Varajäsenedustus

Vuonna matematiikka on kaksi käsitykset adjoint esitykset  :

• Lie-ryhmän liitännäisvale sen Lie-algebrassa ,
• Lie-algebran konsonanttiesitys itsessään.

Vaikka ensimmäinen on ryhmäesitys , toinen on algebran esitys .

Määritelmä

Ovat:

• G{\ displaystyle G}, Lie-ryhmä  ;
• e∈G{\ displaystyle e \ G: ssä}The neutraalialkio on  ;G{\ displaystyle G}
• g: =TeG{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}: = T_ {e} G}, Lie-algebra  ;G{\ displaystyle G}
• ι:G→ATut(G);g↦ιg{\ displaystyle \ iota: G \ to \ mathrm {Aut} (G); g \ mapsto \ iota _ {g}}sisätilojen automorphism sekä itsensä, antama  ;G{\ displaystyle G}ιg1(g2)=g1g2g1-1{\ displaystyle \ iota _ {g_ {1}} (g_ {2}) = g_ {1} g_ {2} g_ {1} ^ {- 1}}

Määritelmä: adjoint edustus on Lien ryhmä sen Lie algebran on: G{\ displaystyle G}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

ATd:G→ATut(g);g↦ATdg: =((ιg)∗|e:g→g){\ displaystyle \ mathrm {Ad}: G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}}); g \ mapsto \ mathrm {Ad} _ {g}: = \ left ((\ iota _ {g }) _ {*} | _ {e}: {\ mathfrak {g}} \ - {\ mathfrak {g}} \ oikea)}

Huomautuksia:

• Liitteenä oleva esitys on ryhmien morfismi  :ATd:G→ATut(g){\ displaystyle \ mathrm {Mainos}: G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}})}

ATdg1g2=ATdg1∘ATdg2,∀g1,g2∈G{\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {g_ {1} g_ {2}} = \ mathrm {Ad} _ {g_ {1}} \ circ \ mathrm {Ad} _ {g_ {2}}, \ qquad \ kaikki g_ {1}, g_ {2} \ G: ssä

• Kaikille adjektiivinen esitys on algebrojen isomorfismi:g∈G{\ displaystyle g \ in G}g{\ displaystyle g}

[ATdg(ξ1),ATdg(ξ2)]=ATdg[ξ1,ξ2],∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle [\ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi _ {1}), \ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi _ {2})] = \ mathrm {Ad} _ {g} [\ xi _ {1}, \ xi _ {2}], \ qquad \ kaikki \ xi _ {1}, \ xi _ {2} \ sisään {\ mathfrak {g}}}

Määritelmä: adjoint edustus Lie algebran itselleen on: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

klod:g→Eeid(g);ξ↦klodξ: =ATd∗|e(ξ){\ displaystyle \ mathrm {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to \ mathrm {End} ({\ mathfrak {g}}); \ xi \ mapsto \ mathrm {ad} _ {\ xi}: = \ mathrm {Ad} _ {*} | _ {e} (\ xi)}

Huomautuksia:

• Algebran rakenne on tangenttitilan voidaan määritellä päässä liittyvällä esitys kautta:[⋅,⋅]:g×g→g{\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathfrak {g}} \ kertaa {\ mathfrak {g}} \ - {\ mathfrak {g}}} g=TeG{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}klod{\ displaystyle \ mathrm {ad}}

[ξ1,ξ2]: =klodξ1(ξ2),∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle [\ xi _ {1}, \ xi _ {2}]: = \ mathrm {ad} _ {\ xi _ {1}} (\ xi _ {2}), \ qquad \ forall \ xi _ {1}, \ xi _ {2} \ {{mathfrak {g}}}

• Koska Lie-konsoli tyydyttää Jacobi-identiteetin , liitännäinen edustus on algebrojen morfismi  :[⋅,⋅]{\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}klod:g→Eeid(g){\ displaystyle \ mathrm {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to \ mathrm {End} ({\ mathfrak {g}})}

klod[ξ1,ξ2]=[klodξ1,klodξ2],∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {[\ xi _ {1}, \ xi _ {2}]} = [\ mathrm {ad} _ {\ xi _ {1}}, \ mathrm {ad} _ { \ xi _ {2}}], \ qquad \ kaikki \ xi _ {1}, \ xi _ {2} \ {{mathfrak {g}}}

Milloin matriisiryhmä onG{\ displaystyle G}

Oletetaan, että se on matriisin Lie-ryhmä, esim. Tai , niin että sen Lie-algebra on myös matriisi, esim. Tai . Sitten kaksi vierekkäistä esitystä ovat nimenomaisesti: G{\ displaystyle G}GL(ei;R){\ displaystyle \ mathrm {GL} (n; \ mathbb {R})}GL(ei;VS){\ displaystyle \ mathrm {GL} (n; \ mathbb {C})}Mklot(ei;R){\ displaystyle \ mathrm {Mat} (n; \ mathbb {R})}Mklot(ei;VS){\ displaystyle \ mathrm {Mat} (n; \ mathbb {C})}

ATdg(ξ)=gξg-1,∀g∈G,∀ξ∈g{\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi) = g \ xi g ^ {- 1}, \ qquad \ kaikki g \ G: ssä, \; \ kaikki \ xi \ sisään {\ mathfrak {g} }} klodξ1(ξ2)=[ξ1,ξ2],∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {\ xi _ {1}} (\ xi _ {2}) = [\ xi _ {1}, \ xi _ {2}], \ qquad \ forall \ xi _ { 1}, \ xi _ {2} \ {{mathfrak {g}}}

missä tässä on matriisikytkin. [⋅,⋅]{\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}

Suhde tappomuotoon

Tappaminen muoto on määritelty:

K:g×g→R;(ξ1,ξ2)↦K(ξ1,ξ2): =Tr(klodξ1∘klodξ2){\ displaystyle K: {\ mathfrak {g}} \ kertaa {\ mathfrak {g}} \ to \ mathbb {R}; (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}) \ mapsto K (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}): = \ mathrm {Tr} (\ mathrm {ad} _ {\ xi _ {1}} \ circ \ mathrm {ad} _ {\ xi _ {2}} )}

Killing-muoto on -muuttuja: ATd{\ displaystyle \ mathrm {Ad}}

K(ATdg(ξ1),ATdg(ξ2))=K(ξ1,ξ2),∀g∈G,∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle K (\ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi _ {1}), \ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi _ {2})) = K (\ xi _ {1} , \ xi _ {2}), \ qquad \ forall g \ in G, \; \ forall \ xi _ {1}, \ xi _ {2} \ sisään {\ mathfrak {g}}}

Siksi se tarkistaa myös:

K([ξ1,ξ2],ξ3)=K(ξ1,[ξ2,ξ3]),∀ξ1,ξ2,ξ3∈g{\ displaystyle K ([\ xi _ {1}, \ xi _ {2}], \ xi _ {3}) = K (\ xi _ {1}, [\ xi _ {2}, \ xi _ { 3}]), \ qquad \ kaikki \ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ xi _ {3} \ {{mathfrak {g}}}

Varajäsenen edustuksen säännöllisyys

Jos se on luokan Lie-ryhmä , liitännäiskartoitus on erotettavissa. Riittää, kun osoitetaan, että arviointihakemus on erilainen. Mutta määritelmän mukaan se on toisen muuttujan ero neutraalissa elementissä . Avustajan edustuksen säännöllisyys menetetään yleensä. G{\ displaystyle G} VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}ATd{\ displaystyle \ mathrm {Ad}}G×g→g:(g,ξ)↦ATdg(ξ){\ displaystyle G \ kertaa {\ mathfrak {g}} \ - {\ mathfrak {g}} :( g, \ xi) \ mapsto \ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi)}ATd{\ displaystyle \ mathrm {Ad}}G×G→G;(g1,g2)↦g1g2g1-1{\ displaystyle G \ kertaa G \ - G; (g_ {1}, g_ {2}) \ mapsto g_ {1} g_ {2} g_ {1} ^ {- 1}}

Kirjat

• 1963, S. Kobayashi, K. Nomizu, Differentiaaligeometrian perusteet.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">