Valmistunut algebra

Vuonna matematiikan , vuonna lineaarialgebra kutsumme valmistui algebran algebran ylimääräinen rakenne, jota kutsutaan valmistumisen .

Määritelmä

Tai algebran kentän yli (tai yleisemmin renkaaseen ) K . Valmistumisen siitä on datan perhe on vektori aliavaruuksia of tyydyttää: (ATi)i∈EI{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ sisään \ mathbb {N}}}

• AT=⨁i∈EIATi{\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ sisään \ mathbb {N}} A_ {i}} ;
• ∀i,j∈EI,ATiATj⊂ATi+j{\ displaystyle \ forall i, j \ in \ mathbb {N}, A_ {i} A_ {j} \ osajoukko A_ {i + j}}Toisin sanoen .∀[i,j∈EI,x∈ATi,y∈ATj],  x×y∈ATi+j{\ displaystyle \ forall \ left [i, j \ in \ mathbb {N}, x \ in A_ {i}, y \ in A_ {j} \ right], \ \ x \ kertaa y \ in A_ {i + j}}

Algebra sanotaan silloin olevan valmistui (joskus ℕ-valmistunut, kuten tietyssä tapauksessa käsitteen M -graded algebran varten monoidi M ).

Elementit i sanotaan olevan homogeeninen asteen i . Ihanteellinen sanotaan olevan homogeeninen , jos kullekin elementille , että se sisältää, se myös sisältää homogeenisen osia . Tämä tarkoittaa sanomista, että minut synnyttävät homogeeniset elementit.

Mikä tahansa rengas (ei luokiteltu) voi olla varustettu valmistumisen aiheuttavat 0 = ja i = 0 kaikille i > 0. Tämä rakenne kutsutaan triviaali valmistumisen .

Porrastettujen algebrojen A ja B välinen kartta f (samalla kentällä) on asteittaisten algebrojen homomorfismi, jos kaikki i . f(ATi)⊂Bi{\ displaystyle f (A_ {i}) \ osajoukko B_ {i}}

Esimerkkejä

• Rengas polynomi useissa määrittelemätön K [ X 1 , ..., X n ], jossa homogeeninen elementit asteen n ovat homogeeninen polynomi aste n .
• Tensor algebran T ( V ) yli vektori tila V , jossa homogeeninen elementit asteen n ovat kiristimet muotoa .v1⊗v2⊗⋯⊗vei{\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ dots \ otimes v_ {n}}
• Symmetrinen algebran S ( V ) ja ulompi algebran Λ ( V ) on valmistunut algebras, homogeeninen elementit asteen n ollessa kuvien homogeenisen elementtejä T ( V ). Yleisemmin, jos valmistuneen algebran A ideaali I on homogeeninen, osamäärä A / I on luonnollisesti(AT/Minä)i=ATi/(Minä∩ATi).{\ displaystyle (A / I) _ {i} = A_ {i} / (I \ cap A_ {i}).}

Huomautuksia ja viitteitä

1. N.Bourbaki , Algebra ( lue verkossa ) , s.  III.30.

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Differential graded algebra  (en)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">