Monirivinen sovellus
In lineaarialgebraa , joka on usean muuttujan kartta on kartta , jossa on useita vektori muuttujat ja vektori-arvot, jotka on lineaarinen kunkin muuttujan. Monisuuntaista sovellusta, jolla on skalaariarvoja, kutsutaan moniriviseksi muodoksi . Monirivistä sovellusta, jossa on kaksi vektorimuuttujaa, kutsutaan bilineaariseksi .
Joitakin klassisia esimerkkejä:
Monisuuntaisten sovellusten systemaattinen tutkiminen antaa mahdollisuuden saada yleinen määritelmä determinantista, ulkoisesta tuotteesta ja monista muista geometrisen sisällön omaavista työkaluista. Vastaavan algebran haara on monirivinen algebra . Mutta on myös hyvin monia sovelluksia jakoputkien yhteydessä , differentiaalisessa topologiassa .
Määritelmä
Ovat kokonaisluku k > 0 , ja vektori tilat samalla kehon K . Hakemus
E1,...,Ek,F{\ displaystyle E_ {1}, \ ldots, E_ {k}, F}
f:E1×...×Ek→F{\ displaystyle f: E_ {1} \ kertaa \ ldots \ kertaa E_ {k} \ - F}sanotaan olevan monirivinen (tai tarkemmin sanottuna: k -lineaarinen), jos se on lineaarinen kussakin muuttujassa, ts. jos vektorien ja skalaarien a ja b ,
x1,...,xk,xi′{\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {k}, x '_ {i}}
f(x1,...,xi-1,kloxi+bxi′,xi+1,...,xk)=klof(x1,...,xi,...,xk)+bf(x1,...,xi′,...xk).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ pisteet, x_ {i-1}, ax_ {i} + bx '_ {i}, x_ {i + 1}, \ pisteitä, x_ {k}) = af ( x_ {1}, \ pisteitä, x_ {i}, \ pisteitä, x_ {k}) + bf (x_ {1}, \ pisteitä, x '_ {i}, \ pisteitä x_ {k}).}Epävirallisesti, voimme edustaa k -linear kartta tuotteena kartta K termejä, joilla on omaisuutta jakelu tyyppiä .
Kaikki sovellukset k -linéaires ja on F on aliavaruus on tila F E 1 x ... x E n kaikki hakemukset E 1 x ... x E n in F . Siksi se on vektoriavaruus, jota me merkitsemme tai yksinkertaisemmin milloin . Tila on k- lineaarinen muotojen on E on merkitty .
E1×...×Ek{\ displaystyle E_ {1} \ kertaa \ ldots \ kertaa E_ {k}}L(E1,...,Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F)}Lk(E;F){\ displaystyle L_ {k} (E; F)}E1=...=Ek=E{\ displaystyle E_ {1} = \ ldots = E_ {k} = E}Lk(E;K){\ displaystyle L_ {k} (E; K)}Lk(E){\ displaystyle L_ {k} (E)}
Jos k = 1 , löydämme tilan lineaarisen karttoja E osaksi F . Toisaalta, jos k > 1 , emme saa sekoittaa monirivisten karttojen tilaa lineaaristen karttojen tilaan tuotevektoriavaruudessa . Esimerkiksi K × K : sta K: hen kertolasku on bilineaarinen, mutta ei lineaarinen, kun taas projektio on lineaarinen, mutta ei bilineaarinen.
L(E;F){\ displaystyle L (E; F)}L(E1,...,Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F)}L(E1×...×Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1} \ kertaa \ ldots \ kertaa E_ {k}; F)} E1×...×Ek{\ displaystyle E_ {1} \ kertaa \ ldots \ kertaa E_ {k}}(x1,x2)↦x1x2{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto x_ {1} x_ {2}}(x1,x2)↦x1{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto x_ {1}}
Komponenttien kirjoittaminen
Jos (rajallinen tai ei) ovat tilojen vastaavia perustoja , rajoituksen (lineaarinen) soveltaminen
B1,...,Bk{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1}, \ ldots, {\ mathcal {B}} _ {k}}E1,...,Ek{\ displaystyle E_ {1}, \ ldots, E_ {k}}
L(E1,...,Ek;F)→FB1×...×Bk,f↦f|B1×...×Bk{\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F) \ - F ^ {{\ mathcal {B}} _ {1} \ kertaa \ ldots \ kertaa {\ mathcal {B}} _ {k}}, \ qquad f \ mapsto f_ {| {\ mathcal {B}} _ {1} \ kertaa \ ldots \ kertaa {\ mathcal {B}} _ {k}}}on bijektio (siis on isomorfismi vektori tilat ), eli k -linear kartta määräytyy täysin sen arvot k -tuples vektorien emästen, ja nämä arvot voi olla mikä tahansa vektorit F .
Konkreettisemmin ja olettaen yksinkertaistavan merkintöjä
E1=...=EkjaB1=...=Bk=(ei)i=1,...,ei,{\ displaystyle E_ {1} = \ ldots = E_ {k} \ quad {\ text {ja}} \ quad {\ mathcal {B}} _ {1} = \ ldots = {\ mathcal {B}} _ { k} = (e_ {i}) _ {i = 1, \ ldots, n},}voimme hajottaa jokaisen vektorin
xj=∑i=1eiXi,jei.{\ displaystyle x_ {j} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} X_ {i, j} e_ {i}.}Sitten k -lineaarisen muodon ilmaisusta k- upletissa tulee
x1,...,xk{\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {k}}
f(x1,...,xk)=f(∑i1=1eiXi1,1ei1,...,∑ik=1eiXik,keik)=∑i1=1ei...∑ik=1ei∏j=1kXij,jf(ei1,...,eik).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ pistettä, x_ {k}) = f \ vasen (\ summa _ {i_ {1} = 1} ^ {n} X_ {i_ {1}, 1} e_ {i_ {1}}, \ pistettä, \ summa _ {i_ {k} = 1} ^ {n} X_ {i_ {k}, k} e_ {i_ {k}} \ oikea) = \ summa _ {i_ {1 } = 1} ^ {n} \ pistettä \ summa _ {i_ {k} = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 1} ^ {k} X_ {i_ {j}, j} f (e_ { i_ {1}}, \ pistettä, e_ {i_ {k}}).}Arvojen tuntemus määrittää k- lineaarisen kartan f täysin .
eik{\ displaystyle n ^ {k}}f(ei1,...,eik){\ displaystyle f (e_ {i_ {1}}, \ pistettä, e_ {i_ {k}})}
Erityisesti k -lineaaristen muotojen tila ulottuvuuden n vektoritilassa E on ulottuvuudelle .
Lk(E){\ displaystyle L_ {k} (E)}eik{\ displaystyle n ^ {k}}
Symmetria ja antisymmetria
Hakemus sanotaan
f∈Lk(E;F){\ displaystyle f \ L_ {k} (E; F)}
f(x1,...,xk)=f(x1,...,xi-1,xj,xi+1,...,xj-1,xi,xj+1,...,xk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {k}) = f (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {i-1}, x_ {j}, x_ {i + 1}, \ pisteitä , x_ {j-1}, x_ {i}, x_ {j + 1}, \ pisteitä, x_ {k})} ;
-
antisymmetrinen, jos kahden vektorin vaihtaminen muuttaa saadun tuloksen vastakkaiseen:
f(x1,...,xk)=-f(x1,...,xi-1,xj,xi+1,...,xj-1,xi,xj+1,...,xk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {k}) = - f (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {i-1}, x_ {j}, x_ {i + 1}, \ pisteet, x_ {j-1}, x_ {i}, x_ {j + 1}, \ pisteet, x_ {k})}.
Useita peräkkäisiä vektorinvaihtoja voidaan suorittaa. Permutaatio vektoreista suoritetaan siten, saatu peräkkäin säädöksistä. Kussakin vaiheessa tulos on muuttumaton, jos f on symmetrinen, ja muuttuu vastakkaiseen, jos f on antisymmetrinen. Lopuksi vektorien yleisen permutaation vaikutuksena ei ole muuttaa tulosta, jos f on symmetrinen, ja kertoa permutaation allekirjoituksella , jos f on antisymmetrinen. Yhteenvetona, joka tarkoittaa symmetristä indeksiryhmää :
Sk{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {k}}k{\ displaystyle k}
- jos f on symmetrinen, niin:
∀σ∈Sk,f(xσ(1),...,xσ(k))=f(x1,...,xk){\ displaystyle \ forall \ sigma \ muodossa {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {\ sigma (1)}, \ pisteitä, x _ {\ sigma (k)}) = f (x_ {1}, \ pistettä, x_ {k})} ;
- jos f on antisymmetrinen, niin:
∀σ∈Sk,f(xσ(1),...,xσ(k))=e(σ)f(x1,...,xk).{\ displaystyle \ forall \ sigma \ muodossa {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {\ sigma (1)}, \ pisteitä, x _ {\ sigma (k)}) = \ varepsilon (\ sigma) f (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {k}).}Vastaava osajoukot , merkitty vastaavasti ja ovat vektori subspaces. Jos ominaisuus kehon K on yhtä suuri kuin 2, ne ovat yhtä suuret.
Lk(E;F){\ displaystyle L_ {k} (E; F)}Sk(E;F){\ displaystyle S_ {k} (E; F)}ATk(E;F){\ displaystyle A_ {k} (E; F)}
Vaihtoehtoinen sovellus
Sovelluksen sanotaan olevan vuorotellen, jos se peruutetaan joka kerta, kun se arvioidaan k- upletilla, joka sisältää kaksi identtistä vektoria:
f∈Lk(E;F){\ displaystyle f \ L_ {k} (E; F)}
[∃i≠j,xi=xj]⇒f(x1,...,xk)=0.{\ displaystyle [\ olemassa i \ neq j, x_ {i} = x_ {j}] \ Rightarrow f (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {k}) = 0.}Vastaavasti k -lineaarinen kartta on vuorotellen, jos se katoaa kaikkien linkitettyjen k -parien yli . Erityisesti, jos k on ehdottomasti suurempi kuin ulottuvuus E , niin ainoa vuorotellen k -linear kartta on F on nolla kartta.
Ek{\ displaystyle E ^ {k}}Ek{\ displaystyle E ^ {k}}
Kaikki vuorotellen moniriviset sovellukset ovat antisymmetrisiä.
Jos kentän K ominaisuus eroaa 2: sta, päinvastoin varmistetaan: mikä tahansa antisymmetrinen monirivinen sovellus vuorotellen.
Vaihtoehtoisessa n- lineaarinen hakemus on n ulottuvuus
Tässä osassa oletetaan, että avaruudella E on äärellinen ulottuvuus n, ja tutkimme tapausta k = n . Ja F = K , tämä tutkimus antaa vaihtoehtoisen määritelmän määrittämiseksi, joka perustaa e on n -tuple vektoreita, tai matriisi , kun on määritelty etukäteen kaavan Leibniz .
Jos E: llä on emäs , voimme hajottaa kunkin vektorin
e=(e1,...,eei){\ displaystyle e = (e_ {1}, \ pistettä, e_ {n})}
xj=∑i=1eiXi,jei{\ displaystyle x_ {j} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} X_ {i, j} e_ {i}}.
Sitten ekspressiota n -linear muodossa f on n -tuplet ( katso edellä ), on yksinkertaistettu, kun f on vuorotellaan (siis myös antisymmetrisenä):
x1,...,xei{\ displaystyle x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}}
f(x1,...,xei)=(∑σ∈Seie(σ)∏j=1eiXσ(j),j)f(e1,...,eei)=dete(x1,...,xei)f(e1,...,eei){\ displaystyle f (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) = \ vasen (\ summa _ {\ sigma \ muodossa {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {j = 1} ^ {n} X _ {\ sigma (j), j} \ oikea) f (e_ {1}, \ pisteitä, e_ {n}) = {\ det} _ {e} (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}) f (e_ {1}, \ pistettä, e_ {n})}.
Täten yhden vektorin tuntemus riittää määrittämään funktion f kokonaan , ja kartta on ainutlaatuinen vuorotteleva n- lineaarinen muoto f siten, että .
f(e1,...,eei){\ displaystyle f (e_ {1}, \ pistettä, e_ {n})} dete{\ displaystyle {\ det} _ {e}}f(e1,...,eei)=1{\ displaystyle f (e_ {1}, \ pistettä, e_ {n}) = 1}
Lause - Jos E on ulottuvuus n , niin tilaa sovelluksia n vaihtovirran -linéaires E n on F on isomorfinen F .
ATei(E;F){\ displaystyle A_ {n} (E; F)}
Huomaa: tämä lause mahdollistaa reaalisten vektoritilojen suuntaamisen valitsemalla, jos F = R, suoralla A vuorotellen n-lineaarisia muotoja, yksi tai toinen puolilinjoista A 'tai A' ja kutsumalla suuntautuneet vektoritasot pareiksi (E, A) tai (E, A ').
Sovellus k vuorotellen -lineaarinen ulottuvuus n> k
Palataksemme vaihtoehtoisen k -lineaarisen kartan tapaukseen dimensiossa n , oletetaan tällä kertaa, että n> k (muista, että jos n <k , mikä tahansa vaihtoehtoinen k -lineaarinen kartta on nolla). Vain osa edellisistä tuloksista voidaan pidentää. Aina on mahdollista poistaa termit, joissa sama vektori esiintyy kahdesti; hän tulee
f(x1,...,xk)=∑(i1,...,ik)∈J∏j=1kXij,jf(ei1,...,eik){\ displaystyle f (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {k}) = \ summa _ {(i_ {1}, \ pisteitä, i_ {k}) \ muodossa J} \ prod _ {j = 1} ^ {k} X_ {i_ {j}, j} f (e_ {i_ {1}}, \ pistettä, e_ {i_ {k}})}missä J on k -parien joukko, joista kukin on [| 1, n |] ja kaikki erilliset. Lisäksi antisymmetrialla on mahdollista järjestää f: n termit uudelleen niin, että säilytetään vain yksi muodon termien yhdistelmä
(i1,...,ik){\ displaystyle (i_ {1}, ..., i_ {k})}ij{\ displaystyle i_ {j}}ij{\ displaystyle i_ {j}}
f(ei1,...,eik) kanssa 1≤i1<i2<⋯<ik-1<ik≤ei.{\ displaystyle f (e_ {i_ {1}}, \ pisteet, e_ {i_ {k}}) \ qquad {\ text {kanssa}} 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ pisteet <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n.}Tällaisten uudelleenjärjestettyjen k- näytteiden lukumäärä on binomikerroin , ja vaihtelevalle k- lineaariselle muodolle on tunnusomaista f : n arvon data näillä k -yhdistelmillä. Viime kädessä edellinen lause yleistyy seuraavasti:
(eik){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}
Lause - Jos E on ulottuvuus n , niin tila on k -linear vuorottelevat kartat ja E k on F on isomorfinen
ATk(E;F){\ displaystyle A_ {k} (E; F)}
F(eik).{\ displaystyle F ^ {\ tbinom {n} {k}}.}
Tarkemmin sanottuna, hajoaminen kaava voidaan kirjoittaa käsite determinantti: kunkin kertoimen on vähäinen , että matriisin edustaja perheen vektorien pohjaan .
xi{\ displaystyle x_ {i}}ej{\ displaystyle e_ {j}}
f(x1,...,xk)=∑1≤i1<i2<⋯<ik-1<ik≤ei|Xi1;1Xi1;2...Xi1;kXi2;1Xi2;2...Xi2;k⋮⋮⋱⋮Xik;1Xik;2...Xik;k|f(ei1,...,eik).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ pistettä, x_ {k}) = \ summa _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ pistettä <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n} {\ begin {vmatrix} X_ {i_ {1}; 1} & X_ {i_ {1}; 2} & \ pisteet & X_ {i_ {1}; k} \\ X_ {i_ {2} ; 1} & X_ {i_ {2}; 2} & \ pisteet & X_ {i_ {2}; k} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ X_ {i_ {k}; 1} & X_ {i_ {k}; 2} & \ pisteet & X_ {i_ {k}; k} \ end {vmatrix}} f (e_ {i_ {1}}, \ pisteet, e_ {i_ {k}}) .}Merkintä
-
Katso esittely esimerkiksi Wikikorkeakoulun oppitunnista .
-
Jean Dieudonné, Lineaarinen algebra ja perusgeometria , Pariisi, Hermann ,1964, s. 78-83 vektoritasoille
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoinen algebra • Antikommutatiivisuus • Pysyvä • Tensori
Bibliografia
Roger Godement , Algebran kurssi