Vihreät identiteetit

In analyysi identiteetit Green on kolme identiteetit vektorin laskennan yhdistää olennainen määritelty määrä ja joka on määritelty reunalla tästä määrästä. Nämä suhteet johtuvat George Greenistä .

Greenin ensimmäinen identiteetti

Olkoon φ ja ψ skalaarifunktiot, jotka on määritelty alueella V ⊂ R d , rajoitettu normaalin n toimialueella , suunnattu toimialueen ulkopuolelle siten, että φ on ainakin kaksi kertaa erilainen ja ψ kerran. Ensimmäinen identiteetti saadaan vektorikenttään F = ψ  ∇ φ sovelletulla vuon divergenssilauseella identiteetillä ∇ ⋅ ( φ X ) = ∇ φ ⋅ X + φ ∇⋅ X  : ∂V{\ displaystyle \ osittainen V}

∫V(ψΔφ+∇ψ⋅∇φ)dV=∫∂Vψ∇φ⋅eidS{\ displaystyle \ int _ {V} \ left (\ psi \, \ Delta \ varphi + \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ varphi \ right) \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ osittainen V } \ psi \, \ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ mathrm {S}}

Greenin toinen identiteetti

Jos φ ja ψ ovat kahdesti jatkuvasti erotettavissa V ⊂ R 3: ssa ja ε kerran, niin ottamalla F = ψ ε  ∇ φ - φ ε  ∇ ψ saadaan:

∫V[ψ∇⋅(e∇φ)-φ∇⋅(e∇ψ)]dV=∫∂Ve(ψ∂φ∂ei-φ∂ψ∂ei)dS{\ displaystyle \ int _ {V} \ left [\ psi \, \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \, \ nabla \ varphi \ right) - \ varphi \, nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \, \ nabla \ psi \ oikea) \ oikea] \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ osittainen V} \ varepsilon \ vasen (\ psi {\ partisali \ varphi \ yli \ osittainen \ mathbf {n}} - \ varphi {\ osittainen \ psi \ yli \ osittainen \ mathbf {n}} \ oikea) \, \ mathrm {d} S}

Jos otamme ε = 1, niin:

∫V(ψΔφ-φΔψ)dV=∫∂V(ψ∇eiφ-φ∇eiψ)dS{\ displaystyle \ int _ {V} \ left (\ psi \, \ Delta \ varphi - \ varphi \, \ Delta \ psi \ right) \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ osittainen V} \ vasen (\ psi \ nabla _ {\ mathbf {n}} \ varphi - \ varphi \ nabla _ {\ mathbf {n}} \ psi \ right) \, \ mathrm {d} S}

Erityisesti tämä osoittaa, että Laplace on itsestään adjoint operaattori sisätilojen tuotteen L 2 tapauksessa toimintoja peruuttamalla ulos raja verkkotunnuksen.

Greenin kolmas identiteetti

Jos valitsemme φ = G, jossa vihreä funktio G on Laplacian ratkaisu, toisin sanoen:

ΔG(x,η)=5(x-η){\ displaystyle \ Delta G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = \ delta (\ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}})}

Esimerkiksi jos R 3: ssa ratkaisulla on muoto:

G(x,η)=-14π‖x-η‖{\ displaystyle G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = {\ frac {-1} {4 \ pi \ | \ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}} \ | }}}

Greenin kolmas identiteetti sanoo, että jos ψ on kahdesti jatkuvasti erotettavissa, niin:

∫VG(y,η)Δψ(y)dVy-ψ(η)=∫∂V[G(y,η)∂ψ∂ei(y)-ψ(y)∂G(y,η)∂ei]dS{\ displaystyle \ int _ {V} G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) \, \ Delta \ psi (\ mathbf {y}) \, \ mathrm {d} V _ {\ mathbf {y}} - \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ int _ {\ osa V} \ vasen [G (\ mathbf {y}, {\ lihavoitu symboli {\ eta}}) {\ osittainen \ psi \ over \ osittainen \ mathbf {n}} (\ mathbf {y}) - \ psi (\ mathbf {y}) {\ osittainen G (\ mathbf {y}, {\ lihavoitu symboli {\ eta}}) \ yli \ osittainen \ mathbf {n}} \ oikea] \, \ mathrm {d} S}

Jos lisäksi ψ on harmoninen funktio , niin meillä on Laplace-yhtälön ∇ 2 ψ = 0 ratkaisu :

ψ(η)=∫∂V[ψ(y)∂G(y,η)∂ei-G(y,η)∂ψ∂ei(y)]dS{\ displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ int _ {\ osittainen V} \ vasen [\ psi (\ mathbf {y}) {\ frac {\ osittainen G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}})}} {\ osittainen \ mathbf {n}}} - G (\ mathbf {y}, {\ lihavoitu symboli {\ eta}}) {\ frac {\ partisali \ psi} {\ osallinen \ mathbf {n}}} (\ mathbf {y}) \ oikea] \, \ mathrm {d} S}

Kun kyseessä on reunaehdon Dirichlet'n G peruutetaan pellon reunan ja:

ψ(η)=∫∂Vψ(y)∂G(y,η)∂eidS{\ displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ int _ {\ osittainen V} \ psi (\ mathbf {y}) {\ frac {\ osittainen G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}})}} {\ osittainen \ mathbf {n}}} \, \ mathrm {d} S}

Jos ψ on Helmholtz-yhtälön ratkaisu ja G vastaava Green-funktio, tämä lauseke johtaa Huygens-Fresnel-periaatteeseen .

Eri lajikkeet

Greenin kaksi ensimmäistä identiteettiä ulottuvat Riemannin lajikkeisiin  :

∫MuΔvdV+∫M⟨∇u,∇v⟩dV=∫∂MuEIvdV~∫M(uΔv-vΔu)dV=∫∂M(uEIv-vEIu)dV~{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ int _ {M} u \, \ Delta v \, \ mathrm {d} V + \ int _ {M} \ langle \ nabla u, \ nabla v \ rangle \, \ mathrm {d} V & = \ int _ {\ osittainen M} uNv \, \ mathrm {d} {\ widetilde {V}} \\\ int _ {M} \ vasen (u \, \ Delta vv \, \ Delta u \ oikea) \, \ mathrm {d} V & = \ int _ {\ osaa M} (uNv-vNu) \, \ mathrm {d} {\ widetilde {V}} \ loppu {tasattu}}}

missä u ja v ovat sileät reaaliarvot funktiot M: llä , dV on metriikkaan liittyvä tilavuus , on vastaava tilavuus M : n reunalla ja N on normaalivektorien kenttä . dV~{\ displaystyle d {\ widetilde {V}}}

Viitteet

• (fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista "  Green's identities  " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

1. (in) Walter Strauss, "Greenin identiteetit ja Greenin funktiot" in osittaisdifferentiaaliyhtälöiden: An Introduction , Wiley ,2007( lue verkossa )
2. (in) Tod Rowland, "  Greenin identiteetit  " on MathWorld
3. (in) Eric W. Weisstein, "  L ^ 2-Inner tuote  " on MathWorld
4. (in) "  Greenin Greenin Toiminnot ja identiteetit  " on tiede ja teknologia Hongkongin
5. (en) Jean-François Arbor, "  yhdentymistä osat ja Greenin kaava on Riemannin manifolds  " päälle Arbourj blogi

Katso myös

• Laplace-Beltrami-operaattori
• Malgrange-Ehrenpreis-lause
• Vastavuoroisuuslause (sähköstaattinen)
• Kirchhoffin olennainen lause

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">