Lie algebra

Vuonna matematiikka , joka on Lie algebran , nimetty kunniaksi matemaatikko Sophus Lie , on vektoriavaruus , joka on varustettu Lie teline , joka on sanoa bilinear , antisymmetrisiä ja sisäinen koostumus lakia. Joka todentaa Jacobin suhdetta . Lie-algebra on erityistapaus algebrasta kentän päällä .

Määritelmät, esimerkit ja ensimmäiset ominaisuudet

Määritelmä

Olkoon K olla vaihdannaisen kenttään .

Lie algebran on K on vektoriavaruus on K jolla kanssa bilinear kartan ja vuonna joka täyttää seuraavat ominaisuudet: ${\ mathfrak {g}}$ $(x, y) \ mapsto [x, y]$ ${\ mathfrak {g}} \ kertaa {\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

$\ forall x \ muodossa {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0$ ;
$\ forall x, y, z \ muodossa {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.$

Tuotteen on nimeltään Lie koukku (tai yksinkertaisesti koukku) ja ja . Koska kannatin on vuorotteleva bilineaarinen funktio , meillä on myös identiteetti kaikkien sisään . Yllä olevaa identiteettiä (2) kutsutaan Jacobi-identiteetiksi . $[x, y]$ $x$ $y$ $x, y$ $[x, y] = - [y, x]$ $x, y$ ${\ mathfrak {g}}$

Lie-alialibra on vakaata vektorialatilaa Lie-kannattimelle. Jokainen Lie-alialibra on tietysti varustettu Lie-algebran rakenteella K. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Huomaa : toisin kuin tensorial-algebrat (ja Clifford-algebrat , mukaan lukien ulkoiset algebrat ), Lie-algebrat eivät ole yhtenäisiä eivätkä assosiatiivisia .

Joitakin klassisia esimerkkejä Lie-algebroista

Mikä tahansa vektoritila voidaan varustaa Lie-algebra-rakenteella asettamalla . Tällaista Lie-algebraa, jossa Lie-sulu on identtisesti nolla, kutsutaan abeliksi. $E$ $\ kaikki x, y \ E: ssä, \ [x, y] = 0$
Vuodesta assosiatiivinen algebran yli kenttä , voimme rakentaa Lie algebran seuraavasti: asetamme (se on kommutaattorin kahden elementin x ja y ). On helppo varmistaa, että määritämme tällä tavalla Lie-algebran rakenteen. $(AT, *)$ $\ kaikki x, y \ A: ssa, \ [x, y] = x * yy * x$ $AT$ Päinvastoin mikä tahansa Lie-algebra sisältyy assosiatiiviseen algebraan, jota kutsutaan vaippa-algebraksi , jossa Lie-koukku osuu yhteen edellä määritellyn koukun kanssa. Jos se ei ole nolla, sen ympäröivä algebra on paljon suurempi kuin hän itse. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$
Konkreettisena esimerkkinä yllä olevasta tilanteesta harkitaan matriisien tilaa kertoimilla K. Se on assosiatiivinen algebra tavalliselle matriisituotteelle. Siksi voimme antaa sille myös Lie-algebran rakenteen suluineen . Merkitsemme tämän algebran, kun tarkastelemme sen Lie-algebra-rakennetta. ${\ mathcal {M}} _ {n} (K)$ $n \ kertaa n$ $[A, B] = AB-BA$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Ilmeisesti mikä tahansa kannattimen vakaa vektorialatila on Lie-algebra. Siten voimme varmistaa, että nollan jäljitysmatriisien joukko on Lie-algebra, jota me merkitsemme . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n} (K)$ Itse asiassa Adon lause osoittaa, että minkä tahansa äärellisen ulotteisen Lie-algebran voidaan nähdä olevan alialgra . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Toinen perustavanlaatuinen, geometrisempi esimerkki on seuraava. Anna olla ero moninaisia . Sitten vektori muodostamaan tilaan vektori kentät on on luonnollinen Lie algebran rakenne, olematta algebran . $M$ $M$
Erityisesti, joukko Killing aloilla Riemannian tai pseudo-Riemannin moninaiset muodot Lien algebran, joka vastaa ryhmän ja isometries kyseessä olevaa moninaiset.
Kolmiulotteinen Euclidean tilan ℝ 3 kanssa ristitulo kuin Lie kiinnike on Lie algebran.

Morfismit ja ihanteet

Lie-algebrojen morfismi on lineaarinen kartta, joka kunnioittaa Lie-haarukkaa, ts ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi$

\ kaikki a, b \ muodossa {\ mathfrak {g}}, \ \ phi ([a, b]) = [\ phi (a), \ phi (b)]

Ihanne of on vektori aliavaruus siten, että . Se on erityisesti Lie-subalgebra. Jos Lie-algebra ei myönnä ei-triviaalia ideaalia, sen sanotaan olevan yksinkertainen. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $\ forall g \ sisään {\ mathfrak {g}}, \ \ forall h \ sisään {\ mathfrak {h}}, \ [g, h] \ sisään {\ mathfrak {h}}$

Jos on ihanne , voimme muodostaa osamäärä mukaan : se on osamäärä vektoriavaruus varustettuna kannatin määritelty . Projektio on sitten Lie-algebrojen morfismi. ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$ $[g + {\ mathfrak {h}}, g '+ {\ mathfrak {h}}] = [g, g'] + {\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} \ - {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$

Esitys Lie algebran on morfismi . Toisin sanoen, se on lineaarinen kartta, kuten . ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ - {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ $\ phi ([g, h]) = \ phi (g) \ phi (h) - \ phi (h) \ phi (g)$

Morfismi määritelty määritellään esitys , jota kutsutaan liite esitys (in) . Jacobin henkilöllisyys ilmaisee tarkalleen sen tosiasian, että $mainos$ kunnioittaa koukkua. Tämän esityksen ydin on Lie-algebran keskusta . ${\ text {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ - {\ mathfrak {gl (g)}}$ ${\ text {ad}} (g) (h) = [g, h]$ ${\ mathfrak {g}}$ $Z ({\ mathfrak {g}}) = \ {g \ sisään {\ mathfrak {g}}, \ kaikki h \ sisään {\ mathfrak {g}}, [g, h] = 0 \}$ ${\ mathfrak g}$

Suhde Lie-ryhmiin ja algebrallisiin ryhmiin

Lie-algebrat liittyvät luonnollisesti Lie-ryhmiin . Jos on Lie ryhmä ja e sen neutraali elementti , niin tangenttitilan on e ja on Lie algebran; tämän algebran tarkka rakenne on kuvattu vastaavassa artikkelissa Lie Group . Sama rakenne pätee algebrallisiin ryhmiin . Merkitsemme yleensä pienillä goottilaisilla kirjaimilla Lie-ryhmään tai algebralliseen ryhmään liittyvän Lie-algebran. Siten, kuten olemme jo nähneet, nimeää neliön kokoisten neliömatriisien joukon ja koko n: n neliömatriisien nollan. Merkitään samalla tavalla joukko neliömäisiä matriiseja A, joiden koko on antisymmetrinen jne. Kaikissa näissä esimerkeissä Lie kiinnike ei ole mitään muuta kuin kytkin: . $G$ $G$ ${\ mathfrak {gl_ {n}}}$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n}$ ${\ mathfrak {so_ {n}}}$ $[A, B] = AB-BA$

Jos on ryhmä morfismi kahden Lie ryhmien ja , ja jos oletamme, differentioituva, sitten sen ero identiteetin tulee morfismi välillä Lie algebras ja sekä ja . Erityisesti on edustus on differentiable, me liittää esitys on . $\ phi$ $G$ $H$ $\ phi$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $G$ $H$ $G$ ${\ mathfrak {g}}$

Lie-algebrojen luokitusta käytetään ratkaisevasti Lie-ryhmien, algebrallisten ryhmien ja niiden esitysten tutkimiseen.

Luokitus

Jos ja ovat kaksi Lie subalgebras on Lie algebran , merkitsevät vektori aliavaruus syntyy elementit muotoa varten ja . ${\ mathfrak {a}}$ ${\ mathfrak {b}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}]$ $[a, b]$ $a \ sisään {\ mathfrak {a}}$ $b \ sisään {\ mathfrak {b}}$

Nilpotentes Lie -algebrat

Lie-algebran sanotaan olevan nilpotentti, kun mikä tahansa kommutaattorisarja on nolla, kun n: stä tulee riittävän suuri. $[[g_ {1}, g_ {2}], g_ {3}], \ pisteitä, g_ {n}]$

Tarkemmin sanottuna, älkäämme määritellä mennessä ja . $Tämä}$ $C_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $C _ {{i + 1}} = [C_ {i}, {\ mathfrak {g}}]$

Jos on olemassa sellainen i, että = 0, sanomme, että se on nilpotente. Tätä käsitystä on verrattava nilpotenttiryhmän käsitteeseen . Mikä tahansa abelilainen Lie-algebra ei ole potentiaalinen. $Tämä}$ ${\ mathfrak {g}}$

Tiukkojen kolmikulmaisten matriisien algebra , toisin sanoen muoto, tarjoaa esimerkin nilpotente Lie -algebrasta. ${\ mathfrak n}$ $\ left ({\ begin {matrix} 0 & \ star & \ cdots & \ star \\\ vdots & \ ddots & \ star & \ vdots \\\ vdots & 0 & \ ddots & \ star \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\\ end {matrix}} \ right)$

Engel lause todetaan, että Lien algebran on nilpotent jos ja vain jos kuva adjungoitu edustuksen yhdistetään osa-algebran . ${\ mathfrak n}$

Abelian Lie -algebran (tästä syystä nilpotente) esimerkki osoittaa kuitenkin, että on olemassa nilpotentteja alialgebroja, joista ei ole konjugoitua . ${\ mathfrak {gl}} _ {1} (K)$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak n}$

Ratkaistavat Lie-algebrat

Määritä induktion avulla ja $D_ {i}$ $D_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $D _ {{i + 1}} = [D_ {i}, D_ {i}]$

Jos on olemassa sellainen i, että = 0, sanomme, että se on ratkaistavissa. Kuten nilpotenttien algebrojen tapauksessa, tämä käsite vastaa ratkaistavan ryhmän käsitystä . On helppo nähdä, että mikä tahansa nilpotentti Lie-algebra on ratkaistavissa. $D_ {i}$ ${\ mathfrak {g}}$

Esimerkin ratkaistavasta Lie-algebrasta antaa ylemmän kolmion matriisien algebra . ${\ mathfrak b}$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$

Lie teoreema osoittaa, että jos K on algebrallisesti suljettu ja ominaisuus nolla, niin kaikki osa-ratkaistavissa Lie algebran yhdistetään osa-algebran . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak b}$

Puoliksi yksinkertaiset ja pelkistävät Lie-algebrat

Sanomme, että Lie-algebra on puoliksi yksinkertainen, kun se ei sisällä ei-triviaalia ratkaistavaa ihannetta. sanotaan olevan pelkistävä, kun sen vieressä oleva esitys on puoliksi yksinkertainen . ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Kun K on nolla ominaisuus, ja että on rajallinen ulottuvuus, semi-yksinkertaisuus vastaa ei-rappeutumista lopettamisilmoituslomakkeella määritelty , jossa p ilmaisee seurannan. Lisäksi se on pelkistävä vain ja vain, jos se on puoliksi yksinkertainen. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $K (x, y)$ $K (x, y) = tr (mainos (x) mainos (y))$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]$

Voimme osoittaa, että samojen oletusten mukaan mikä tahansa puoliksi yksinkertainen Lie-algebra on itse asiassa yksinkertaisten Lie- algebrojen suora summa .

Äärelliset ulotteiset yksinkertaiset Lie-algebrat kompleksilukujen kentän over yli luokitellaan Dynkin-kaavioilla . On siis 4 perheitä yksinkertainen Lie algebras (tai 3, jos pidämme ja koska saman perheen) ja 5 poikkeuksellinen Lie algebras, jokainen vastaa eri Dynkin kaavio. $B_ {n}$ $D_ {n}$

Tyypin Dynkin-kaavioon vastaa Lie-algebra . $A_ {n} (n \ geq 1)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbb {C})}$
Tyypin Dynkin-kaavioon vastaa Lie-algebra . $B_ {n} (n \ geq 2)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} (\ mathbb {C})}$
Tyypin Dynkin-kaavioon vastaa Lie-algebra . $C_ {n} (n \ geq 3)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
Tyypin Dynkin-kaavioon vastaa Lie-algebra . $D_ {n} (n \ geq 4)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
Poikkeuksellisia Lie-algebroja, jotka vastaavat jäljellä olevia Dynkin-kaavioita (tyyppejä E 6 , E 7 , E 8 , F 4 ja G 2 ), ei ole niin yksinkertaista tulkintaa.

Lie-algebra on pelkistävä ja sen johdettu Lie-algebra on . ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$

Finite ulotteinen semi-yksinkertainen Lie algebras kentän ℝ on todellinen määrä on luokiteltu involutions monimutkaisten Lie algebras tai vastaavasti, että involutions juuren järjestelmien (fi) . Tämä vastaa symmetrisen Lie-algebran (en) käsitettä . Todellisena yksinkertaisena Lie-algebraluokana voimme mainita:

Kompaktit Lie-algebrat. Nämä ovat pienikokoisten ryhmien Lie-algebrat. On täsmälleen yksi, joka vastaa kutakin kompleksista Lie-algebraa.
Monimutkaiset Lie-algebrat nähdään todellisina Lie-algebroina.
Muut voidaan luokitella perheisiin AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII ja poikkeuksellisiin algebroihin

EI, EII, EIII , EIV (tyyppi ) EV, EVI, EVII (tyyppi ) EVIII, EIX (tyyppi ) FI, FII (tyyppi ) ja GI (tyyppi ) Helgason (de) -merkinnän jälkeen ). $E_ {6}$ $E_ {7}$ $E_ {8}$ $F_ {4}$ $G_2$

Ääretön ulottuvuus

Äärettömien ulottuvuuksien Lie-algebroja ei ole yleisesti luokiteltu, mutta useita tällaisten algebrojen luokkia on tutkittu.

Kac-Moody algebran on Lie algebran määritelty abstraktilla kannalta generaattorit ja suhteet koodaa yleisen Cartan matriisi ei välttämättä positiivinen varmaa. Ne voivat siis olla äärettömän kokoisia. Niiden yleinen luokitus on edelleen ulottumattomissa, mutta tunnetaan useita alatyyppejä
- Algebran Kac-Moody affiinisia (In) on se ominaisuus, että kaikki osa-kaaviot Dynkin sen Dynkin kaavio vastaavat osa-Lie algebras rajallinen ulottuvuus. Sen yleistynyt Cartan-matriisi on sitten korangin 1. Affine Kac-Moody -algebrat luokittelivat Victor Kac . Niitä käytetään laajalti teoreettisessa fysiikassa konformaalisten kenttäteorioiden tutkimuksessa ja erityisesti WZW-mallien tutkimuksessa .
- Hyperbolinen Kac-Moody algebran on kytketty Dynkin kaavio se ominaisuus, että jos me poistaa juuri siitä, saadaan rajallinen-ulotteinen semi-yksinkertainen Lie algebran tai affiini Kac-Moody algebran. Ne on myös luokiteltu ja niiden korkein sijoitus on 10. Heidän yleistetty Cartan-matriisi on rappeutumaton ja Lorentzin allekirjoituksella (eli täsmälleen yhdellä negatiivisella suunnalla).
algebra yleistetty Kac-Moody (sisään) tai algebra Borcherds: tämä on eräänlainen Lie-algebra, joka yleistää algebran Kac-Moody käsitteen, jonka yleistetyllä Cartan-matriisilla voi olla yksinkertaisia juuria, joita kutsutaan imaginaarisiksi , joille yleistetyn Cartan-matriisin diagonaalielementti on negatiivinen. Ne otettiin käyttöön Richard Ewen Borcherds osana tutkimuksen hirviömäistä pontikka arveluihin .

Yleistys

On olemassa erilaisia yleistyksiä Lie algebran voidaan mainita, ovat Lie renkaat (in) Lie superalgebras , kvantti ryhmät , algebran Leibniz , pre-Lie algebran (in) .

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Huomautuksia ja viitteitä

Djohra Saheb Koussa , Abdelhak Djoudi ja Mustapha Koussa , " Analyysi verkkoon liitetylle tuulivoimajärjestelmälle kuivalla alueella ", IREC2015, The Sixth International Renewable Energy Congress , IEEE,maaliskuu 2015( ISBN 978-1-4799-7947-9 , DOI 10.1109 / irec.2015.7110927 , luettu verkossa , käytetty 15. syyskuuta 2020 )
(in) Sigurdur Helgason , Differential Geometry ja symmetrinen tiloissa , AMS ,1962, 487 Sivumäärä ( ISBN 978-0-8218-2735-2 , lue verkossa )

N. Bourbaki , Matematiikan elementit , ryhmät ja Lie-algebrat
Jacques Dixmier , kuorituksen Algebras , Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996 ( ISBN 978-2-87647-014-9 )
(en) James E. Humphreys , Johdatus valhealgebrasiin ja edustusteoriaan , New York, Springer , coll. " GTM " ( n o 9)1978, 2 nd ed. , 173 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-90053-7 )
(en) Nathan Jacobson , Lie algebras , New York, Dover ,1979( 1 st ed. 1962), 331 s. ( ISBN 978-0-486-63832-4 , online-esitys )
Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Johdanto Lie Algebrasiin , 1. painos, Springer, 2006. ( ISBN 1-84628-040-0 ) .