Alirengas

Matematiikan, joka on alirengas on rengas (Unit) on osa vakaan toiminnan ja jolla on rengasrakenne, jolla on sama neutraali multiplicative että .

Määritelmä

Osa B on rengas ( A, +, *). kutsutaan A : n alirenkaaksi , kun:

B on alaryhmä on lisättäväksi;
B on stabiili lisääntymiselle;
Neutraali kerrottavat kuuluu B .

Koskevia rajoituksia: n toiminnan , niin B on itse rengas, jolla on sama multiplikatiivinen neutraali.

Esimerkkejä

Rengas Z on suhteellinen kokonaislukuja on osa-rengas renkaan R todellinen määrä;
Polynomit ilman ensimmäisen asteen monomi muotoa a alirengas polynomin renkaan R [ X ];
Jatkuva toiminto R - R muodostaa kaikkien R - R: n toimintojen renkaan aliyhteyden .
Ja n on luonnollinen kokonaisluku, joukon $T + n ( C )$ on suurempi kolmion matriisien järjestys n kanssa kompleksikertoimilla on osa-rengas renkaan $M n ( C )$ neliön matriisien järjestys n monimutkaisia kertoimia.

Toisaalta :

Renkaassa Z suhteellisen kokonaislukuja, joukko 2 Z on parillinen määrä ei ole alirengas, vaikka se täyttää kaksi ensimmäistä olosuhteet määritelmää, koska sillä ei ole multiplikatiivinen neutraali.
Samalla tavalla, mutta hienovaraisemmin, todellisten kertoimien neliömäisten matriisien renkaassa $M 2 ( R )$ , muodon matriisien osajoukko S:

{\ begin {bmatrix} x & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} (x \ R: ssä)

on rengas, jonka kertolasku on neutraali matriisi , mutta ei sisällä matriisirenkaan neutraalia elementtiä (toisin sanoen ). Näin ollen, vaikka S on samanaikaisesti renkaan ja osajoukko $M$ $2$ $($ $R$ $)$ , se ei ole osa-rengas $M$ $2$ $($ $R$ $)$ . ${\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}$ ${\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}$

Perusominaisuudet

Renkaan A alihankinta on renkaan ala- A .

Leikkauspiste on kaksi ala-renkaat samalla renkaalla (tai perheen, jopa äärettömään) on osa-rengas.

Suora kuva on alirengas renkaalla morfismi on alirengas saapumista renkaan.

Vastavuoroisesti kuva on alirengas renkaalla morfismi on alirengas lähtöaineiden renkaan.

Sarjan tuottama alirengas

Annetaan osa X renkaan , risteyksessä kaikkia osa-renkaat , jotka sisältävät X on edelleen osa-rengas. On siis pienempi alirengas sisältää X , kutsutaan alirengas syntyy mukaan X .

Jos B on kommutatiivisen renkaan A alirengas ja sillä on A- elementti, B ∪ { a }: n luomaa alirengasta merkitään B [ a ]: lla. Se on kuva , että arvioinnin morfismi : B [ X ] → , P ( X ) ↦ P ( ). Siksi se on isomorfinen tämän morfismin ytimen polynomien renkaan B [ X ] osamäärän suhteen .

A -osan alirenkaiden joukossa , joka on järjestetty inkluusiolla, kahden alirenkaan leikkauspiste B 1 ∩ B 2 on joukon {B 1 , B 2 } alaraja , kun taas B 1: n tuottama alirengas ∪ B 2 on yläraja . Järjestetty alirenkaiden sarja muodostaa siis ristikon .

Erityiset alirenkaat

Sormuksen pää- ja tunnusomainen alirengas

Mikä tahansa A: n alirengas sisältää multiplikatiivisen neutraalin 1. Koska se on A: n taustalla olevan lisäaineryhmän alaryhmä , se sisältää elementin tuottaman monogeenisen alaryhmän , ts. 0: sta koostuvan alaryhmän muodon elementit:

\ underbrace {1 + 1 + \ cdots +1} _ {{n \; ehdot}}

(merkitään n: llä varoen sekoittamasta sitä samalla tavalla merkittyyn kokonaislukuun)

ja niiden vastakohtia.

Tämä alaryhmä on monogeeninen aliryhmä, koska se tarkistetaan välittömästi tai, jos se on suositeltavaa, koska se on yksittäisen morfismin renkaiden Z- A suora kuva Z : stä A: ksi .

Joten esittelimme renkaan sisällöltään kaikissa muissa, pienempiin osa-rengas . Sitä kutsutaan alirengas ensimmäinen ja .

Ominaisuuden , mahdollisesti vuorattujen alkutulosten määritelmän mukaan ryhmän järjestyksessä, ensimmäisen alirenkaan A kardinaalisuus on yhtä suuri kuin A: n ominaisuus .

Kommutantti ja keskusta

Kaikki on , tarkoittavat mukaan Z ( ) joukon elementtejä joka matkustaa kanssa . Se on todennut, että tämä on alirengas on , kutsutaan kytkentää of vuonna .

Kaikkien Z ( a ): n eli joukon leikkauspiste :

\ {x \ in A \, \ mid \, \ kaikki a \ in A, ax = xa \}

on puolestaan alirengas (alirenkaiden leikkauskohtana). Sitä kutsutaan keskus on .

Vuorovaikutus osarenkaiden kanssa

Osuusrenkaan alirenkaat

Olkoon olla rengas ja I kaksipuolinen ihanne of ; Merkitään n IA kanoninen projektio on on A / I . Osuusrenkaassa A / I olevat renkaat kuvataan yksinkertaisesti: ne ovat I: tä sisältävien alirenkaiden A mukaisia . Tarkasti:

Sovellus on bijection kaikkien I: tä sisältävien alirenkaiden A ja kaikkien A / I: n alirenkaiden välillä . $B \ mapto B / I$

Subbringin renkaat-osuudet: toinen isomorfismilause

Tässä osiossa alamme päinvastoin rengas ja alirengas B on , ja yksi on kiinnostunut renkaassa osamäärät ja B . Se ei ole niin yksinkertaista kuin edellisessä tilanteessa: ei ole olemassa yleistä yleistä rengasosamäärää A, joka voidaan laittaa bijektioon kaikkien osamäärien joukon B kanssa .

Siellä on vielä jotain sanottavaa, jos emme jaa minkään B: n kaksipuolisen ihanteen osamäärän kanssa , vaan muodon B ∩ I kaksipuolisen ihanteen kanssa , jossa I on A: n ideaali . Toinen isomorphism teoreema sitten tarjoaa vaihtoehtoisen kuvaus rengas-osamäärä B / B ∩ I ;

Tai rengas, B rengas osa- ja I kaksipuolisen ihanne . Sitten B + I on A: n alirengas ja B ∩ I on B: n ihanne , ja siellä on isomorfismi:

B / (B \ korkki I) \ simeq (B + I) / I

Huomautuksia ja viitteitä

Saunders Mac Lane ja Garrett Birkhoff , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ], osa 1, s. 151
S. MacLane ja G. Birkhoff, op. cit. , s. 142
Claude Mutafian , algebrallinen haaste , Vuibert ,1975, s. 43-44