Integrointi osina

In matematiikan , yhdentymistä osat (lyhennetään joskus IPP) on menetelmää, jossa kiinteä ja tuote toimintoja muihin integraaleja. Sitä käytetään usein funktioiden tulon integraalin (tai antivatiivisuuden ) laskemiseen. Tämä kaava voidaan nähdä kiinteänä version tuotteesta sääntö .

Matemaatikko Brook Taylor löysi osien integraation julkaisemalla idean ensimmäisen kerran vuonna 1715. Riemann-Stieltjesin integraalille ja Lebesgue-Stieltjesin integraalille on olemassa yleisempiä osien integraation muotoiluja . Sekvenssien erillistä analogia kutsutaan osien summaukseksi .

Vakiolauseke

Standardi kaava on seuraava, jossa $u$ ja $v$ ovat kaksi differentiable toimintoja , jossa on jatkuva johdannaisia ja ja $b$ kaksi realeina niiden määritelmä väli :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u (x) v '(x) \, \ mathrm {d} x = [uv] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} u '(x) v (x) \, \ mathrm {d} x}

tai jälleen, huomaamalla, että $u ' ( x ) d x$ ja $v' ( x ) d x$ ovat vastaavasti erot ja $u$ ja $v$ :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u \, \ mathrm {d} v = [uv] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} v \, \ mathrm {/}

. Esittely

Lauseen todiste seuraa suoraan tuotesäännöstä :

(uv) '= u'v + uv'

Joten meillä on

{\ displaystyle uv '= (uv)' - u'v}

sitten

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u (x) v '(x) ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} (uv)' (x) ~ \ mathrm {d} x- \ int _ {a} ^ {b} u '(x) v (x) ~ \ mathrm {d} x}

mikä toisen analyysin peruslauseen mukaan antaa ilmoitetun tasa-arvon.

Vaihtoehto "mielenosoituksesta" Leibnizin merkinnällä

Antaa olla kaksi erottuvaa funktiota $u$ ja $v$ . Tuotejohdannaissääntö antaa meille:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (uv)} {\ mathrm {d} x}} = u {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}} + v { \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}}}

Vaihtamalla tasauspyörästöihin saamme:

{\ displaystyle \ mathrm {d} (uv) = u \ mathrm {d} v + v \ mathrm {d} u}

Järjestämme lausekkeen uudelleen seuraavasti:

{\ displaystyle u \ mathrm {d} v = \ mathrm {d} (uv) -v \ mathrm {d} u}

Nyt riittää integroimaan yhtälö:

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u \, \ mathrm {d} v = \ int _ {a} ^ {b} \ mathrm {d} (uv) - \ int _ {a} ^ { b} v \, \ mathrm {d} u}

Sitten saamme:

> .

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u \, \ mathrm {d} v = [uv] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} v \, \ mathrm {/}

Tuotetoimintojen valinta

Yksi funktioiden $u$ ja $v '$ mahdollisista vaihtoehdoista voi osoittautua paremmaksi kuin toinen.

{\ displaystyle I = \ int _ {1} ^ {2} x \ ln x \, \ mathrm {d} x}

Jos joku haluaa $u = ln$ ja $v ' ( x ) = x$ , meillä on $u' ( x ) = 1 / x$ , ja voi ottaa $vastaan ( x ) = x 2 /2$ , jossa:

{\ displaystyle I = \ int _ {1} ^ {2} x \ ln x \, \ mathrm {d} x = \ left [{\ frac {x ^ {2}} {2}} \ ln x \ right ] _ {1} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ int _ {1} ^ {2} x \, \ mathrm {d} x = \ left [{\ frac {x ^ { 2}} {2}} \ ln x \ right] _ {1} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ vasen [{\ frac {x ^ {2}} {2}} \ oikea] _ {1} ^ {2}}

Toisaalta, jos valitsemme $u ( x ) = x$ ja $v ' = ln$ , meillä on $u' = 1$ ja voimme ottaa $v ( x ) = x ln ( x ) - x$ , joten:

{\ displaystyle I = \ int _ {1} ^ {2} x \ ln x \, \ mathrm {d} x = \ vasen [x (x \ ln xx) \ oikea] _ {1} ^ {2} - \ int _ {1} ^ {2} (x \ ln xx) \, \ mathrm {d} x}

Havaitsemme heti, että tämä integraali on monimutkaisempi kuin alkuperäinen integraali, se tulee siihen kuitenkin siitä lähtien . ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {2} (x \ ln xx) \, \ mathrm {d} x = I-3/2}$

Esimerkkejä

Lasketaan ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} x \ cos x \, \ mathrm {d} x}$ osien integroinnin ansiosta.
Tätä varten anna $u ( x ) = x$ siten, että $u ' = 1$ ja $v' = cos$ , niin että esimerkiksi $v = sin$ ( eli additiivivakioon asti, joka joka tapauksessa katoaa välituotteen aikana) laskelmat). Hän tulee : ${\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} x \ cos x \, \ mathrm {d} x & = \ left [u (x) v ( x) \ right] _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} - \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} u '(x) v (x) \ , \ mathrm {d} x \\ & = \ vasen [x \ sin x \ right] _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} - \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} \ sin (x) \, \ mathrm {d} x \\ & = {\ frac {\ pi {\ sqrt {3}}} {6}} + \ vasen [\ cos x \ right ] _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} \\ & = {\ frac {\ pi {\ sqrt {3}}} {6}} - {\ frac {1} {2}} . \ end {tasattu}}}$
Tämä on perinteinen tapa löytää Integraalifunktio on luonnollisen logaritmin : ${\ displaystyle \ int _ {\ mathrm {e}} ^ {x} \ ln t \, \ mathrm {d} t = x \ ln xx}$ .
Integroitumista osien väärästä kiinteä vahvistetaan funktionaaliyhtälö on gamma-funktion .
Kaksoisintegraatio osien avulla (kaavan avulla saatu integraali lasketaan myös uudella osien integraatiolla) antaa esimerkiksi osoittaa, että ${\ displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ sin x \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} \ vasen (\ sin x- \ cos x \ oikea)} {2}} + C}$ ja samoin, ${\ displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ cos x \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} \ vasen (\ sin x + \ cos x \ oikea)} {2}} + C}$ ,missä todellinen $C$ on integraation vakio.

Yleistykset

Voimme laajentaa tätä lausetta jatkuvia toimintoja ja C-luokan 1 paloittain on integraatio segmentin (mutta jatkuvuus on välttämätön).
Induktiolla voimme yleistää tämän lauseen luokan C $n +1$ funktioihin :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u (x) v ^ {(n + 1)} (x) \, \ mathrm {d} x = \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} u ^ {(k)} v ^ {(nk)} \ oikea] _ {a} ^ {b} + (- 1) ^ {n + 1} \ int _ {a} ^ {b} u ^ {(n + 1)} (x) v (x) \, \ mathrm {d} x}

Jos sen $[ , b ]$ , $u$ on ehdottoman jatkuvaa ja $g$ on integroituva , niin

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} ug = [uv] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} u'v}

, mihin tahansa toimintoon

v

siten, että

{\ displaystyle \ forall x \ kohdassa [a, b] \ quad v (x) = v (a) + \ int _ {a} ^ {x} g}

. Todiste on olennaisesti sama kuin edellä, ja johdannaiset määritellään vain melkein kaikkialla ja käytetään

v: n

uv:

n absoluuttista jatkuvuutta .

Integraatiokaavat useiden muuttujien osien mukaan

Osittainen integraatio voidaan laajentaa useiden muuttujien funktioihin soveltamalla analyysin peruslauseen (esim . Stokesin lauseen , kuten gradienttilause tai divergenssilause ) asianmukaista versiota yleistävään operaatioon tuotteen johdon sääntö. .

Siksi on olemassa useita versioita osien integraatioista, jotka koskevat useita muuttujia sisältäviä funktioita, joihin voi liittyä funktioita, joilla on skalaariarvot, tai jopa funktioita, joissa on vektoriarvoja .

Joitakin näistä osaintegraatioista kutsutaan vihreiksi identiteeteiksi .

Esimerkki, johon liittyy eroavaisuuksia

Esimerkiksi, jos u: lla on skalaariarvot ja V on vektoriarvot ja molemmat ovat säännöllisiä , meillä on tuotteen divergenssisääntö

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {div} (u \, \ mathbf {V}) = u \, \ operaattorin nimi {div} \ mathbf {V} + \ operaattorin nimi {grad} u \ cdot \ mathbf {V}.}

Olkoon Ω avoin joukko ℝ d, joka on rajattu ja jonka reuna Γ = ∂Ω on paloittain sileä . Divergenssilauseen soveltaminen antaa:

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} u \, \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ Gamma = \ int _ {\ Omega} \ operaattorinimi {div} (u \ , \ mathbf {V}) \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Omega} u \, operaattorin nimi {div} \ mathbf {V} \, \ mathrm {d} \ Omega + \ int _ {\ Omega} \ operaattorin nimi {grad} u \ cdot \ mathbf {V} \, \ mathrm {d} \ Omega}

missä n on yksikön lähtevä normaali normal: lle. Joten meillä on

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} u \, \ operaattorin nimi {div} (\ mathbf {V}) \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Gamma} u \, \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ Gamma - \ int _ {\ Omega} \ operaattorinimi {grad} (u) \ cdot \ mathbf {V} \, \ mathrm {d} \ Omega}

Voimme antaa heikompia hypoteeseja: raja voi olla vain Lipschitzin funktio ja funktiot u ja V kuuluvat Sobolev-tiloihin H 1 (Ω) ja H 1 (Ω) d .

Greenin ensimmäinen identiteetti

Olkoon ( e 1 , ...., e d ) ℝ d: n kanoninen perusta . Soveltamalla kaavaa integraation osilla edellä u i ja v e i , jossa u ja v ovat säännöllisiä skalaarifunktioiden, saadaan uusi kaava integraation osilla

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} u \, {\ frac {\ osal v} {\ osittain x_ {i}}} \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Gamma} u \, v \, n_ {i} \, \ mathrm {d} \ Gamma - \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ osittain u} {\ osittain x_ {i}}} \, v \, \ matrm {d } \ Omega}

jossa n = ( n 1 , ...., n d ).

Harkitse nyt säännöllistä vektorikenttää

{\ displaystyle \ mathbf {U} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + u_ {n} \ mathbf {e} _ {n}}

Soveltamalla kaavaa integraation osilla edellä u i ja v e i ja yhteen on i , meillä on vielä saada uuden kaavan integraation osilla

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ mathbf {U} \ cdot \ operaattorin nimi {grad} v \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Gamma} v \, \ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ Gamma - \ int _ {\ Omega} v \, \ operaattorin nimi {div} \ mathbf {U} \, \ mathrm {d} \ Omega}

Kaava, joka vastaa tapausta, jossa U on peräisin säännöllisestä potentiaalista u :

{\ displaystyle \ mathbf {U} = \ operaattorin nimi {grad} u}

kutsutaan Greenin ensimmäiseksi henkilöllisyydeksi :

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ operaattorin nimi {grad} u \ cdot \ operaattorin nimi {grad} v \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ Gamma} v \, \ operaattorinimi {grad} u \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ Gamma - \ int _ {\ Omega} v \, \ Delta u \, \ mathrm {d} \ Omega}

Huomautuksia ja viitteitä

Katso esimerkit oppitunti "Integration osilla" on Wikiopisto .
(in) Stanisław Hartman (de) ja Jan Mikusiński , teoria Lebesguen mitta ja integrointi , Pergamon ,1961( lue verkossa ) , s. 103.

Katso myös

J.-C. Michel, " Integration by parts " , monia hyvin yksityiskohtaisia esimerkkejä osien integroinnista osoitteessa gecif.net