Rajoitettu kehitys

In fysiikka ja matematiikka , joka on rajoitettu laajeneminen (merkitty DL ), joka on funktio pisteessä on polynomi approksimaatio tämän funktion naapurustossa tämän kohdan, eli kirjallisesti tämän funktion muodossa summa:

• on polynomifunktio , ja
• merkityksetön loppu tarkasteltavan pisteen läheisyydessä .

Fysiikassa on tavallista sekoittaa funktio sen rajalliseen kehitykseen edellyttäen, että näin tehty virhe (ts. Loppuosa) on pienempi kuin sallittu virhe. Jos olemme tyytyväisiä yhden järjestyksen laajentamiseen, puhumme lineaarisesta lähentämisestä tai affiinisesta lähentämisestä.

Matematiikassa rajallinen kehitys antaa mahdollisuuden löytää yksinkertaisemmin funktioiden rajat , laskea johdannaiset , todistaa, että funktio on integroitava tai ei, tai tutkia käyrien asemia tangenttien suhteen .

Määritelmät

Olkoon f reaaliarvoinen funktio määritelty väli I , ja x 0 ∈ I . Sanomme, että f myöntää järjestyksen n (lyhennettynä DL n ) rajoitetun laajennuksen x 0: ssa , jos on olemassa n + 1 reaalilukua a 0 , a 1 , ..., a n siten, että funktio, jonka määrittelee: R:Minä→R{\ displaystyle R: I \ to \ mathbb {R}}

f(x)=klo0+klo1(x-x0)+klo2(x-x0)2+...+kloei(x-x0)ei+R(x)=∑i=0eikloi(x-x0)i+R(x){\ displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} (x-x_ {0}) + a_ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + ... + a_ {n } (x-x_ {0}) ^ {n} + R (x) = \ summa _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + R ( x)} tarkistaa: R ( x ) on yleensä 0, kun x on x 0 , ja tämä on "nopeampi" kuin summan viimeinen termi, toisin sanoen: limx→x0R(x)(x-x0)ei=0.{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow x_ {0}} {\ frac {R (x)} {(x-x_ {0}) ^ {n}}} = 0.}

Tämän varmistavat funktiot R on merkitty o (( x - x 0 ) n ) (katso artikkeli "  Asymptoottinen vertailu  " ja tarkemmin Landau-merkintöjen perhe ). Siksi kirjoitamme:

f(x)=∑i=0eikloi(x-x0)i+o((x-x0)ei).{\ displaystyle f (x) = \ summa _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n }).}

On tavallista kirjoittaa rajoitettu laajennus asettamalla x = x 0 + h  :

f(x0+h)=∑i=0eikloihi+o(hei).{\ displaystyle f (x_ {0} + h) = \ summa _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} h ^ {i} + o (h ^ {n}).} Välittömät seuraukset

• Jos f myöntää DL 0 on x 0 , niin 0 = f ( x 0 ) .
• Jos f myöntää DL n : n x 0: ssa , niin se myöntää DL k : n x 0 millä tahansa kokonaisluvulla k < n .
• Välttämätön ja riittävä ehto varten f myöntää DL n on x 0 on olemassa polynomin P siten, että f ( x ) = P ( x ) + o (( x - x 0 ) n ) . Jos on olemassa sellainen polynomi P , niin on olemassa ääretön toisten, mutta vain yksi niistä on astetta pienempi kuin tai yhtä kuin n  : loput jakoyhtälö on P ( X ) , jonka ( X - X 0 ) n +1 . Sitä kutsutaan säännöllinen osa , tai suurin osa , DL n ja f on x 0 . Joskus tunnistamme kielen väärinkäytöllä DL n: n sen säännöllisen osan kanssa.

Toimet rajoitetulla kehityksellä

Summa Jos f ja g myöntää kaksi DL n on x 0 , niin f + g myöntää DL n on x 0 , säännöllinen osa, joka on saatu lisäämällä kaksi säännöllistä osaa DL n ja f ja g . Kertominen skalaarilla Jos f myöntää DL n on x 0 , sitten λ f myöntää DL n on x 0 , säännöllinen osa, joka saadaan kertomalla säännöllinen osa DL n ja f mukaan λ. Tuote Jos f ja g hyväksyvät kaksi DL n : tä x 0: ssa , vastaavista säännöllisistä osista P ja Q , niin fg ja PQ myöntävät DL n : n x 0: ssa , saman säännöllisen osan. Jos x 0 = 0, tämä säännöllinen osa on loppuosa PQ : n euklidisesta jaosta X n +1: llä . Käänteinen Jos u ( x 0 ) = 0 ja jos u myöntää DL n : n x 0: ssa , niin1/1 - umyöntää DL n . Säännöllinen osa tätä rajoitettu laajeneminen on se, että DL n ja klo x 0 .∑k=0eiuk{\ displaystyle \ summa _ {k = 0} ^ {n} u ^ {k}} Osamäärä Voimme yhdistää tulon ja käänteisen tai jakaa osoittajan säännöllisen osan kasvavien voimien perusteella nimittäjän voimalla. Sävellys Jos u myöntää DL n in x 0 on säännöllinen osa P, ja jos v myöntää DL n on u ( x 0 ) säännöllisen osan Q , sitten v ∘ u ja Q ∘ P on DL n in x 0 , saman osa säännöllinen. "Liittäminen" Jos f myöntää DL n on x 0 , niin kaikki primitiivinen F ja f myöntää DL n + 1 on x 0 , joka onf(x)=∑i=0eikloi(x-x0)i+o((x-x0)ei){\ displaystyle f (x) = \ summa _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n })} F(x)=F(x0)+∑i=0eikloii+1(x-x0)i+1+o((x-x0)ei+1).{\ displaystyle F (x) = F (x_ {0}) + \ summa _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {i + 1}} (x-x_ {0} ) ^ {i + 1} + o ((x-x_ {0}) ^ {n + 1}).} Johtaminen DL n : n olemassaolosta x 0 : ssa ei ole yleistä teoreemaa funktion johdannaiselle, joka hyväksyy DL n + 1 : n x 0: ssa . Esimerkiksi 0 , funktio x ↦ x 3 sin (1 / x ) - laajennettu mukaan 0 ↦ 0 - myöntää DL 2 (se on 0 + o ( x 2 ) ), mutta sen johdannaista ei myönnä päässä DL 1 . Toisaalta, kuten jo todettiin, jos F ' myöntää DL n : n x 0: ssa , niin tämän DL: n säännöllinen osa on johdannainen F : n DL: n n + 1 : n säännöllisen osasta x 0: ssa .

Rajoitettu kehitys ja johdettavissa olevat toiminnot

Taylor - Young lause varmistaa, että funktio f differentioituva n kertaa pisteessä x 0 (jossa ) myöntää DL n tässä vaiheessa: eie≥1{\ displaystyle ne \ geq 1}f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+⋯+f(ei)(x0)ei!(x-x0)ei+o((x-x0)ei){\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {f' '(x_ {0})} {2! }} (x-x_ {0}) ^ {2} + \ pistettä + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})} joko lyhennetysti f(x)=∑i=0eif(i)(x0)i!(x-x0)i+o((x-x0)ei){\ displaystyle f (x) = \ summa _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {f ^ {(i)} (x_ {0})} {i!}} (x-x_ {0} ) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})}.

Me todistaa se induktiolla n ansiosta edellä lauseen on termi-to aikavälillä ”integraatio” DL.

DL 0 : n olemassaolo x 0: ssa vastaa jatkuvuutta kohdalla x 0 , ja DL 1 : n olemassaolo x 0: ssa vastaa erottuvuutta x 0: ssa . Toisaalta, koska DL n: n olemassaolo x 0: ssa ei tarkoita, että funktio olisi kertaa erottuva x 0: ssa (esimerkiksi x ↦ x 3 sin (1 / x ) - pidennetty jatkuvuudella 0: ssa - myöntää, on 0 , DL 2 , mutta ei toinen johdannainen). ei≥2{\ displaystyle n \ geq 2}ei{\ displaystyle n}

Jotkut käyttötarkoitukset

Järjestyksen 0 kehitys x 0: ssa tarkoittaa kirjoittamista, että f on jatkuva x 0  : ssa: f(x)=f(x0)+o((x-x0)0)=f(x0)+o(1){\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + o ((x-x_ {0}) ^ {0}) = f (x_ {0}) + o (1)}

Rajoitettu laajeneminen järjestyksessä 1 in x 0 määrinä lähestyy käyrän sen tangentti on x 0  ; puhumme myös affinien lähentämisestä  : f(x)=f(x0)+f′(x0)⋅(x-x0)+o(x-x0){\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0})}. Sen olemassaolo vastaa funktion johdettavuutta x 0: ssa .

Rajoitettu laajeneminen, jotta 2 in x 0 määrinä lähestyy käyrää, jonka paraabeli , tai neliön lakia, on x 0 . Sen avulla voidaan määrittää käyrän sijainti suhteessa sen tangenttiin x 0 : n läheisyydessä , edellyttäen että asteen 2 kerroin ei ole nolla: tämän kertoimen merkki antaa itse asiassa tämän sijainnin (katso myös artikkeli funktio kupera ).

Muuttujan h = muutos1/xavulla, kun käytetään DL 0 : ta 0: ssa , voidaan löytää raja äärettömyyteen, ja DL 1 : stä 0 : ssa määritetään asymptootin yhtälö (kuten tangentin, DL 2: n avulla voidaan määrittää (käyrä suhteessa oireettomaan).

Joitain esimerkkejä

Seuraavien funktioiden DL n on 0 missä tahansa kokonaisluvussa n .

• 11-x=∑i=0eixi+xei+11-x=∑i=0eixi+o(xei){\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = \ summa _ {i = 0} ^ {n} x ^ {i} + {\ frac {x ^ {n + 1}} {1-x }} = \ summa _ {i = 0} ^ {n} x ^ {i} + o (x ^ {n})}(seuraus on geometrisen sarjan summa ).
• ln (1 + x ) integroimalla edellinen kaava n = m - 1, muuttamalla x arvoksi –x ja muuttamalla indeksi k = i + 1=∑k=1m(-1)k-1kxk+o(xm){\ displaystyle = \ summa _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}} x ^ {k} + o (x ^ {m})}
• e x (Taylorin kaavan mukaan)=∑i=0ei1i!xi+o(xei){\ displaystyle = \ summa _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} x ^ {i} + o (x ^ {n})}
• syn tilaamaan 2 n + 2. DL: n pääosa järjestykseen 2 n + 1 on sama, koska termi x 2 n +2 on nolla (kuten kaikki termit, joilla on parilliset eksponentit) ja o ( x 2 n +2 ) = o ( x 2 n + 1 ) .x=∑i=0ei(-1)i(2i+1)!x2i+1+o(x2ei+2){\ displaystyle x = \ summa _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} x ^ {2i + 1} + o (x ^ {2n + 2})}
• cos järjestyksessä 2 n + 1. DL: n pääosa järjestyksessä 2 n on sama, koska x 2 n +1: n termion nolla (kuten kaikki parittoman eksponentin termit) ja o ( x 2 n +1 ) = o ( x 2 n ) .x=∑i=0ei(-1)i(2i)!x2i+o(x2ei+1){\ displaystyle x = \ summa _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i)!}} x ^ {2i} + o (x ^ {2n + 1})}
• (1 + x ) a=1+∑i=1ei1i!(∏j=0i-1(klo-j))xi+o(xei).{\ displaystyle = 1 + \ summa _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} \ vasemmalle (\ prod \ limits _ {j = 0} ^ {i-1} (aj ) \ oikea) x ^ {i} + o (x ^ {n}).}

Nämä esimerkit voidaan myös kehittää kokonaisin sarjain .

Lomake

Useat tavalliset toiminnot myöntävät 0: een rajoitetun laajennuksen , jota voidaan käyttää erikoistoimintojen laajentamiseen:

• (1+x)klo=1+klox+klo(klo-1)2!x2+klo(klo-1)(klo-2)3!x3+⋯+klo(klo-1)(klo-2)...(klo-(ei-1))ei!xei+o(xei){\ displaystyle (1 + x) ^ {a} = 1 + ax + {\ frac {a (a-1)} {2!}} x ^ {2} + {\ frac {a (a-1) ( a -2)} {3!}} X ^ {3} + \ cdots + {\ frac {a (a-1) (a-2) ... (a- (n-1))} {n! }} x ^ {n} + o (x ^ {n})}
• 11-x=1+x+x2+x3+⋯+xei+o(xei){\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ cdots + x ^ {n} + o (x ^ {n})}
• 11+x=1-x+x2-x3+⋯+(-1)eixei+o(xei){\ displaystyle {\ frac {1} {1 + x}} = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + \ cdots + (- 1) ^ {n} x ^ {n} + o (x ^ {n})}
• ln⁡(1-x)=-x-x22-x33-⋯-xeiei+o(xei){\ displaystyle \ ln {(1-x)} = - x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots - { \ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}
• ln⁡(1+x)=x-x22+x33-⋯+(-1)ei-1xeiei+o(xei){\ displaystyle \ ln {(1 + x)} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots + (- 1) ^ {n-1} {\ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}
• ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xeiei!+o(xei){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n!}} + o (x ^ {n})}
• cos⁡x=1-x22!+x44!-⋯+(-1)eix2ei(2ei)!+o(x2ei+1){\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} + o (x ^ {2n + 1})}
• synti⁡x=x-x33!+x55!-⋯+(-1)eix2ei+1(2ei+1)!+o(x2ei+2){\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + o (x ^ {2n + 2})}
• rusketus , missäovat Bernoullin numerot .x=x+x33+2x515+17x7315+⋯+B2ei(-4)ei(1-4ei)(2ei)!x2ei-1+o(x2ei){\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} (- 4) ^ {n} (1-4 ^ {n})} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}Bei{\ displaystyle B_ {n}}
• cosh x=1+x22!+x44!+⋯+x2ei(2ei)!+o(x2ei+1){\ displaystyle x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n }} {(2n)!}} + O (x ^ {2n + 1})}
• sinh x=x+x33!+x55!+⋯+x2ei+1(2ei+1)!+o(x2ei+2){\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + O (x ^ {2n + 2})}
• tanh x=x-x33+2x515-17x7315+⋯+B2ei4ei(4ei-1)(2ei)!x2ei-1+o(x2ei){\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} 4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n} )}
• arcsiini x=x+x32⋅3+1⋅3⋅x52⋅4⋅5+⋯+1⋅3⋅5⋯(2ei-1)x2ei+12⋅4⋅6⋯(2ei)⋅(2ei+1)+o(x2ei+2){\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ {5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5} } + \ cdots + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1 )}} + o (x ^ {2n + 2})}
• arccos x=π2-x-x32⋅3-1⋅3⋅x52⋅4⋅5-⋯-1⋅3⋅5⋯(2ei-1)x2ei+12⋅4⋅6⋯(2ei)⋅(2ei+1)+o(x2ei+2){\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}} - x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ { 5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5}} - \ cdots - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}
• arktaanix=x-x33+x55-⋯+(-1)eix2ei+12ei+1+o(x2ei+2){\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n + 2})}
• arsinh x=x-x32⋅3+⋯+(-1)ei1⋅3⋅5⋯(2ei-1)x2ei+12⋅4⋅6⋯(2ei)⋅(2ei+1)+o(x2ei+2){\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots ( 2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}
• artanh x=x+x33+⋯+x2ei+12ei+1+o(x2ei+2){\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n + 2})}

Affine-likiarvot: tilauksen 1 rajoitettu laajentaminen

Usein käytetään järjestyksen 1 rajoitettuja kehityksiä (kutsutaan myös nimellä "affiiniarvioinnit" tai "tangenttiobiniiniarvioinnit" ), jotka mahdollistavat laskelmien helpottamisen, kun liian suurta tarkkuutta ei tarvita; ne annetaan kohdassa x 0 seuraavasti:

f(x)=f(x0)+(x-x0)f′(x0)+o(x-x0){\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + (x-x_ {0}) f '(x_ {0}) + o (x-x_ {0})}

(löydämme f: n kuvaajan tangentin yhtälön ).

Erityisesti meillä on kohdassa 0  :

• (1+x)klo=1+klox+o(x){\ displaystyle (1 + x) ^ {a} = 1 + ax + o (x)} ja niin
  • 11+x=1-x+o(x){\ displaystyle {\ frac {1} {1 + x}} = 1-x + o (x)} ja
  • 1+x=1+x2+o(x) ;{\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = 1 + {\ frac {x} {2}} + o (x) ~;}
• ln⁡(1+x)=x+o(x) ;{\ displaystyle \ ln {(1 + x)} = x + o (x) ~;}
• ex=1+x+o(x).{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + o (x).}

Tavanomainen kehitys trigonometristen toimintojen 0 : ssa

• Tilaa 2:
  • synti⁡x=x+o(x2){\ displaystyle \ sin x = x + o (x ^ {2})}, ,arcsiini⁡x=x+o(x2){\ displaystyle \ arcsin x = x + o (x ^ {2})}
  • rusketus⁡x=x+o(x2){\ displaystyle \ tan x = x + o (x ^ {2})}, ,arktaani⁡x=x+o(x2){\ displaystyle \ arctan x = x + o (x ^ {2})}nämä kaavat tunnetaan usein pieninä kulmiarvioina , ja
• tilata 3:cos⁡x=1-x22+o(x3){\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + o (x ^ {3})}.

Huomautuksia ja viitteitä

1. käsite rajoitettu kehitys voidaan yleistää tapauksessa, jossa funktio on monimutkainen tai vektori arvoja , mutta tässä tapauksessa ei ole lähestytään tässä artikkelissa; muita yleistyksiä, katso artikkeli asymptoottinen kehitys .
2. Jacqueline Lelong-Ferrand ja Jean-Marie Arnaudiès , matematiikkakurssi , t.  2: Analyysi , Bordas,1977, 4 th  ed. , s.  148määritelmä IV.7.2; polynomi itse (joka on ainutlaatuinen, jos se on olemassa) kutsutaan niiden rajoitettu kehitetty ja f , ja merkitään DL n ( f ) tai, jos tarkkuus on tarpeen, DL n ( f , x 0 ) .
3. Katso esittely esimerkiksi Wikikirjaa käsittelevän luvun "Rajoitettu kehitys" kohdasta "Määritelmä" .
4. Katso esittely esimerkiksi Wikikirjaa käsittelevän luvun "Rajoitettu kehitys" §: stä "Summa ja tuote" .
5. Esimerkkinä on esitetty ”Kokoonpano” osa ”Limited kehitys” -kappale on Wikiopisto .
6. Tämä on L'Hôpitalin säännön soveltaminen . Esittelyä varten katso esimerkiksi Wikikirjaa käsittelevän luvun ”Rajoitettu kehitys” § ”Johdanto ja integrointitermi termiin” .
7. Katso esimerkiksi Wikikirjasta annetun luvun ”Rajoitettu kehitys” § ”Taylorin kaavat” .

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Taylor-sarja
• Polynomien interpolointi
• Asymptoottinen kehitys

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">