Sinien laki
In trigonometrian , sinilause on suhde oikeasuhteisuuden välillä pituudet on puolin kolmio ja sinit ja vastakkaisiin kulmiin . Sen avulla, kun tiedetään kaksi kulmaa ja yksi sivu, voidaan laskea muiden sivujen pituus.
On sini kaava samanlainen esitys Pallotrigonometria .
Näitä lakeja on esitetty ja osoitettu, että pallomainen muoto, Abu Nasr Mansur alussa ja XI th luvulla, litteään muotoon, Nasir al-Din Tusi alussa XIII th -luvun.
Sinilaki tasogeometriassa
Osavaltiot
Tarkastellaan mitä tahansa kolmiota ABC, joka on esitetty kuvassa. 1 vastapäätä, jossa kulmat on merkitty pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla ja kulmat vastakkaiset puolet vastaavalla latinankielisellä pienellä kirjaimella:
-
a = BC ja a = kulma, jonka muodostavat [AB] ja [AC];
-
b = AC ja p = kulma, jonka muodostavat [BA] ja [BC];
-
c = AB ja y = kulma, jonka muodostavat [CA] ja [CB].
Niin kutsuttu sinuskaava on silloin:
klosyntia=bsyntiβ=vs.syntiy{\ displaystyle \, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}}![\, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f7df253a6d98381b598204c08b60d199b2b81d)
,
Meillä on jopa parempia:
klosyntia=bsyntiβ=vs.syntiy=klobvs.2S=2R{\ displaystyle \, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc} {2S}} = 2R}![\, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc} {2S}} = 2R](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291dcf87b55dde9a01eda5244bd554649c801fb1)
,
missä R on ympyrän säde, joka on rajattu kolmioon ABC ja
S=s(s-klo)(s-b)(s-vs.){\ displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}}![S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be82d5bb8206d42a45b118eca21113f33a3f59b)
on kolmion pinta-ala tietyn päässä puoli-kehä p mukaan Heron kaavaa .
Suhteellisuuden suhde voidaan joskus tiivistää seuraavasti:
klo:b:vs.=syntia:syntiβ:syntiy{\ displaystyle \, a \ ,: \, b \ ,: \, c = \ sin \ alfa \ ,: \, \ sin \ beta \ ,: \, \ sin \ gamma}![\, a \ ,: \, b \ ,: \, c = \ sin \ alfa \ ,: \, \ sin \ beta \ ,: \, \ sin \ gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec8f2b422ad80c82b7cff7435343f21f1d537d3)
Lausetta voidaan käyttää
- rajatun ympyrän säteen määrittämiseksi
R=klo2syntia{\ displaystyle \, R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}}}
- jotta ratkaista kolmion jonka tiedämme kaksi kulmat ja toisella puolella.
Esittelyt
Ilmaisemalla korkeus kahdella tavalla
Tarkastelemme kolmion sivuista a , b ja c ja α, β, γ sen kulmat pisteissä A , B ja C vastaavasti. Korkeus C: sta jakaa kolmion ABC kahteen suorakulmioon. Merkitään tämä korkeus h: llä ; voimme soveltaa sinin määritelmää kahdessa pienessä suorakulmiossa ilmaisemaan h :
syntia=hb ja syntiβ=hklo.{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {h} {b}} {\ text {et}} \ sin \ beta = {\ frac {h} {a}}.}![{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {h} {b}} {\ text {et}} \ sin \ beta = {\ frac {h} {a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aef19f45173d92e9c861a84d07619c949a84985)
Mistä johdetaan kaksi lauseketta h :
h=bsyntia=klosyntiβ{\ displaystyle h = b \ sin \ alpha = a \ sin \ beta \,}![h = b \ sin \ alfa = a \ sin \ beta \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc400fe64b125984ecac916001a56a89b4bb70e2)
ja niin :
klosyntia=bsyntiβ.{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}.}![{\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0697c6e05d2e9c4f0224bf0dab214c96970a06cd)
Tekemällä saman A : n korkeuden kanssa saamme:
bsyntiβ=vs.syntiy.{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}.}
Laskemalla kolmion pinta-ala
Kolmion pinta-ala S voidaan laskea valitsemalla sivuksi AB = c perustaksi ja h korkeudeksi. Sitten saamme:
S=vs.×h2=vs.×bsyntia2.{\ displaystyle S = {\ frac {c \ kertaa h} {2}} = {\ frac {c \ kertaa b \ sin \ alpha} {2}}.}![{\ displaystyle S = {\ frac {c \ kertaa h} {2}} = {\ frac {c \ kertaa b \ sin \ alpha} {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022251b0704673025d8c5956c33312dfb76e9ccb)
Kertomalla tuloksella päätellään:
kloSsyntia{\ displaystyle {\ tfrac {a} {S \ sin \ alpha}}}![{\ displaystyle {\ tfrac {a} {S \ sin \ alpha}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6053c1136b1c255ad6652adc081ab9b1f2a78021)
klosyntia=klobvs.2S.{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {abc} {2S}}.}![{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {abc} {2S}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ab8b765b5a758dde639885a41addd9fd8b8961)
Osoitamme myös sen
bsyntiβ=klobvs.2Setvs.syntiy=klobvs.2S.{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {abc} {2S}} \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {c} {\ sin \ gamma} } = {\ frac {abc} {2S}}.}
Vuoteen kehäkulma lauseen
Korvaamalla C ympyrällä olevan ympyrän A : lla diametraalisesti päinvastaisella pisteellä D löydämme (kuvat 3 ja 4):
syntiy=vs.2Rdoeivs.vs.syntiy=2R.{\ displaystyle \ sin \ gamma = {\ frac {c} {2R}} \ quad {\ rm {siis}}} \ quad {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = 2R.}![{\ displaystyle \ sin \ gamma = {\ frac {c} {2R}} \ quad {\ rm {siis}}} \ quad {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = 2R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a984a8511b9de33b8d7406d9a89048bdfb16857)
Jos A ja B ovat diametraalisesti vastakkaisia , tämä rakenne ei ole mahdollinen, mutta tasa-arvo on välitön (kuva 5).
Osoitamme myös sen
bsyntiβ=2Retklosyntia=2R.{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = 2R \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = 2R.}![{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = 2R \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = 2R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f57ce9181eec26d478d2675ce019beba53e5c96)
Sinikaava pallomaisessa trigonometriassa
Harkitse kolmio ABC pallolla keskus O . Merkitään α: lla (vastaavasti β ja γ ) kolmion kulmaa kärjessä A (vastaavasti B ja C ). Merkitään a: lla , b: llä ja c: llä kulmia, jotka ovat keskellä pallon O : ta vastaavan suuren ympyrän osalla. Siten tarkoittaa kulma BOC , jne. Tietysti sivujen pituudet päätetään a: sta , b: stä ja c : stä kertomalla ne pallon säteellä.
Sini-kaava ilmoitetaan sitten seuraavasti:
syntiklosyntia=syntibsyntiβ=syntivs.syntiy.{\ displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} .}
Se korostaa keskipisteessä olevien kulmien ja huippujen kulmien välistä kaksinaisuutta.
Korkeammissa mitoissa
Yleisemmin varten n - simplex (esimerkiksi tetraedrin ( n = 3 ), joka on pentachorus ( n = 4 ), jne .; kolmio, vastaa tapausta, n = 2), joka on euklidinen avaruus ulottuvuuden n arvo Kärkipisteen ympärillä oleville pinnoille normaalin vektorijoukon polaarisen sinin absoluuttinen arvo jaettuna tätä kärkeä vastapäätä olevalla kasvojen pinta-alalla, ei riipu tästä kärjestä ja on yhtä suuri , missä V on simplex ja P sen kasvojen alueiden tulo.
(eiV)ei-1(ei-1)!P{\ displaystyle {\ frac {(nV) ^ {n-1}} {(n-1)! P}}}![{\ displaystyle {\ frac {(nV) ^ {n-1}} {(n-1)! P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129d3bc0efdfc527b9613304e8af57dc5e06cf79)
Huomautuksia ja viitteitä
(
fr ) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian
englanninkielisestä artikkelista
" Law of sines " ( katso tekijäluettelo ) .
-
Marie-Thérèse Debarnot, "Trigonometria" , julkaisussa Roshdi Rashed (toim.), Histoire des sciences arabe: Mathématiques et physique , t. 2, kynnys,1997, s. 161-198, s. 173 ja 184
-
R. Bastin, B. Baudelet, S. Bouzette ja P. Close, Maths 4 , de Boeck, ko . "Adam",2009( ISBN 978-2-80410143-5 , luettu verkossa ) , s. 241-242.
-
" Sines-laki - yksinkertainen esittely " , osoitteessa blogdemaths.wordpress.com ,2011.
Katso myös
Ulkoiset linkit
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">