Hecke-algebra

Hecke algebra on muodonmuutos on Coxeter ryhmän yksi parametri, joka on teoreettinen kiinnostus tutkimuksessa solmujen erityisesti kautta Jones polynomi : nämä algebras näkyvät osamäärät n algebras ja ryhmien Artinian punokset . Tutkimuksen esityksiä Hecke algebras sallittu Michio Jimbo (de) muotoilla yleinen teoria quantum ryhmiä . Koska muodonmuutokset Coxeter ryhmä, yksi puhuu myös algebran Iwahori-Hecke kunniaksi matemaatikot Erich Hecke ja Nagayoshi Iwahori (in) .

Coxeter-ryhmien Iwahori-Hecke-algebra

Annamme itsellemme Coxeter järjestelmä matriisi , rengas (kommutatiivinen, yhtenäinen) , järjestelmä yksiköitä siten, että jos s ja t ovat konjugaatin W , sitten . Lopuksi on rengas Laurent polynomi kanssa integer kertoimia epämääräinen : . ${\ displaystyle (W, S)}$ ${\ displaystyle M = (m_ {s, t})}$ $R$ ${\ displaystyle {q_ {s} \, | \, s \ in S}}$ $R$ ${\ displaystyle q_ {s} = q_ {t}}$ $AT$ ${\ displaystyle q_ {s}}$ ${\ displaystyle A = \ mathbb {Z} \ vasen [q_ {s} ^ {\ pm 1} \ oikea]}$

Määritämme algebran generaattoreiden mukaan kaikelle ja suhteille: ${\ displaystyle H_ {R} (L, S, q)}$ $T_ {s}$ $s \ S: ssä$

${\ displaystyle T_ {s} T_ {t} T_ {s} \ cdots = T_ {t} T_ {s} T_ {t} \ cdots}$ missä meillä on molemmin puolin termit ja ("punosuhteet"); ${\ displaystyle m_ {s, t} <\ infty}$ ${\ displaystyle s, t \ in S}$
${\ displaystyle (T_ {s} -q_ {s} ^ {1/2}) (T_ {s} + q_ {s} ^ {1/2}) = 0}$ kaikesta (" toisen asteen suhteet"). $s \ S: ssä$

Jos R = A , voimme rekonstruoida ("erikoistua") minkä tahansa algebran renkaiden ainutlaatuisen homomorfismin avulla, joka lähettää määrittelemättömät ykseyteen . R: llä on sitten A -algebran rakenne ja skalaarien jatke on kanonisesti isomorfinen . Coxeter-ryhmien Dynkin-kaavioiden teoria osoittaa, että mikä tahansa Coxeter-generaattoripari on konjugaatti. Yksi seuraus on erityisesti se, että voimme erikoistua kaikki määrittelemättömät yhteen elementtiin q , "muodonmuutokseen", menettämättä yleisyyttä. $H_ {R}$ ${\ displaystyle A \ R}$ ${\ displaystyle q_ {s} \ kohteessa A}$ ${\ displaystyle q_ {s} \ sisään R}$ ${\ displaystyle H_ {A} (W, S, q) \ otimes _ {A} R}$ ${\ displaystyle H_ {R} (L, S, q)}$ ${\ displaystyle q_ {s}}$

Hecke-algebrojen esitys

Monimutkainen esitykset rajallinen tyypin Hecke algebrojen liittyvät pallomaisen pääasiallinen sarja on rajallinen Chevalley ryhmiä. George Lusztig osoitti, että useimmat merkkiä on äärellinen Lie ryhmiä voitaisiin itse asiassa kuvattu siitä edustus teoria Hecke algebras. Modulaarinen esitykset ja esityksiä juurien yksikön liittyvät kanoninen emäksiä affine kvantti ryhmiä.

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Polynomi Kazhdan-Lusztig (en)
Hecke algebra affine (en)