In lineaarialgebraa , jälkeäkään neliömatriisi määritellään summa lävistäjä kertoimien ja usein huomattava Tr ( ). Jälki voidaan nähdä lineaarinen muoto on vektori tila matriisien. Se tarkistaa identiteetin: Tr ( AB ) = Tr ( BA ), ja on siten muuttumaton samankaltaisuuden perusteella .
Vastaavasti, jos u on endomorphism on rajallinen ulotteinen vektori tila on kommutatiivinen alalla K , voimme määritellä jäljittää operaattorin u , esimerkiksi jälki sen matriisin tahansa perusteella .
Yleisemmin algebran , jälki on lineaarinen muoto λ siten, että λ ( ab ) = λ ( ba ) . Tämä määritelmä löytyy erityisesti von Neumannin algebrojen tutkimuksesta, jotka ovat Hilbert-tilojen operaattoreiden algebroja .
Annetaan neliö matriisi
jossa kertoimien kommutatiivinen alalla K (tai vain on kommutatiivinen rengas ), sen jälki, merkitään Tr ( ) , on skalaari summa kertoimien sen pääasiallinen lävistäjä :
.Kaikille neliömatriiseille A ja B (samassa järjestyksessä) ja kaikille skalaareille α∊ K tarkistetaan seuraavat ominaisuudet:
jossa T tarkoittaa transpoosia ja .
Toisin sanoen jälki on lineaarinen muoto järjestyksessä n olevien neliömäisten matriisien vektoritilassa ℳ n ( K ) , invariantti transposition avulla .
Kartta Tr on lineaarinen muoto, ja sen ydin on plane n ( K ): n hypertaso .
Jos nyt A ja B ovat ( n , m ) ja ( m , n ) matriiseja (eivät välttämättä neliömetriä, mutta tarjoavat neliömatriisit kertomalla), meillä on identiteetti:
Edeltävä tasa-arvo johtaa seuraavaan identiteettiin, joka pätee mihin tahansa neliömatriisiin A ja mihin tahansa käänteiseen matriisiin P samassa järjestyksessä:
Toisin sanoen jälki on " samankaltaisuuden invariantti " tietyn järjestyksen neliömäisille matriiseille, toisin sanoen kahdella samankaltaisella matriisilla on sama jälki, mikä ei ole yllättävää, jos tiedämme yhteyden jäljen ja tyypillisen polynomin välillä ( ks. jäljempänä ) ja jälkimmäisen samankaltaisuuden muuttumattomuus .
Voimme osoittaa yleensä suhteellisen lyhyt todiste, johon matriisi yksikköä (en) ( eli matriisit on kanoninen perusteella on ℳ n ( K ), jotka ovat matriiseja, jotka on yksi kerroin on yhtä suuri kuin 1 ja kaikki muut 0) että avaruuden ℳ n ( K ) lineaarinen muoto, joka on invariantti samankaltaisuuden perusteella, on välttämättä verrannollinen jäljitykseen.
ErityisestiJos neliömäisen matriisin jälki voidaan määrittää ilman erityistä teknisyyttä missään kommutatiivisessa renkaassa, se ei ole sama endomorfismin jäljen suhteen . Matriisiesitystä käyttäen tämä on edullista mahdollista vektori-avaruuden endomorfismille ; abstraktimpi rakenne, joka käyttää tensori-algebraa , sallii käsitteen laajentamisen joihinkin moduulin endomorfismeihin - mutta ei kaikkiin.
VektoritilassaJos E on vektori tila rajallinen ulottuvuus n , jälki, joka endomorphism , merkitty , määritellään jälki matriisin u on pohja kiinnitetty etukäteen ja E . Tämä määritelmä ei riipu mielivaltaista valintaa , koska jos on toinen perusta, ” emäksen muutos kaava ” osoittaa, että matriisit u vastaavasti ja ovat samankaltaisia siksi (ks yllä ) on sama jäljittää.
Seuraavat ominaisuudet koskevat kaikkia endomorfismeja , kaikkia skalaareja ja mitä tahansa w ∈ GL ( E ): tä (ts. W on E: n automorfismi )
Toisin sanoen: jälki on lineaarinen muoto vektoriavaruudessa , invariantti konjugaation avulla .
Lisäksi ,, jossa tarkoittaa saattaneet karttaa ja u .
ModuulissaKäyttämällä tensor supistuminen , on mahdollista laajentaa käsitettä jäljittää endomorphisms on rajallinen tyypin projektiivista moduli .
Olkoon ( E , g ) euklidinen avaruus . Määrittelemme bijektio (eritellään tiedonantoon liittyvässä osassa Symmetric bilineaarinen muoto (vast. Hermiittinen muoto) artikkelin Self-lisätty operaattori ) väliin quadratic muotoja q on E , ja symmetrinen toimijoita päälle ( E , g ) seuraavasti:
.Jälkeä kutsutaan jälki neliöllinen muoto q suhteen g .
Olkoon E olla K - vektori tila rajallinen ulottuvuus n .
Euklidisissa tiloissa:
Matriiseille:
Olkoon A neliön matriisi, jonka järjestys on n ja kertoimet kommutatiivisessa renkaassa.
Merkitään s ( X ) sen tunnusomainen polynomi ja c i kerroin X i on p ( X ) . Toisin sanoen asetamme
,missä I n tarkoittaa järjestyksen n identiteettimatriisia . Niin,
.Todistamme yllä olevan tasa-arvon ja, jos
(jos λ i kuuluu kommutatiiviseen renkaaseen, joka sisältää kertoimet A ), seuraava tasa-arvo:
. EsittelyKertoimien erityistapaus kiinteässä renkaassa
Oletetaan ensin, että kertoimien rengas on kiinteä . Voimme sitten pitää A : ta matriisina, jonka kertoimet ovat kommutatiivisessa kentässä K , nimittäin tämän renkaan murto- osien kentässä .
Sitten asettumaan alalla L , joka sisältää K ja jossa p on jaettu , (esimerkiksi sen algebrallinen sulkeuma tai hajoaminen alalla on p ) ja toteamme:
Λ i ovat ominaisarvot on , laskettiin moninaisuus. Teorialla trigonalization , tiedämme, miten löytää kolmion neliömatriisi T , jossa kertoimet L ja samanlainen , joiden pääasiallinen lävistäjä on muodostettu λ i . Käyttämällä jäljen muuttumattomuutta samankaltaisuuden perusteella voimme päätellä:
.Lisäksi, jos me kehittää kirjallisesti p ensimmäisen asteen tekijöiden summa λ i näkyy vastakohta kerroin X n - 1 tässä polynomi. Siksi päätellään, että jos merkitsemme c n - 1 tätä kerrointa:
.Yleinen tapaus
Emme enää oleta, että A: lla on kertoimet kiinteässä renkaassa; voidaan kuitenkin saada samanlaisia tuloksia toisella reitillä.
Kehittäessä determinanttia, joka määrittelee ominaispolynomin kaavalla käyttäen permutaatioita , näemme, että monomiaali X n - 1: ssä esiintyy vain yhdessä n: stä ! summa, joka on XI n - A: n diagonaalitermien tulo , toisin sanoen:
Jälkeä ilmestyy sitten kertoimen X n - 1 . Todistimme kaavan eri tavalla:
.Oletamme nyt edelleen A- jakauman tyypillisen polynomin ja huomaamme:
tämän polynomin hajoaminen ensimmäisen asteen tekijöiksi.
Kehittämällä tätä tuotetta saadaan uusi c n - 1: n ilmentymä ; yhdistämällä tämä edellisen kaavan kanssa saamme:
.Olkoon q olla polynomin (jossa kertoimet kommutatiivinen rengas, joka sisältää edellä λ i ja kertoimia ). Joten:
. EsittelyJos rengas on ehjä, voidaan käyttää yllä käytettyjä tekniikoita ja merkintöjä. Matriisi q ( A ) on samanlainen kuin q ( T ) , kun taas T: n päädiagonaalin muodostaa q ( λ i ) . Johdetaan kaava.
Tämä kaava pysyy voimassa ilman oletusta eheydestä, todiste Perustuu ehjien renkaiden tapauksen alustava käsittely .
Erikoistamalla edellinen kaava monomiaaliin q = X k , saadaan:
.Nollaominaisuudessa elementaariset symmetriset polynomit voidaan muodostaa uudelleen polynomisesti alkaen Newtonin summista Newtonin identiteettien kautta . Siksi on olemassa universaaleja polynomikaavoja, joiden avulla voidaan ilmaista matriisin ( n , n ) tunnusomaisen polynomin kertoimet sen voimien jälkien (ja jopa voimien, joiden eksponentti on pienempi tai yhtä suuri kuin n ) funktiona . Annetaan esimerkki:
Tässä on sovellus: jos A on matriisi ( n , n ), jolla on kertoimet ominaisnollan kentässä ja joka tyydyttää:, niin A on nilpotenttinen .
Kun todellinen vektoritila E on äärellisen ulottuvuus, determinantti määrittää kartan det operaattoreiden tilasta E: n ja R: n välillä , joka on homogeeninen asteelle n . Det-luku ( u ) ilmaistaan polynomifunktiona matriisin kertoimissa, jotka edustavat u : ta minkä tahansa E : n perustassa . Toiminto det on siis erilainen . Sen ero identiteetissä on jälki . Toisin sanoen kaikille operaattoreille u alueella E ,
missä o ( u ) tarkoittaa, että loppuosa on merkityksetön verrattuna u: een, kun u lähestyy nollaa. Tämän seurauksena kaikilla operaattoreilla u alueella E ,
.Erityisesti u: n eksponentti on determinantti 1 ja vain, jos u on nollajälkioperaattori. Tämä tulos voidaan tulkita Lie-ryhmien teoriassa seuraavasti. Det sovellus on jatkuva morfismi ryhmien, että lineaarisen ryhmän GL ( S ) ja R . Sen ydin, joukko operaattoreita, joilla on determinantti 1, on siksi GL ( E ): n alaryhmä , jota kutsutaan SL ( E ): ksi. Se on klassinen Lie-ryhmä , ts. GL ( E ): n suljettu alaryhmä . Geometrisesti operaattori kuuluu SL ( E ): een vain ja vain, jos se säilyttää E: n Lebesgue-tilavuuden . Sen Lie-algebra on täsmälleen joukko operaattoreita u, joilla on nolla jälkeä, merkitty .
Avoimen U on E , joka on vektori kenttä X on sovellus . Jos tämä kartta on Lipschitzin, Cauchy-Lipschitz-lause vahvistaa tavallisen differentiaaliyhtälön maksimiratkaisujen olemassaolon
(1).X: n virtaus on diffeomorfismien perhe f t, jotka lähettävät x : n c (t): lle, missä c on (1): n ratkaisu, jonka alkuehto on c (0) = x . Virta määritetään paikallisesti. Esittelemme eroavuus on X
missä dX (x) on X : n ero x: ssä , joka on operaattori E: llä . Virtaus f t säilyttää Lebesgue-tilavuuden, jos ero ei ole nolla. Tarkemmin sanottuna kaikille avoimille, joiden tarttuvuus sisältyy U: han ,
.(Tämä tasa-arvo antaa mahdollisuuden laajentaa divergenssin määritelmää esimerkiksi suuntautuneille jakotukille tilavuusmuotojen läsnä ollessa.)
Jos on Lie algebran yli kentän K , adjoint esitys on , merkitään ilmoitus , saadaan
.Tappaminen muoto on on symmetrinen bilineaarinen muoto
.Lie-algebran automorfismit säilyttävät Killing-muodon. Erityisesti sen liitännäiskuva säilyttää B: n . Élie Cartan otti käyttöön Killing-muodon karakterisoimaan Lie-algebrojen puoliksi yksinkertaisuutta . Kun K = R , se antaa tietoja myös liittyvästä Lie-ryhmästä. Katso Cartanin kriteeri (en) .
Olkoon G olla Lien ryhmä (esimerkiksi, suljettu alaryhmä GL ( E )). Määritelmän mukaan sen Lie-algebra on vasemman invariantin vektorikenttien tila G: llä , joka on varustettu Lie-haarukalla [,] (vektorikenttäkommutaattori). Tappomuoto, joka liittyy B: hen, määrittelee metrisen pseudo-Riemannin kaksivarianttin G: lle . Jos tappomuoto B on varma positiivinen, siihen liittyvä metriikka on Riemannin-metriikka, jolla on positiivinen kaarevuus. Meyersin lause tarkoittaa, että G on kompakti. Muita linkkejä on olemassa.
Anna ja olla kaksi matriiseja . Me huomaamme sen
Meillä on siis miellyttävä kanonisen skalaarituotteen kirjoittaminen avaruuteen .
Jos H on euklidinen tai Hermiten , liittyvällä operaattori operaattorin U on H on operaattori H . Määritämme sitten seuraavan skalaarituotteen operaattoritilaan H :
.Tämän määritelmän avulla näyttää selvästi siltä, että itseään assosioivat operaattorit ja itsensä assosioituneet operaattorit muodostavat kaksi ortogonaalista alatilaa . Lisäys on ortogonaalinen symmetria itseään assosioivien operaattoreiden avaruuteen nähden.
Olkoon U avoin reaalivektoriavaruus, joka sisältää 0, ja on luokka C 2 . Hesseniläisessä H on f 0 on symmetrinen bilineaarinen muodossa E , täyttävät
.Määritelmän mukaan f : n laplaasialainen nollassa on hessiläisen jälki:
Nolla-Laplacian luokan C 2 toimintoja kutsutaan harmonisiksi . Pakollisesti analyyttiset , nämä toiminnot puuttuvat erityisesti monimutkaiseen analyysiin ja funktionaaliseen analyysiin . Erityisesti tyhjän Laplacian toiminnot ovat ratkaisuja Dirichlet-ongelmaan, joka on Dirichletin energian ääripäiden etsiminen.
Lisäksi Laplacianin määritelmä on yleistetty differentiaaligeometriassa Riemannin pakosarjojen ( Laplace-Beltrami-operaattori ) toimintojen, mutta myös yleisempien objektien, kuten differentiaalimuotojen, toiminnoille . Mukaan lukien tämä yleisempi viitekehys , määritelmä voidaan antaa bilineaaristen muotojen jälkeillä. Null-Laplacian muotoja kutsutaan harmonisiksi, ja Hodgen teoria osoittaa niiden merkityksen.
Annetaan sileä suuntautuvaan pintaan S Euclidean tilan , keskimääräinen kaarevuus S on x on keskimäärin kaksi pääasiallista curvatures S on x . Muodollisesti, nämä kaarevuuksia ominaisarvot ovat toisen asteen muodossa tangenttitason T x S , jota kutsutaan toinen perusmuoto S on x , huomattava II x . S : n keskimääräinen kaarevuus x: ssä on
.Keskimääräisen kaarevuuden määritelmä ulottuu Riemannin pakosarjojen sileisiin alajakoihin N. Sen arvo x: ssä ei ole enää skalaari, vaan T x N: lle kohtisuora vektori , joka on edelleen määritelty jälkien avulla. Nollakeskiarvon kaarevuussäätöjä kutsutaan minimaalisiksi ja ne ovat Riemannin tilavuuden ääripäitä.
Olkoon H olla Hilbert tilaa , jossa Hilbert perusteella ( e i ) i ∈ I (ei välttämättä laskettavissa ). Rajoitettu operaattori ∈ ℒ ( H ) on mainittu on jälki , jos
(Tämä summa ei riipu Hilbert-perusteen valinnasta.) Tässä tapauksessa asetamme
Jäljitysoperaattorit ovat pienikokoisia . Ne muodostavat ihanteellisen on ℒ ( H ) pani merkille ℒ 1 ( H ), joka on täydellinen , että normi ‖ ‖ 1 määritellään alla. Jälki Tr on jatkuva lineaarinen muoto, positiivinen määrätty ℒ 1 ( H ): lle.
Lopullisessa mitassa operaattorin jälki on matriisiesityksen diagonaalikerrointen summa. Seuraava esimerkki on yleistys. Anna μ Borel toimenpide on kompakti tila K . Olkoon f : K 2 → ℝ jatkuva kartta. On Hilbert tila L 2 ( K , ℝ) ja toimintoja K on ℝ kanssa summable neliö , ydin operaattori
on jäljityksen kanssa, ja sen jäljitys on yhtä suuri kuin: