meillä on:
∫01Jei(xkρ)Jei(xk′ρ)ρdρ=12Jei+1(xk)25kk′{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2eb9c188f5489ff969271d27555fa7435ffbc2)
Ongelmanratkaisussa tila voidaan jakaa rajalliseen määrään alatiloja, kunhan potentiaalin ja sen johdannaisen arvot vastaavat rajaa ilman lähdettä.
Esimerkki: Lähtökohta johtavassa lieriömäisessä putkessa
Pyrimme määrittämään pistelähteen potentiaalin, joka sijaitsee paikassa ( ρ 0 , φ 0 , z 0 ) johtavassa sylinterimäisessä putkessa (kuten tyhjä tölkki), jota rajaavat kaksi tasoa z = ± L ja reunoilla sylinteri ρ = a . (MKS-yksiköissä oletetaan q / 4π ε 0 = 1 ). Koska potentiaalia rajaavat z- akselin tasot , funktion Z ( k , z ) voidaan olettaa olevan jaksollinen. Potentiaalin on oltava nolla origossa, otamme P n ( kρ ) = J n ( kρ ) siten, että yksi sen nollista on rajoittavassa sylinterissä. Z- akselin lähdekohdan alla olevan mittauspisteen potentiaali on:
V(ρ,φ,z)=∑ei=0∞∑r=0∞ATeirJei(keirρ)cos(ei(φ-φ0))sinh(keir(L+z))z≤z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} \ summa _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} \ summa _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcac615b58005b89df1936d9b680bf0a269ac4b)
jossa k nr , r e nolla J n ( z ) ja, että ortogonaalisuus suhteet kunkin toiminnon:
ATeir=4(2-5ei0)klo2sinhkeir(L-z0)sinh2keirLJei(keirρ0)keir[Jei+1(keirklo)]2{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4eb5e3569947e4b1f824713a44baee89017cf6)
Lähdekohdan yläpuolella meillä on:
V(ρ,φ,z)=∑ei=0∞∑r=0∞ATeirJei(keirρ)cos(ei(φ-φ0))sinh(keir(L-z))z≥z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} \ summa _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (Lz)) \, \, \, \, \, z \ geq z_ {0}}
ATeir=4(2-5ei0)klo2sinhkeir(L+z0)sinh2keirLJei(keirρ0)keir[Jei+1(keirklo)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba17c88a547a517467acec9b9a0ea8eb6078143)
Todetaan, että ρ = a tai | z | = L , toiminto peruutetaan. Voimme myös tarkistaa, että kahden ratkaisun ja niiden johdannaisten arvot yhtenevät arvoon z = z 0 .
Lähdepiste äärettömässä johtavassa lieriömäisessä putkessa
Poistamme z: n ( L → ) rajaehdot . Sitten ratkaisusta tulee:
V(ρ,φ,z)=∑ei=0∞∑r=0∞ATeirJei(keirρ)cos(ei(φ-φ0))e-keir|z-z0|{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} \ summa _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k_ {nr} | z-z_ {0} |}}
ATeir=2(2-5ei0)klo2Jei(keirρ0)keir[Jei+1(keirklo)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {2 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}
Lähdekohta vapaassa tilassa
Poistamme myös rajaehdot pisteestä ρ ( a → ∞ ). J n: n ( z ) nollien yli tulevasta summasta tulee integraali, ja sitten tulee lähdekohdan kenttä äärettömään vapaaseen tilaan:
V(ρ,φ,z)=1R=∑ei=0∞∫0∞ATei(k)Jei(kρ)cos(ei(φ-φ0))e-k|z-z0|dk{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {R}} = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} A_ {n} (k) J_ {n} (k \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k | z-z_ {0} | } \, \ mathrm {d} k}
ATei(k)=(2-5ei0)Jei(kρ0){\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}![{\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8876e18f7f7ed8c16a994c81c4d15ddb383639)
ja R on etäisyys lähdekohdasta mittauspisteeseen:
R=(z-z0)2+ρ2+ρ02-2ρρ0cos(φ-φ0).{\ displaystyle R = {\ sqrt {(z-z_ {0}) ^ {2} + \ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ varphi - \ varphi _ {0})}}. \,}
Lähdekohta vapaassa tilassa alkupisteessä
Lopuksi korjaamme ρ 0 = z 0 = 0 . Hän tulee sitten
V(ρ,φ,z)=1ρ2+z2=∫0∞J0(kρ)e-k|z|dk.{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = = int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = = int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0d66700d466001ac039e080196f789b40bcf07)
Katso myös
Huomautuksia
-
Smythe 1968 , s. 185.
-
Guillopé 2010 .
-
Tätä tapausta on tutkittu Smythe 1968: ssa
Viitteet
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">