Algebra renkaassa

On matematiikka , ja tarkemmin sanoen yleisesti algebran , algebran yli kommutatiivinen rengas on algebrallinen rakenne , joka on määritelty seuraavasti:

( E , A , +, ∙, ×) on algebra A : n tai A- algebran yli , jos:

1. ( E , +, ∙) on moduuli on ;
2. laki sisäisen koostumuksen x, mistä E x E ja E , on bilineaarinen .

Määritelmät

Olkoon BE kommutatiivinen rengas ja E moduuli on varustettu laskutoimitus . Jos tämä binäärioperaatio on bilineaarinen , mikä tarkoittaa, että kaikille (moduulin elementeille) ja kaikille (skalaareille) nämä identiteetit ovat totta: ×:E×E→E,(x,y)↦x×y{\ displaystyle \ kertaa: E \ kertaa E \ E, (x, y) \ mapsto x \ kertaa y}x,y,z∈E{\ displaystyle x, y, z \ sisällä E \,}klo∈AT{\ displaystyle a \ sisään A}

• (x+y)×z=(x×z)+(y×z) ;{\ displaystyle (x + y) \ kertaa z = (x \ kertaa z) + (y \ kertaa z) ~;}
• x×(y+z)=(x×y)+(x×z) ;{\ displaystyle x \ kertaa (y + z) = (x \ kertaa y) + (x \ kertaa z) ~;}
• (klo⋅x)×y=klo⋅(x×y)=x×(klo⋅y),{\ displaystyle (a \ cdot x) \ kertaa y = a \ cdot (x \ kertaa y) = x \ kertaa (a \ cdot y),}

silloin E on algebra yli A: n . He myös sanovat, että E on -algebra jossa on perus algebran E . Bineaarista operaatiota kutsutaan algebra E: n kertolaskennaksi .

Kun on kommutatiivinen kenttä ( E, +,. ) On vektori tila on .

Morfismi kahden -algebras E ja F on morfismi sisäisen lait (ja kertolaskua) ja tuotteen skalaarit: f:E→F{\ displaystyle \, f \ ,: \, E \ F}

f(x+y)=f(x)+f(y), f(x×y)=f(x)×f(y) ja f(klo⋅x)=klo⋅f(x){\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y), ~ f (x \ kertaa y) = f (x) \ kertaa f (y) ~ {\ text {ja}} ~ f ( a \ cdot x) = a \ cdot f (x)}

kaikille ja kaikelle . x,y∈E{\ displaystyle x, y \ sisään E}klo∈AT{\ displaystyle a \ sisään A}

Morfismi on isomorfismi vain ja vain jos se on bijektiivinen (sen käänteisarvo on silloin automaattisesti algebrojen morfismi). Kahden A -algebran sanotaan olevan isomorfinen, jos A -algebran isomorfismi esiintyy yhdestä toiseen.

Esimerkkejä

• Assosiatiivisissa algebroissa on lukuisia esimerkkejä algebroista , joista toinen sisäinen laki on assosiatiivinen. Tämä pätee renkaisiin ja näennäisrenkaisiin, jotka ovat -algebroita. Tässä suuressa assosiatiivisten algebrojen perheessä on joukkoa, joille on annettu kaksi sisäistä lakia, jotka saavat ne soimaan, ja ulkoinen laki, joka tekee niistä vektoritilat kentässä tai moduulit renkaassa. Tämä pätee renkaan mitan n neliömatriisiryhmään tai renkaan polynomien joukkoon.Z/eiZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}} eiZ{\ displaystyle n \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

• Ei-assosiatiivisten algebrojen joukossa voimme mainita
  • Lie algebran , jotka ovat ei-assosiatiivisia algebrojen kentän yli.
  • renkaalle , missä "". on ulkoinen lisääntyminen ja ” ristitulo on esimerkki assosiatiivinen algebran yli renkaan.AT{\ displaystyle A}(AT3,+,.,∧){\ displaystyle (A ^ {3}, +,., \ wedge)}∧{\ displaystyle \ wedge}

Luokitus ja viite

1. N.Bourbaki , Algebra , 1970, luku. III, s. 2.

Katso myös

• Algebra kentällä
• Assosiatiivinen algebra
• Clifford-algebra
• Geometrinen algebra
• Lie algebra