Vuonna matematiikan , ilmaisuja " kaiken " ja " on olemassa ", jota käytetään muotoilemaan matemaattiset esitykset vuonna laskennassa predikaattien , kutsutaan määrällisiä arvioita . Virallista kieltä edustavia symboleja kutsutaan kvantifikaattoreiksi (tai aiemmin kvantifikaattoreiksi ).
Universaalia kvantisointia ("kaikille ..." tai "mitä tahansa ...") merkitään symbolilla ∀ ( A taaksepäin ).
Esimerkki:
∀ x P ( x )lukee
"Kaikille x P ( x )"ja tarkoittaa
"Kaikilla tarkasteltavan verkkotunnuksen kohteilla on ominaisuus P ".Gerhard Gentzen käytti ensimmäisen kerran merkintää "∀" vuonna 1933 (julkaistu vuonna 1934). Saksankielinen sana alle tarkoittaa "kaikki", siinä ehdotetaan " kaikille voimassa olevaa symbolia ( Zeichen )" ( für alle ) . Gentzen osoittaa, että hän valitsi "kaiken symboliksi" ( All-Zeichen ) käänteisen A analogisesti symboli "∃" kanssa eksistentiaaliselle kvantifikaattorille, jonka hän otti Russellilta .
Eksistentiaalinen kvantifiointi ("on olemassa ..." merkityksessä "on ainakin yksi ...") on merkitty merkillä ∃ (palautettu E). Tarkemmin,
∃ x P ( x )tarkoittaa
on olemassa ainakin yksi x siten, että P ( x ) (ainakin yhdellä tarkasteltavan alueen objektilla on ominaisuus P )Ilmaista ainutlaatuisuus lisäksi olemassa, käytetty merkki on ∃! (eksistentiaalinen määrittelijä, jota seuraa huutomerkki), tarkemmin sanottuna,
∃! x P ( x )tarkoittaa
on olemassa ainutlaatuinen x siten, että P ( x ), tai on olemassa yksi ja vain yksi x sellainen, että P ( x ) (tarkalleen tarkasteltavan toimialueen objektilla on ominaisuus P ).Tämä viimeinen määrittelijä määritetään laskemalla tasa-arvoiset predikaatit kahdesta edellisestä kvantistaattorista (ja tasa-arvosta), esimerkiksi
∃! x P ( x ) ≡ ∃ x [ P ( x ) ja ∀ y ( P ( y ) ⇒ y = x )].
Merkintää ∃ käytti Giuseppe Peano ensimmäisen kerran vuonna 1897 matematiikkalomakkeen II osassa eri syntaksilla, merkki liittyi suoraan predikaattiin (∃ P meidän ∃ x P ( x )). Bertrand Russell on ensimmäinen, joka käyttää sitä nykyisellä tavalla linkkioperaattorina.
Negation on:
Tai: .Negation on:
Tai: in klassista logiikkaa , mutta ei intuitionismi .Etukäteen muotoillun kaavan kvantifikaattorien järjestys kunkin identtisten kvanttoreiden lohkon (siis eksistentiaalisten kvanttoreiden lohkon tai universaalien kvanttoreiden lohkon) välillä ei ole merkityksellinen, kaava pysyy samana. Toisaalta eksistentiaalisten tai universaalien kvanterien lohkojen vuorottelu antaa hyvin erilliset kaavat, joiden looginen monimutkaisuus havaitaan erityisesti aritmeettisessa hierarkiassa .
Vuonna luonnollinen päättely , Gerhard Gentzen esittelee kaksi kvanttorit seuraavasti:
Johdantosäännöt | Hävittämissäännöt | |
---|---|---|
kaikesta | . | |
se on olemassa |
Jos otamme ryhmän mustia kissoja, voimme sanoa, että riippumatta siitä, minkä kissan valitsemme tästä ryhmästä, se on musta. ( )
Jos mustien kissojen ryhmässä on muutama valkoinen kissa (tai vain yksi), voimme sanoa, että tässä ryhmässä on yksi (tai vain yksi) valkoinen kissa.
( )
Symboli | Unicode | HTML | Lateksi | |
---|---|---|---|---|
kaikesta | ∀ | U + 2200 | & kaikille; | \ kaikille |
se on olemassa | ∃ | U + 2203 | &olla olemassa; | \ olemassa |
Tavanomaisia määrittelijöitä koskevien sääntöjen kuvaus on olemassa ja mitä tahansa löytyy predikaattilaskennan kaikista oppikirjoista , joiden bibliografia löytyy matemaattisesta logiikasta .
Näiden kvanttoreiden yleistämiseksi voimme kääntyä: