Reaalilukujen rakentaminen

Vuonna matematiikka on eri rakenteet todellisia lukuja , kaksi joista tunnetuimpia ovat:

• Dedekindin leikkaukset , jotka rajaavat kautta set theory , todellisena kaikki järkevä ovat ehdottomasti huonompi sen;
• Cauchyn sekvenssejä , jotka määrittävät, kautta analyysi , todellinen seurauksena järkevä suppenevan sitä kohti.

Historiallinen

1860-luvulta lähtien tarve esittää reaalilukujen rakenne tuli yhä kiireellisemmäksi, jotta analyysi perustettaisiin tiukalle perustalle. Tähän päivään asti todellisuuden ja niiden ominaisuuksien olemassaolo myönsi esimerkiksi Cauchy vuonna 1821. Vuonna 1817 Bolzano totesi, että reaalien lisäämä ei-tyhjä osa myöntää ylärajan muistiossa, joka valitettavasti ei ole hyvin laajalle levinnyt ja jolla ei ollut juurikaan vaikutusta Weierstrassin työhön noin vuonna 1865. Ensimmäiset Cauchyn sviitteihin perustuvat rakennelmat johtuvat Méraylle vuonna 1869 ja Cantorille, jonka Heine esitteli ideat vuonna 1872 . Dedekind julkaisee reaaliensa rakentamisen leikkausten avulla vuonna 1872. Vuonna 1878 Dini julkaisee tutkielman, jossa esitetään tärkeimmät mielenosoitukset reaaliluvuista.

Intuitiivinen rakenne desimaaleista

Todellinen määrä on määrä, joka on jo desimaaliesitys , jossa on kokonaisluku, kukin on numero välillä 0 ja 9, ja sekvenssi ei lopu ääretön 9. määritelmä on sitten määrä, joka täyttää tämän kaksinkertaisen epätasa kaikille k  : x=ei+0,d1d2d3...{\ displaystyle x = n + 0 {,} d_ {1} d_ {2} d_ {3} \ dotso}ei{\ displaystyle n}di{\ displaystyle d_ {i}}x{\ displaystyle x}

ei+d110+d2100+⋯+dk10k≤x<ei+d110+d2100+⋯+dk10k+110k{\ displaystyle n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ dotsb + {\ dfrac {d_ {k}} {10 ^ {k }}} \ leq x <n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ dotsb + {\ dfrac {d_ {k}} { 10 ^ {k}}} + {\ dfrac {1} {10 ^ {k}}}}.

Tällä rakenteella on tässä muodossa olevan tiukkuuden puuttumisen lisäksi useita haittoja, joista tärkein on vaikeus antaa yksinkertaisia algoritmeja kertolaskuun ja jopa lisäykseen esimerkiksi . Terence Tao huomauttaa, että se voidaan tehdä luonnollista tulkitsemalla se (kuten rakentamista p -adic numerot ) kuin projektiiviselle raja sarjaa desimaalia kanssa n numeroa desimaalipisteen jälkeen, joka on varustettu sopivalla pyöristetty laskusääntöjä. 0,333...+0,666...{\ displaystyle 0 {,} 333 \ dotso +0 {,} 666 \ dotso}

Dedekindin rakentama leikkaus

Määritelmä kokonaisuutena

Tämän rakenteen kuvitteli Richard Dedekind, joka huomaa, että jokainen rationaalinen jakautuu kahteen ryhmään: rationaalijoukko kuten ja rationaaliryhmä , kuten . Sitten se kutsuu katkaisua . Sitten hän huomaa, että se voi myös jakautua kahteen ryhmään: rationaalijoukko kuten ja rationaalijoukko , kuten . Siksi hänelle tuli idea määritellä reaalien joukko leikkausten joukoksi . Nyt on edelleen määriteltävä leikkaus ilman reaaliluvun intuitiivista käsitystä. Dedekind tarjoaa seuraavan määritelmän: r{\ displaystyle r}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}ATr{\ displaystyle A_ {r}}klo{\ displaystyle a}klo<r{\ displaystyle a <r}Br{\ displaystyle B_ {r}}b{\ displaystyle b}b≥r{\ displaystyle b \ geq r}(ATr,Br){\ displaystyle (A_ {r}, B_ {r})}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}AT{\ displaystyle A}klo{\ displaystyle a}klo<2{\ displaystyle a <{\ sqrt {2}}}B{\ displaystyle B}b{\ displaystyle b}b>2{\ displaystyle b> {\ sqrt {2}}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Dedekindin leikkaus kehossa , että ääni on pari kahden epätyhjiä osajoukkoa ja B siten, että Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• AT∩B=∅{\ displaystyle A \ korkki B = \ tyhjennä} ;
• AT∪B=Q{\ displaystyle A \ kuppi B = \ mathbb {Q}} ;
• ∀klo∈AT,∀b∈B,klo<b{\ displaystyle \ forall a \ in A, \ forall b \ in B, a <b}.

Näemme siis, että mikä tahansa järkevä luku r määrittelee kaksi leikkausta:

• ( A , B ) siten, että A on rationaalilukujen joukko, joka on ehdottomasti pienempi kuin r, ja B on rationaalinen joukko suurempi tai yhtä suuri kuin r  ;
• ( A ' , B' ) siten, että A ' on rationaalilukujen joukko, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin r, ja B' rationaalinen joukko, joka on ehdottomasti suurempi kuin r .

Tämän epäselvyyden ratkaisemiseksi käytämme seuraavaa leikkauksen määritelmää:

LeikkausQ{\ displaystyle \ mathbb {Q}} on osa on sellainen, että Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• A on tyhjä ja erilainen kuin  ;Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
• Kaikkien of , kaikille , jos sitten kuuluu  ;klo{\ displaystyle a}klo′∈Q{\ displaystyle a '\ sisään \ mathbb {Q}}klo′<klo{\ displaystyle a '<a}klo′{\ displaystyle a '}
• A: lla ei ole suurempaa elementtiä.

Määritetään sitten näiden leikkausten joukoksi (yleistys, katso alla oleva osa "Surrealististen numeroiden käyttö" ). Voimme huomata, että tämän toisen määritelmän avulla voidaan varmistaa yksiselitteinen vastaavuus jokaisen rationaalisen r: n ja leikkauksen välillä, joka määritetään kaikkien perustelujen joukoksi a sellaiseksi, että . Sitten huomaamme, että se on jaettu kahteen sarjaan, joista toinen käsittää leikkaukset, joiden komplementaarinen hyväksyy pienemmän elementin, muodon leikkauksen, ja toinen käsittää leikat, joiden täydentävässä elementissä ei ole pienempää elementtiä. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}ATr{\ displaystyle A_ {r}}klo<r{\ displaystyle a <r}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}ATr{\ displaystyle A_ {r}}

Esimerkiksi irrationaalia edustaa leikkaus . 2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}{klo∈Q∣klo<0 tai klo2<2}{\ displaystyle \ {a \ sisään \ mathbb {Q} \ keskellä <0 {\ mbox {tai}} a ^ {2} <2 \}}

Yksi sukeltaa luonnollisesti huomioon , että injektio-sovellus, joka liittää leikkaus jokaisen järkevä r . Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}ATr{\ displaystyle A_ {r}}

Tilaus ja toiminta

Järjestyssuhde  : Sisältösuhteen mukana toimitettu leikkausjoukko on sitten täysin järjestetty joukko .

Lisäys  : Määritämme lisäyksen : R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

vs.∈AT+B⇔∃klo∈AT∃b∈Bvs.=klo+b{\ displaystyle c \ A + B: ssä \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \ n \ n "sivun vasemmalla puolella olevat nuolet ovat olemassa \ sisällä A \ quad \ olemassa b \ sisällä B \ quad c = a + b}.

Tämän lisäksi annetaan kommutatiivinen ryhmä rakenne . Ainoa vaikeus on määritellä A  : n vastakohta : (jos ) tai (jos ). R{\ displaystyle \ mathbb {R}}AT-r{\ displaystyle A _ {- r}}AT=ATr{\ displaystyle A = A_ {r}}-AT¯{\ displaystyle - {\ overline {A}}}AT≠ATr{\ displaystyle A \ neq A_ {r}}

Kertolasku  : Kertolasku määritetään ensin positiivisissa reaaleissa seuraavasti:

vs.∈AT×B⇔∃klo∈AT∩Q+∃b∈B∩Q+vs.≤klob{\ displaystyle c \ in A \ kertaa B \ Leftrightarrow \ olemassa a \ in A \ cap \ mathbb {Q} ^ {+} \ quad \ olemassa b \ in B \ cap \ mathbb {Q} ^ {+} \ quad c \ leq ab}.

Merkkien sääntö antaa sitten mahdollisuuden määritellä kertolasku kaikelle . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Ominaisuudet

Asetettu leikkauksia, jotka tässä järjestyksessä ja nämä kaksi lakeja on tällöin täysin järjestetty kentän , tarkistetaan lisäksi omaisuutta yläraja (mikä tahansa epätyhjä joukko ja on yläraja ).R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Rakentaminen Cauchy-sviittien kautta

Tätä rakennetta on vaikeampaa lähestyä, mutta toiminnan rakentaminen on luonnollisempaa. Tämä menetelmä on muodollisesti analoginen rakennusmenetelmän kanssa, joka sallii metrisestä avaruudesta E saada täydellisen metrisen tilan E ' siten, että E on tiheä E: ssä .

Kuinka ja miksi puhua Cauchyn jatkoista

Ei voi olla kysymys, uhalla kehäpäätelmä , määritellä etukäteen , on täysin järjestetty kentän K , eli matkan kanssa arvoja ℝ, koska emme ole vielä määritelty jälkimmäisen. Kaksi Cauchy-sekvenssin ja konvergentin sekvenssin käsitettä on siksi otettava (tässä, mutta erityisesti kappaleessa "Kahden rakenteen vastaavuus") ei Cauchy- sekvenssin ja metrisen tilan konvergentin sekvenssin tavanomaisessa merkityksessä , vaan tavanomaisessa merkityksessä. seuraavat suunta: sekvenssi ( n ) on K

• on Cauchysta, jos

∀e∈K+∗∃EI∈EI∀m,ei≥EI|kloei-klom|<e{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in K _ {+} ^ {*} \ quad \ on olemassa N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall m, n \ geq N \ quad | a_ {n} -a_ { m} | <\ varepsilon} ;

• konvergoituu elementiksi a (joka on merkitty :) joslimei→∞kloei=klo{\ displaystyle \ lim _ {n \ - \ infty} a_ {n} = a}

∀e∈K+∗∃EI∈EI∀ei≥EI,|kloei-klo|<e{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in K _ {+} ^ {*} \ quad \ on olemassa N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ geq N, \ quad | a_ {n} -a | < \ varepsilon}

missä kaikille x ∈ K : lle elementti | x | ∈ K tarkoittaa suurempaa kahdesta elementistä x ja - x .

Nämä kaksi määritelmää Cauchy- sekvenssien ja yhtenevät sekvenssit, - joka on Ront vastaa jälkikäteen tavallista määritelmät - ovat ne, jotka liittyvät vastaavasti yhtenäisen rakenteen on tilattu ryhmä ( K , +, ≤) ja topologia, jotta qu " hän indusoi. Täydellisyys on yhtenäinen tila merkitsee lähentyminen sen Cauchyn sekvenssejä. Päinvastoin, väärä yleensä, on totta, jos kenttä K on Arkhimean (ja ℝ tulee olemaan). Tämä antaa yksinkertaisen kriteerin osoittaa, että ℝ on täydellinen (yhtenäisenä tilana) jo ennen kuin se on toimittanut sille tavallisen metrisen avaruusrakenteensa. Lisäksi käytämme jatkuvasti sitä, että jos K on arkhimedealainen, näihin määritelmiin puuttuva ε voidaan aina ottaa taken + *: sta.

Määritelmä kokonaisuutena

Ajatus Cantor (ja muutaman vuoden ennen häntä Méray ) piilee siinä, että voidaan saavuttaa todellista määrää, jota Cauchyn jono . Rajoittava elementti , joka on tarpeen antaa merkitys on tällöin määritellä todellinen numero. Cauchyn sviittien joukko , jonka huomaamme , näyttää kuitenkin aivan liian suurelta. Itse asiassa esimerkiksi tietylle rationaalille on olemassa ääretön määrä Cauchy-sekvenssejä, jotka lähestyvät tätä rajaa. On välttämätöntä osamäärä Tästä jota ekvivalenssirelaatio sekvenssien välillä: kaksi Cauchy- sekvenssit rationaalilukuja sanotaan olevan yhtä jos niiden ero suppenee kohti 0 (lähentymistä sekvenssi, jolla on edellä määritelty merkitys, samoin, että omaisuutta olla Cauchy): Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}} R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

(uei)R(vei)⇔limei→∞(uei-vei)=0.{\ displaystyle (u_ {n}) {\ mathcal {R}} (v_ {n}) \ Vasen suora \ lim _ {n \ to \ infty} (u_ {n} -v_ {n}) = 0.}

Tämä suhde on todellakin vastaavuussuhde, koska se on: R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}

• heijastava, koska nollasekvenssi todellakin lähenee kohti 0: ta;
• symmetrinen, koska jos sekvenssi yhtyy 0: een, niin myös päinvastainen sekvenssi lähenee 0: een;
• transitiivinen absoluuttisen arvon kolmiomaisen epätasa-arvon vuoksi . Jos , ja se on kolme rationaalijärjestystä, meillä on itse asiassa:Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}(uei){\ displaystyle (u_ {n})}(vei){\ displaystyle (v_ {n})}(wei){\ displaystyle (w_ {n})}

∀ei∈EI, |uei-wei|≤|uei-vei|+|vei-wei|.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ | u_ {n} -w_ {n} | \ leq | u_ {n} -v_ {n} | + | v_ {n} -w_ {n} |.}

Sitten määritellään joukoksi ekvivalenssiluokkia Cauchyn sekvenssejä rationals (tätä ekvivalenssirelaatio päällä ). R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}

Toiminnot

Sarjassa sekvenssejä on luonnollisesti varustettu kommutatiivisella rengasrakenteella , jonka summaus ja kertolasku periytyvät ryhmän kenttärakenteesta . Jos ja ovat kaksi jaksoa, nämä toiminnot määritellään seuraavasti: Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}(uei){\ displaystyle (u_ {n})}(vei){\ displaystyle (v_ {n})}

∀ei∈EI(u+v)ei=uei+vei{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}} ; ∀ei∈EI(u⋅v)ei=uei⋅vei{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad (u \ cdot v) _ {n} = u_ {n} \ cdot v_ {n}}.

Nämä operaatiot pitävät Cauchy-kriteerin, toisin sanoen, että kahden Cauchy-sekvenssin summa ja tulo ovat edelleen Cauchy-sekvenssejä. Rationaaliarvoisten sekvenssien renkaassa osajoukko on siis alirengas. VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}

Tässä renkaassa 0: een yhtenevien sekvenssien osajoukko on ihanteellinen (ts. Kahden sekvenssin summa, jotka konvergoituvat 0: een, ja sekvenssin tuote, joka konvergoituu 0: een Cauchyn sekvenssin avulla, yhtyy 0: ksi). Vastaavuuden suhteessa siis näkyy, että liittyvät tähän ihanteellinen, jonka avulla on mahdollista saada aikaan osamäärä renkaan rakenne (vielä kommutatiivinen ja yhtenäinen). VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Sukellamme sisään kiinteiden sviittien kautta. Merkitään luokka, joka sisältää vakiosekvenssin yhtä suuri kuin . Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(klo){\ displaystyle (a)}klo∈Q{\ displaystyle a \ sisään \ mathbb {Q}}

Osuusrengas on runko.R=VS/R{\ displaystyle \ mathbb {R} = {\ mathcal {C}} / {\ mathcal {R}}}

Esittely

Kyse on siitä, että mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku myöntää käänteisen. Antaa olla elementti, joka poikkeaa (0): sta ja tämän luokan sekvenssi . Sanomalla, että luokka eroaa luokasta (0), tarkoitetaan, että sekvenssi ei lähene 0: ksi, mikä on kirjoitettu: klo{\ displaystyle a}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(kloei){\ displaystyle (a_ {n}) \;}klo{\ displaystyle a}klo{\ displaystyle a}(kloei){\ displaystyle (a_ {n}) \;}

(1)∃e∈Q+∗ ∀EI∈EI ∃ei≥EI, |kloei|≥e,{\ displaystyle (1) \ qquad \ olemassa \ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*} \ \ kaikki N \ sisällä \ mathbb {N} \ \ olemassa n \ geq N, \ | a_ { n} | \ geq \ varepsilon,}

tai uudestaan: tietylle sekvenssille on ääretön määrä termejä, joiden absoluuttinen arvo on suurempi kuin . Koska tämä sekvenssi on peräisin Cauchysta, tietystä luokasta N , kahden termin eron absoluuttinen arvo on pienempi kuin . Johdamme (1): lla: e∈Q+∗{\ displaystyle \ varepsilon \ sisään \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*}}e{\ displaystyle \ varepsilon}e/2{\ displaystyle \ varepsilon / 2}

(2)∀ei≥EI, |kloei|≥e/2.{\ displaystyle (2) \ qquad \ kaikki n \ geq N, \ | a_ {n} | \ geq \ varepsilon / 2.}

Määritä sekvenssi jos ja (esimerkiksi) jos ei. Tämä perustelujärjestys on peräisin Cauchylta, koska kohdan (2) mukaan (bei){\ displaystyle (b_ {n})}bei=1kloei{\ displaystyle b_ {n} = {\ dfrac {1} {a_ {n}}}}ei≥EI{\ displaystyle n \ geq N}bei=0{\ displaystyle b_ {n} = 0}

∀m,ei≥EI, |bei-bm|=|klom-kloei||klomkloei|≤4e2|klom-kloei|.{\ displaystyle \ kaikki m, n \ geq N, \ | b_ {n} -b_ {m} | = {\ frac {| a_ {m} -a_ {n} |} {| a_ {m} a_ {n } |}} \ leq {\ frac {4} {\ varepsilon ^ {2}}} | a_ {m} -a_ {n} |.}

Voimme näin ollen luokassaan vuonna , ja olemme b{\ displaystyle b}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

klob=(kloeibei)=(1).{\ displaystyle ab = (a_ {n} b_ {n}) = (1).}

Tilaus

Määrittelemme kuin osajoukko luokkien sisältää ainakin yhden Cauchy- sekvenssin arvoja (joukko positiivinen tai nolla rationals), sitten määritellä suhde koko järjestys on mukaan asetus R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}Q+{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {+}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

x≤y⇔y-x∈R+.{\ displaystyle x \ leq y \ Vasen palkki yx \ sisään \ mathbb {R} _ {+}.}

Se, että tämä suhde on refleksiivinen ja transitiivinen, on välitöntä. Se, että se on myös antisymmetrinen (määrittelee siksi järjestyksen hyvin), johtuu siitä, että . Se, että tämä tilaus on täydellinen, tulee . R+∩-R+={(0)}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}}R+∪-R+=R{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}}

Kehon näin on esitetty , jossa on täysin järjestetty kehon rakenne . Itse asiassa tämä järjestys on yhteensopiva lisäyksen kanssa (rakentamisen perusteella), mutta myös kertolaskun kanssa (koska se on selvästi vakaa tuotteittain). Huomaa, että tämä järjestyssuhde osuu samaan aikaan (upotettu, kuten jo mainittiin) tavallisen järjestyssuhteen kanssa. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Todistamme edelleen, että se on Archimedean . Siksi voimme päätellä: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

(R,≤){\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ leq)} on täysin järjestetty arkhimedean ruumis.

Esittelyt

• ≤{\ displaystyle \ leq} on antisymmetrinen:

Tämä todistaa sen . Olkoon sellainen , osoitakaamme se . On olemassa kaksi Cauchy-sekvenssiä , jotka ovat positiivisia tai nullperusteisia, mikä edustaa vastaavasti ja . Sitten käännetään muotoon: konvergoituu arvoon 0 sisään , mikä (siitä lähtien ) johtaa siihen, että myös konvergoituu arvoon 0, joten . R+∩-R+={(0)}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}}klo,b∈R+{\ displaystyle a, b \ sisään \ mathbb {R} _ {+}}klo=-b{\ displaystyle a = -b}klo=(0){\ displaystyle a = (0)}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}(bei){\ displaystyle (b_ {n})}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}klo+b=(0){\ displaystyle a + b = (0)}(kloei+bei){\ displaystyle (a_ {n} + b_ {n})}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}0≤kloei≤kloei+bei{\ displaystyle 0 \ leq a_ {n} \ leq a_ {n} + b_ {n}}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}klo=(0){\ displaystyle a = (0)}

• Tilaus on yhteensä:≤{\ displaystyle \ leq}

Tämä todistaa sen . Olkoon ja olkoon Cauchyn rationaalijärjestys, joka edustaa tätä luokkaa. Jos tämä sekvenssi myöntää ääretön positiivinen tai nolla kannalta, koska vastaava alasekvenssi edustaa samaan luokkaan ,. Sama asia korvaamalla "positiivinen" sanoilla "negatiivinen" ja " . Nämä kaksi tapausta (ei yksinomainen) kattavat kuitenkin kaikki mahdollisuudet. R+∪-R+=R{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}}klo∈R{\ displaystyle a \ sisään \ mathbb {R}}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}klo∈R+{\ displaystyle a \ sisään \ mathbb {R} ^ {+}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}-R+{\ displaystyle - \ mathbb {R} _ {+}}

• R{\ displaystyle \ mathbb {R}} on arkhimedealainen:

On osoitettava, että kaikilla reaaleilla ja on olemassa sellainen kokonaisluku , että . Kysy vain . Todellinen osuus edustavasta rationaalisesta Cauchy-sekvenssistä on siis kasvanut. Otamme tämän sekvenssin koko ylärajan . Koko , meillä on silloin siis siksi siis . klo>0{\ displaystyle a> 0 \,}b≥0{\ displaystyle b \ geq 0}EI{\ displaystyle N \,}EIklo≥b{\ displaystyle Na \ geq b}x=bklo{\ displaystyle x = {\ dfrac {b} {a}}}x{\ displaystyle x}(xei){\ displaystyle (x_ {n})}EI{\ displaystyle N}ei{\ displaystyle n}EI-xei∈Q+{\ displaystyle N-x_ {n} \ in \ mathbb {Q} _ {+}}(EI)-x∈R+{\ displaystyle (N) -x \ sisään \ mathbb {R} _ {+}}EI≥x{\ displaystyle N \ geq x}EIklo≥b{\ displaystyle Na \ geq b}

Täydellisyys

Käytössä , tilaus juuri määritellyt antaa merkityksen käsitteet Cauchyn jono ja yhtenevät järjestyksessä. Osoitamme, että jokainen todellinen on rajoitettu sarjaan perusteluja. Tarkemmin: jos Cauchy- sekvenssin rationals merkitsee todellista sitten sekvenssin reals suppenee ja . Täten kaikki Cauchy-järjen sekvenssit yhtyvät . Osoitamme, että tämä pätee myös kaikkiin Cauchy-reaalisekvensseihin: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}klo{\ displaystyle a}((kloei)){\ displaystyle ((a_ {n}))}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}klo{\ displaystyle a}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}on tiheä ja täydellinen.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Esittely

• Jokainen Cauchyn rationaalisarja yhtyy luokkaansa kohti:R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Käytämme isoja kirjaimia reaalien ja pieniä kirjaimia järkevien merkitsemiseksi. Antaa olla Cauchyn rationaalilukujen sekvenssi, sen luokka ja (minkä tahansa kokonaisluvun n osalta ) vakiosekvenssin edustama reaali . Pyrimme kiinteän rationaalisuuden vuoksi todistamaan kokonaisluvun N olemassaolon siten, että (kloei){\ displaystyle (a_ {n})}AT{\ displaystyle A}ATei{\ displaystyle A_ {n}}kloei{\ displaystyle a_ {n}}e>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}

∀ei≥EI, e-|ATei-AT|∈R+.{\ displaystyle \ kaikki n \ geq N, \ \ varepsilon - | A_ {n} -A | \ sisään \ mathbb {R} _ {+}.}

Tätä varten riittää, että sovelletaan Cauchy-kriteeriä sekvenssiin huomattaen , että jos siis kaikkien kannalta järkevä sekvenssi on positiivinen tai nolla sijasta N, siis sen edustama luokka on . (kloei){\ displaystyle (a_ {n})}∀m,ei≥EI, |kloei-klom|≤e{\ displaystyle \ kaikki m, n \ geq N, \ | a_ {n} -a_ {m} | \ leq \ varepsilon}ei≥EI{\ displaystyle n \ geq N}(e-|kloei-klom|)m{\ displaystyle (\ varepsilon - | a_ {n} -a_ {m} |) _ {m}}e-|ATei-AT|{\ displaystyle \ varepsilon - | A_ {n} -A |}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}

• Sisään jokainen Cauchy-sekvenssi yhtyy:R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Antaa olla Cauchyn reaalilukujen sekvenssi, on kyse sen osoittamisesta, että tämä sekvenssi yhtyy . Näimme aiemmin, että kaikki todellinen on rationaalisuusraja. Siksi voimme valita mille tahansa kokonaisluvulle n > 0 rationaalisen , joka . Sekvenssi yhtyy sitten arvoon 0. Sekvenssi on siis samanlainen kuin Cauchy. Siksi voimme pitää sen luokkaa: merkitään U: lla tätä todellista. Koska konvergoituu U: ksi ja että konvergoituu 0: ksi, sekvenssi konvergoituu U: ksi . (Uei){\ displaystyle (U_ {n})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}kloei{\ displaystyle a_ {n}}|Uei-kloei|≤1/ei{\ displaystyle | U_ {n} -a_ {n} | \ leq 1 / n}(Uei-kloei){\ displaystyle (U_ {n} -a_ {n})}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}(Uei){\ displaystyle (U_ {n})}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}(Uei-kloei){\ displaystyle (U_ {n} -a_ {n})}(Uei){\ displaystyle (U_ {n})}

Kahden rakenteen vastaavuus

Dedekindin leikkauksilla tehty rakenne tarjoaa täysin järjestetyn kentän, joka tarkistaa ylärajan ominaisuuden: jokaisella ylärajalla olevalla ei-tyhjällä alijoukolla on yläraja. Cauchy-sviitti tarjoaa täydellisen Archimedean täysin järjestetyn ruumiin. Nämä kaksi ominaisuutta ovat itse asiassa vastaavia. Lisäksi mikä tahansa niitä tyydyttävä kenttä on isomorfinen kentälle ℝ, joka on rakennettu Cauchy-sekvenssien menetelmällä. Siksi voimme sanoa seuraavan lauseen puhumalla "ruumiista" erittelemättä "mikä" se on. Tämän lauseen seurauksena on, että kaikki karakterisoinnit 1), 2), 3) tarkoittavat, että kenttä on kommutatiivinen ja että alikenttä on tiheä (koska näin on Cauchy-sekvenssien rakentaman kentän ℝ kanssa). Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Olkoon K täysin järjestetty kenttä. Seuraavat ominaisuudet vastaavat:

1. K tarkistaa ylärajan ominaisuuden;
2. K täyttää sekvenssien monotonisen rajalausekkeen  ;
3. K on archimedealainen ja täydellinen;
4. K on Archimedean ja täyttää vierekkäisten sekvenssien lause  ;
5. K on isomorfinen to: lle.

Esittely

• (3)⇒(4){\ displaystyle (3) \ Rightarrow (4)} koska kaksi vierekkäistä sviittiä on kotoisin Cauchysta.
• (4)⇒(1){\ displaystyle (4) \ Rightarrow (1)}

Tai E joukko sisältää elementin ja rajoittuu M .x{\ displaystyle x} Jos on ylärajan E sitten on yläraja ja E .x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x} Muussa tapauksessa etenemme kaksisuuntaisesti sen osoittamiseksi, että E: llä on yläraja (pienin ylärajasta). Luomme kaksi sekvenssiä ja määritellään induktiolla seuraavasti: (kloei){\ displaystyle (a_ {n}) \,}(bei){\ displaystyle (b_ {n}) \,} klo0=x{\ displaystyle a_ {0} = x \,} ja b0=M{\ displaystyle b_ {0} = M \,} kaikille , ei{\ displaystyle n \,}jos on yläraja jakloei+bei2{\ displaystyle a_ {n} + b_ {n} \ yli 2}kloei+1=kloei{\ displaystyle a_ {n + 1} = a_ {n} \,}bei+1=kloei+bei2{\ displaystyle b_ {n + 1} = {a_ {n} + b_ {n} \ yli 2}} jos se ei ole yläraja, jakloei+bei2{\ displaystyle a_ {n} + b_ {n} \ yli 2}kloei+1=kloei+bei2{\ displaystyle a_ {n + 1} = {a_ {n} + b_ {n} \ yli 2}}bei+1=bei{\ displaystyle b_ {n + 1} = b_ {n} \,} Rakennusperiaate varmistaa, että: sekvenssi ( ) on kasvava sekvenssi, jonka mikään termi ei ole E: n yläraja  ;kloei{\ displaystyle a_ {n}} sekvenssi ( ) on laskeva sekvenssi, jonka kaikki termit ovat E: n ylärajaa  ;bei{\ displaystyle b_ {n}} millä tahansa kokonaisluvulla n , joten sekvenssi ( ) yhtyy arvoon 0 (tässä käytämme, että K on Archimedean).|bei-kloei|=2-ei(M-x){\ displaystyle | b_ {n} -a_ {n} | = 2 ^ {- n} (Mx) \,}bei-kloei{\ displaystyle b_ {n} -a_ {n}} Sviitit ovat siksi vierekkäisiä. Kohdan (4) mukaan ne lähestyvät yhteistä rajaa .ℓ{\ displaystyle \ ell} Vielä on osoitettava, että yläraja on todellakin.ℓ{\ displaystyle \ ell} Mitään todellista ja E , sillä on yläraja. Joten johtamalla raja, todellista kaikille vuonna , . on siten E: n yläraja .y{\ displaystyle y \,}y≤bei{\ displaystyle y \ leq b_ {n}}bei{\ displaystyle b_ {n} \,}y{\ displaystyle y \,}E{\ displaystyle E \,}y≤ℓ{\ displaystyle y \ leq \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell} Kenelle tahansa E: n todelliselle M ' -päällikkölle , koska se ei ole koskaan yläraja. Johtamalla raja, mistä tahansa yläraja M ja E , . on pienin yläraja.kloei<M′{\ displaystyle a_ {n} <M '\,}kloei{\ displaystyle a_ {n} \,}ℓ≤M′{\ displaystyle \ ell \ leq M '}ℓ{\ displaystyle \ ell}

• (1)⇒(2){\ displaystyle (1) \ Rightarrow (2)} : katso monotoninen rajalauseke .
• (2)⇒(3){\ displaystyle (2) \ Rightarrow (3)}

(2)⇒{\ displaystyle (2) \ Rightarrow} K on archimedealainen (toisin sanoen: sekvenssi (1 / n ) lähentyy), koska se pienenee ja aliarvioi. (2)⇒{\ displaystyle (2) \ Rightarrow}on K , joka Cauchyn jono suppenee: Kumpikin on Cauchy-sekvenssi K: ssä . Voimme poimia osa- monotoninen sekvenssin ( katso ominaisuudet sub-sviittiä ), joka rajoittuu (kuten oli Itä), niin että suppenee K . Koska a on Cauchy, se lähentyy (kohti samaa rajaa).

• (3)⇔(5){\ displaystyle (3) \ vasen nuoli (5)} :

Valitsemme tässä rungoksi ℝ sen, jonka Cauchy-sekvenssit rakentavat. Rakentamalla . Oletetaan päinvastoin, että K on täydellinen arkhimedealainen, ja määritä kartta seuraavasti: jos on Cauchy-järjesarja, sitten K : ssä (tämä raja on olemassa eikä riipu edustajan valinnasta ). Rakenteellisesti on yhteensopiva toiminnan kanssa ja tiukasti kasvava. Lopuksi on surjective, kiitos siitä, että K on Arkhimedeen: kaikille ja kaikille , on olemassa järkevä välillä ja  :, missä on pienin ylempi kokonaisluku . Tällainen jatko on Cauchylta, ja sen luokka on parin ennakkotapaus .(5)⇒(3){\ displaystyle (5) \ Rightarrow (3)}f:R→K{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ - K}klo∈R{\ displaystyle a \ sisään \ mathbb {R}}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}f(klo)=lim(kloei){\ displaystyle f (a) = \ lim (a_ {n})}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}b∈K+{\ displaystyle b \ paikassa K _ {+}}ei>0{\ displaystyle n> 0}kloei{\ displaystyle a_ {n}}b{\ displaystyle b}b+1/ei{\ displaystyle b + 1 / n}kloei=s/ei{\ displaystyle a_ {n} = p / n}s{\ displaystyle p}eib{\ displaystyle nb}(kloei){\ displaystyle (a_ {n})}klo∈R{\ displaystyle a \ sisään \ mathbb {R}}b{\ displaystyle b}f{\ displaystyle f}

Merkintä. Nämä vastaavuudet osoittavat erityisesti, että jokainen kappale L on täysin järjestetty ja Archimedes on isomorfinen R: n järjestämän ruumiin osa-alueelle. Todellakin, L: n loppuun saattaminen(samalla prosessilla rakennettu Cauchy sekvensoi Q: n täydellisen R : n) muodostaa (samoilla argumenteilla) kehon K, joka sisältää L: n , ja siten täydellinen Arkhimedean isomorfinen R: lle .

Muut rakenteet

Muita tiukkoja rakenteita on ehdotettu, mutta yleensä ne kiinnostavat vain uteliaisuutta, koska ne soveltavat vähemmän yleistyksiä tai vaativat itse asiassa perusteellista ennakkotietoa, jotta ne voidaan perustella.

Hyperrealististen numeroiden käyttö

Toisin nimensä voisi päätellä, ei noidankehä: se on todellakin mahdollista määritellä suoraan hyperrationals * Q (by ultratulo , so osamäärä Q N jota ei-triviaali Ultrafilter on N ); alkioiden rengas B "valmis" arvoon * Q (elementtijoukko, jota korotetaan standardiluvulla) on suurin ihanteellinen I kaikki äärettömän pieni, ja osamäärä B / I on isomorfinen R: n kanssa . Melko keinotekoisen luonteensa lisäksi tämä rakenne vaatii valinnan aksiomaa , joka saattaa tuntua tarpeettomasti rajoittavalta.

Käyttämällä surrealistisia lukuja

Dedekindin leikkausten rakentaminen näyttää vaikealta yleistää, ja lait (erityisesti kertolasku) vaikuttavat hieman keinotekoiselta. Kuitenkin vuonna 1974 John Horton Conway pystyi osoittamaan, että samanlainen rakenne voisi ulottua uusien numeroiden luokkaan, jota kutsutaan surrealistisiksi numeroiksi , yleistämällä sekä reaaliset että ordinaalit ja joiden operaatioiden määritelmä voi tehdä sen täysin luonnollisella tavalla tapa.

Tiedämme, että surrealististen numeroiden On-kenttä ( Body kirjoitettu isolla kirjaimella, koska se on oikea luokka ) sisältää kaikki järjestetyt kentät (paitsi isomorfismi); Voimme siis määritellä R suurimpana Arkhimedeen alikunta of Käytössä . Conway antaa monimutkaisemman sisäisen rakenteen ja huomauttaa myös, että päivänä ω luodut luvut sisältävät R: n , ± ω: n ja muodon numerot , ja että tämän vuoksi riittää, että löydetään R jälkimmäisen poistamiseksi; tämä viimeinen rakenne, vaikka se onkin tiukka, näyttää erittäin keinotekoiselta, jonka kirjoittaja itse tunnustaa. s/2ei ± 1/ω{\ displaystyle p / 2 ^ {n} \ \ pm \ 1 / \ omega}

Kvasimorfismien avulla

Seuraava rakenne vaikuttaa vähän tunnetulta; julkaistiin vuonna 1975, siinä käytetään vain suhteellisten kokonaislukujen Z additiiviryhmää ja se perustuu näennäismorfismin käsitteeseen. IsarMathLib-projekti on vahvistanut tämän rakenteen tiukasti (ja automaattisesti ). Yksi sen eduista on, että se ei käytä valittua aksiomia .

Sanomme, että sovellus on lähes morfismi, jos joukko on rajallinen tai jos funktio on rajattu. Funktio g mittaa vian, että f on ryhmämorfismi. Kvasi-morfismien joukko on stabiili lisäämisen ja koostumuksen perusteella. Kahden kvasi-morfismin sanotaan olevan lähes yhtä suuri, jos joukko on äärellinen. Tämä suhde on ekvivalenssisuhde kvasimorfismien joukkoon, joka on yhteensopiva lisäyksen ja koostumuksen kanssa; osamääräjoukko, johon sisältyy summaus ja vastaava kertolasku, on R: lle isomorfinen kenttä  ; järjestyksen määrittelemiseksi sanomme, että (missä edustaa ekvivalenssiluokkaa ) si on rajattu tai vie äärettömän positiivisia arvoja N: n yli , ja voimme osoittaa, että kenttä on sitten täysin järjestetty, mikä osoittaa l'-isomorfismin. Itse asiassa on mahdollista tehdä siitä selvä: jos myönnämme a priori R: n olemassaolon (muodostettu jollakin edellisistä menetelmistä), niin minkä tahansa kvasi-morfismin tapauksessa sekvenssi yhtyy R: ssä kohti rajaa ja funktio on rajattu on Z . Toisesta väittää, tästä seuraa, että raja- c ( f ) riippuu vain vastaavuudesta luokan [ f ] on f  ; kun taas merkitään se c ([ f ]), c on haettu isomorfismi. f:Z→Z{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}{f(ei+m)-f(m)-f(ei)∣ei,m∈Z}{\ displaystyle \ {f (n + m) -f (m) -f (n) \ n keskellä, m \ sisään \ mathbb {Z} \}}g(ei,m)=f(ei+m)-f(ei)-f(m){\ displaystyle g (n, m) = f (n + m) -f (n) -f (m)}{f(ei)-g(ei)∣ei∈Z}{\ displaystyle \ {f (n) -g (n) \ n keskellä \ sisään \ mathbb {Z} \}}[f]≤[g]{\ displaystyle [f] \ leq [g]}[f]{\ displaystyle [f]}f{\ displaystyle f}g-f{\ displaystyle gf}f:Z→Z{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}f(ei)/ei{\ displaystyle f (n) / n}vs.(f){\ displaystyle c (f)}ei↦f(ei)-vs.(f)ei{\ displaystyle n \ mapsto f (n) -c (f) n}

Huomautuksia ja viitteitä

1. (De) Georg Cantor, "  Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen  " , Math. Ann. , voi.  5,1872, s.  123-132 ( lue verkossa ).
2. Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan ja analyysin perusteet , University of Paris-Sud , Mathematical Publications of Orsay,1982( lue verkossa ) , s.  13.
3. Roger Godement esitteli täydellisemmän version, mutta silti riittämättömästi muotoiltu , eikä selittänyt laskutusalgoritmeja , artikkelissa Calcul infinitesimal, jonka hän kirjoitti Encyclopædia Universalikselle  ; täysin tiukka rakenne on (in) Barbara Burke Hubbard ja John H. Hubbard , Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, Unified Approach , c. 0, osio 0.4.
4. (in) Terence Tao, kompakti ja ristiriitainen , American Mathematical Society, 2013 ( lue verkossa ), c. 1, s. 14.
5. (en) John H. Conway, On Numbers and Games , s.  25 ja seuraavat.
6. Todellinen on osa x on rajoittuu On (on olemassa n kokonaisluku siten, että - n <x <n ) siten, ettäx={x-(1/ei)ei∈EI|x+(1/ei)ei∈EI}.{\ displaystyle x = \ {x- (1 / n) _ {n \ sisään \ mathbb {N}} | x + (1 / n) _ {n \ sisään \ mathbb {N}} \}.}
7. Löydämme useita versioita, esimerkiksi kohdista [1] , [2] ja [3] (en) , sekä tarkan kuvauksen julkaisuista Xavier Caruso, "  Vähän tunnettu inkarnaatio todellisten numeroiden ruumiista  " ,syyskuu 2008.
8. Caruso 2008 .
9. (sisään) Reuben Hersh  (sisään) , Mikä on matematiikka, todella? , New York, Oxford University Press ,1997( lue verkossa ) , s. 274 .
10. Yleisessä tapauksessa, lähes morfismi ryhmästä G on R on kartta sellainen, että joukko f (xy) -f (x) -f (y) on rajoitettu; katso [4] (en) .
11. Ymmärrämme paremmin, miksi huomaamalla, että jos se on todellinen, kartta (koko osa ) on melamorfismi, jonka luokka tunnistetaan .klo{\ displaystyle a}ei↦E(eiklo){\ displaystyle n \ mapsto E (na)}eiklo{\ displaystyle na}klo{\ displaystyle a}

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Axioms Tarski for real  (sisään)
• Rationaalilukujen rakentaminen

Ulkoiset linkit

• Rakentaminen R leikkaukset [PDF] Jean Gounon, opettaja Camille-nähdä lukion
• Rakenne R lähtien Cauchyn sviitit [PDF] Jean Gounon

Bibliografia

• (en) Holger Teismann, "  Kohti täydellisempää luetteloa täydellisyysaksioista  " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol.  120, n o  22013, s.  99--114 ( DOI  10.4169 / amer.math.kuukausittain 120.02.099 )
• (en) James Propp  (en) , "  Real Analysis in Reverse  " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol.  120, n °  5,2013, s.  392-408 ( arXiv  1204.4483 )
• (en) Arnold Knopfmacher ja John Knopfmacher, "  Kaksi konkreettista uutta rakennetta todellisista luvuista  " , Rocky Mountain J. Math. , voi.  18, n °  4,1988, s.  813-824 ( lue verkossa )- Engelin ja Sylvesterin sarjat .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">