Sinuskaari
Kaaren siniaalto
Kaaren sinifunktion graafinen esitys.
Luokitus |
arcsiini(x){\ displaystyle \ arcsin (x)}
|
---|
Vastavuoroinen |
synti(x){\ displaystyle \ sin (x)} varma [-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
|
---|
Johdannainen |
11-x2{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
|
---|
Primitiivit |
xarcsiini(x)+1-x2+VS{\ displaystyle x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
|
---|
On matematiikka , arkussinin on reaaliluku sisältyy (laajassa merkityksessä) välillä -1 ja 1 on ainutlaatuinen mitta kulma on radiaaneina jonka sini on yhtä suuri kuin tähän numeroon, ja välillä ja .
-π2{\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
Toiminto , joka assosioituu mitään todellista numero sisältyvät laajassa merkityksessä välillä -1 ja 1 arvo sen arkussinin on huomattava arcsin (Arcsin tai Asin ranskaksi notaatio, sin -1 , asin tai asn Anglosaksisen merkintä). Se on silloin vastavuoroinen bijektio , että rajoitus , että trigonometristen sini- sen aikaväli .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Kun karteesisen koordinaatiston ortonormaalin on tasossa, käyrä edustaja kaaren sinifunktion saadaan käyrä edustaa rajoittamista sinifunktion väliaika , jonka heijastus on akselin linjan yhtälön y = x .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Johdannainen
Koska johdannainen vastavuoroisesti bijektio , arcsin on differentiable ] -1, 1 [ ja täyttää
arcsiini′x=11-x2{\ displaystyle \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}.
Tämä kaava saadaan vastavuoroisen bijektion johdannaisen lauseen ja relaation ansiosta
cos(arcsiinix)=1-x2{\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.
Jos ,
|z|≤1{\ displaystyle | z | \ leq 1}
arcsiiniz=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z55+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅z77+...=∑ei=0∞(2ei-1)!!(2ei)!!⋅z2ei+12ei+1=∑ei=0∞(2eiei)z2ei+14ei(2ei+1).{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ arcsin z & = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ pisteitä \\ & = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ & = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n } {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}}. \ loppu {tasattu}}}(Katso myös Hypergeometrinen toiminto # Erikoistapaukset .)
Esittely
Kehittäminen johdannaisen IS:
arcsiini′(z)=(1-z2)-12=1+(-12)(-z2)+(-12)(-32)2(-z2)2+(-12)(-32)(-52)2⋅3(-z2)3+⋯=1+12z2+1⋅32⋅4z4+1⋅3⋅52⋅4⋅6z6+...,{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ arcsin '(z) & = (1-z ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = 1+ \ left (- {\ frac {1} {2}} \ oikea) (- z ^ {2}) + {\ frac {\ vasen (- {\ frac {1} {2}} \ oikea) \ vasen (- {\ frac {3} {2}} \ oikea)} {2}} (- z ^ {2}) ^ {2} + {\ frac {\ vasen (- {\ frac {1} {2}} \ oikea) \ vasen (- {\ frac {3} {2}} \ oikea) \ vasen (- {\ frac {5} {2}} \ oikea)} {2 \ cdot 3}} (- z ^ {2}) ^ {3} + \ cdots \\ & = 1 + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} z ^ {4} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} z ^ {6} + \ pistettä, \ end {tasattu}}}joten tulos, jonka ” sisällyttämällä ” termi kerrallaan .
Määrittelemätön kiinteä muoto
Tämä funktio voidaan kirjoittaa määrittelemättömän integraalin muodossa :
arcsiinix=∫0x11-t2dt{\ displaystyle \ arcsin x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t}.
Primitiivit
Primitiivit sini kaaren saadaan integrointia osat :
∫arcsiinixdx=xarcsiinix+1-x2+VS{\ displaystyle \ int \ arcsin x \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}.
Kaarensinuksen ja kaaren kosinin suhde
Todelliselle x: lle välillä –1 ja 1 :
arccosx+arcsiinix=π2{\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}.
Logaritminen muoto
Voimme ilmaista kaaren sinifunktion monimutkaisella logaritmilla :
arcsiinix=-iln(ix+1-x2){\ displaystyle \ arcsin x = - {\ rm {i}} \ ln \ vasen ({\ rm {i}} x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ oikea)}.
Viite
-
Merkinnät matematiikkaohjelmasta CPGE: ssä , s. 10 .
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoiset linkit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">