Tappava vektori

On matematiikka , joka on tappaminen vektori , tai tappaminen kenttä , on vektori kenttä on (pseudo) Riemannin jakoputken , joka säilyttää metrinen tämän moninaisia ja korostaa sen jatkuva symmetrioita.

Intuitiivisesti Killing vektori voidaan pitää ” siirtymä kentän ” , toisin sanoen liittämällä pisteen M jakoputken pisteen M ' määritellään siirtymisen M kaarta pitkin, joka kulkee M jonka on tangentti. Sen perusominaisuus on, että tämä kenttä edustaa isometriaa , toisin sanoen se säilyttää etäisyydet. Näin ollen kahden pisteen välisen etäisyyden M ja N on yhtä suuri kuin etäisyys välillä niiden kuvien M ' ja N' vaikutuksesta . $\ xi$ $\ xi$ $\ xi$

Sellainen pinta (ulottuvuuden 2 vaihtelu), jonka katsotaan uppoutuneen kolmiulotteiseen tilaan, antaa tällaisen kentän esimerkiksi tehdä siitä "liukuvan" itselleen ilman, että se repeytyy tai rypistyy.

Tämän ominaisuuden matemaattista muotoilua kutsutaan Killing-yhtälöksi . Se toteaa, että Lie johdannainen Riemannin metriikan suhteen tappaminen vektori on nolla, toisin sanoen mikä tahansa koordinaatistossa , $\ xi$

{\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} = 0}

D on metriikkaan liittyvä kovariaattinen johdannainen .

Tästä päätellään tietty määrä ominaisuuksia, jotka liittyvät tappamisvektoreihin.

Historia

Eponyymi Vektorin on Wilhelm KJ tappaminen (1847-1923), saksalainen matemaatikko, joka esitteli sen vuonna 1892.

Ominaisuudet

Eroavaisuudet

Supistamalla Killing-yhtälö metriikan kanssa saamme välittömästi:

{\ displaystyle D_ {a} \ xi ^ {a} = 0}

Tappovektori on aina nolla divergenssi .

Liikkeen vakiot

Piste tuote on tappaminen vektorin kanssa tangentti on geodeettisen on vakio pitkin polkua. Jos merkitsemme tätä tangenttivektoria, meillä on ${\ displaystyle u ^ {a}}$

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = 0}

operaattori edustaa derivaatta erään affiini parametri on geodeettisen. ${\ displaystyle D / d \ tau}$

Esittely

Operaattori voi kirjoittaa itsensä uudelleen geodeettisen määritelmän mukaisesti, ${\ displaystyle D / d \ tau}$

{\ displaystyle D / d \ tau = u ^ {b} D_ {b}}

Joten meillä on

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = u ^ {b} D_ {b} (u ^ {a} \ xi _ {a} )}

Käyttämällä Leibnizin johdannaissääntöä saadaan sitten

{\ displaystyle u ^ {b} D_ {b} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = u ^ {b} u ^ {a} D_ {b} \ xi _ {a} + u ^ { b} \ xi _ {a} D_ {b} u ^ {a}}

Tasa-arvon toinen termi on nolla. Itse asiassa geodesian määritelmä on itse asiassa se, että sen tangenttivektori pidetään geodeettista pitkin, ts.

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} u ^ {a} = u ^ {b} D_ {b} u ^ {a} = 0}

Myös tasa-arvon ensimmäinen termi on nolla. Todellakin, Killing-yhtälö osoittaa, että tensori on antisymmetrinen. Sen supistuminen symmetrisen tensorin kanssa on siten nolla. Joten meillä on ${\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b}}$

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = 0}

Tämä ominaisuus on erityisen hyödyllinen integroimalla geodeettinen yhtälö. Todellakin, että on olemassa riittävä määrä tappaminen vektorien sitten mahdollistaa esiintyy riittävä määrä liikkeen vakioita , jotka mahdollistavat välittömän ja selvästi resoluutio geodeettisen yhtälö . Yksinkertainen esimerkki on Schwarzschild-metriikka , joka on sekä pallomaisesti että staattisesti symmetrinen . Ensimmäisen ominaisuuden avulla voidaan näyttää kaksi tappovektoria ja toisessa toinen tappovektori. Liikkeen vakiot liittyvät kulmamomentin standardiin , sen projektioon akselia pitkin ja määrään, jossa ei- relativistinen lähestymistapa voidaan identifioida hiukkasen energian kanssa. Täten klassisen mekaniikan tavanomaiset energiansäästö- ja kulmamomenttilakit muunnetaan yleiseksi suhteellisuusteollisuudeksi tappovektoreiden olemassaolon avulla.

Suhde Riemannin tensoriin

Ottamalla Killing-yhtälön derivaatti ja käyttämällä kovariaattijohdannaisten kytkentäominaisuuksia saadaan yhtälö, joka liittää Killing-vektorin toisen johdannaisen Riemannin tensoriin . Tämä suhde on kirjoitettu:

{\ displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} = - R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

. Esittely

Killing-yhtälöstä suoritamme ylimääräisen johdannan. Siksi saamme:

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {cb} \ xi _ {a} = 0}

Kovariaattiset johdannaiset eivät yleensä liiku työmatkalla, mutta ne voidaan vaihtaa, jos lisätään niihin ylimääräinen termi Riemannin tensorin avulla (tämä on jopa Riemannin tensorin määritelmä):

{\ displaystyle D_ {cb} \ xi _ {a} = D_ {bc} \ xi _ {a} -R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Saamme näin

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {bc} \ xi _ {a} = R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Voimme kirjoittaa tämän yhtälön uudelleen suorittamalla permutaatioita indekseille a , b ja c :

{\ displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} + D_ {ca} \ xi _ {b} = R _ {\; bac} ^ {d} \ xi _ {d}}

{\ displaystyle D_ {bc} \ xi _ {a} + D_ {ab} \ xi _ {c} = R _ {\; cba} ^ {d} \ xi _ {d}}

Ottamalla näiden kolmen yhtälön summa saadaan

{\ displaystyle 2D_ {ca} \ xi _ {b} + 2D_ {bc} \ xi _ {a} + 2D_ {ab} \ xi _ {c} = (R _ {\; acb} ^ {d} + R_ {\; bac} ^ {d} + R _ {\; cba} ^ {d}) \ xi _ {d}}

Bianchin ensimmäisen identiteetin ansiosta oikeanpuoleisen jäsenen ehdot sulkevat toisensa. Joten meillä on

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {bc} \ xi _ {a} + D_ {ab} \ xi _ {c} = 0}

Vähentämällä tämä ensimmäisestä tasa-arvosta, johon liittyy Riemannin tensori, se tulee

{\ displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} = - R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Tällä suhteella on useita mielenkiintoisia seurauksia:

Sopimalla se a: lla ja b: llä saadaan suhde kentän d'Alembertianuksen ja Ricci-tensorin välille : ${\ displaystyle D_ {a} D ^ {a} \ xi _ {c} = - R _ {\; c} ^ {d} \ xi _ {d}}$ .
Tämä on yhtälö aivan samanlainen kuin vektorin mahdollisia sisään sähkömagneettinen että Lorentzin mittari (erityisesti, koska aivan kuten vektori potentiaali on nolla eroja Lorentzin mittari, tappamis- vektori on myös rakentamalla nolla hajaantuminen). Ainoa ero tulee Ricci-tensorin merkistä, joka on päinvastainen kuin sähkömagneettisuudessa. Siinä tapauksessa, että Ricci-tensori häviää, analogia Killingin vektorin ja vektoripotentiaalin välillä on vielä suurempi (molemmat noudattavat täsmälleen samaa yhtälöä).
Tämä yhtälö, jota käytetään pitkin geodeettista, tarkoittaa, että tämän geodeettisen tapan tappajavektori määräytyy kokonaan sen arvon ja sen johdannaisten arvon perusteella. Laajentamalla tapausvektori koko jakokanavassa määräytyy kokonaan sen ja johdannaisten arvojen perusteella yhdessä pisteessä.
Näin ollen, jos mitta jakotukin on n , peruspisteen tappamisen vektori määritetään n numeroita (sen osaa), ja sen johdannaiset n ( n - 1) / 2 osat (johtuen antisymmetry l 'tappaminen yhtälö ). Suurimman määrän tappovektoreita, joita voi esiintyä ulottuvuuden n kokoisissa jakoissa, on siten n ( n + 1) / 2. Monikerroksella, jolla on suurin määrä tappovektoreita, sanotaan olevan suurin symmetria . De Sitter tila on esimerkki tila mahdollisimman symmetria.
Yleisemmin on kätevää luokitella annetut mittasarjat niiden tappovektoreiden mukaan. Tätä luokitusta, jota sovelletaan tiettyyn ulottuvuuden 4 aika-aika-luokkaan ( homogeeniset tilat ), kutsutaan Bianchi-luokitukseksi .

Suhteet Noetherin lauseeseen

Tappavan vektorin supistuminen energia-momentti-tensorin kanssa mahdollistaa vektorin, jolla ei ole divergenssiä. $T ^ {{ab}}$

Esittely

Todellakin, määrän ero antaa ${\ displaystyle T ^ {ab} \ xi _ {b}}$

{\ displaystyle D_ {a} (T ^ {ab} \ xi _ {b}) = T ^ {ab} D_ {a} \ xi _ {b} + \ xi _ {b} D_ {a} T ^ { ab}}

Ensimmäinen termi on nolla, koska se on symmetrisen tensorin ( ) ja antisymmetrisen tensorin ( Killing-yhtälön mukaan) supistuminen . Toinen termi on myös nolla, koska energian tensorimomentti on nollan divergenssin määritelmä ( ). Joten meillä on $T ^ {{ab}}$ ${\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b}}$ ${\ displaystyle D_ {a} T ^ {ab} = 0}$

{\ displaystyle D_ {a} (T ^ {ab} \ xi _ {b}) = 0}

Tämän nolladivergenssivektorin olemassaolo mahdollistaa sitten konservoitujen suuruuksien määrittelemisen Noetherin lauseen avulla .

Että Minkowskin tilaan ja suorakulmaiset koordinaatit , vektori , jota merkitään on tappaminen vektori, joka yksinkertaisesti sanoo, että Minkowskin tila on translaation muuttumaton ajan. Tämä tarkoittaa sitten energian säästämistä . Samoin vektorit ovat myös tappavia vektoreita. Siihen sisältyy vauhdin säilyttäminen . Mikään näistä vektoreista ei kuitenkaan ole tappava vektori laajenevassa maailmankaikkeudessa . Tämä on syy, miksi sähkömagneettisen säteilyn energiaa ei ole säilynyt ajan myötä: se on punasiirtymäilmiö . Yleensä tappajavektoreita ei välttämättä ole missään aika-ajassa . Tämä tarkoittaa, että yleisessä suhteellisuusteollisuudessa ei ole energiansäästöä, paitsi erityistapauksissa, kuten asymptoottisesti tasaisissa tiloissa . ${\ displaystyle \ osittainen / \ osittainen t}$ $\ osittainen _ {t}$ ${\ displaystyle \ osittainen _ {x ^ {i}}}$

Myös Minkowskin tilaa, vektorit , , ovat myös tappaminen vektoreita. Näiden vektorien olemassaolo merkitsee kulmamomentin säilymistä . Samoin vektorit ovat kolme tappavaa vektoria. Ei-relatiivisessa raja- arvossa ne vastaavat määrää , toisin sanoen i : n koordinaatin arvoa tällä hetkellä . Nämä vektorit, lukumäärältään 10, muodostavat kaikki tappovektorit lineaarisesti riippumatta Minkowski-avaruudesta. ${\ displaystyle x \ osittain _ {y} -y \ osittain _ {x}}$ ${\ displaystyle y \ osittainen _ {z} -z \ osittainen _ {y}}$ ${\ displaystyle z \ osittainen _ {x} -x \ osittainen _ {z}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ osittainen _ {t} + t \ osittainen _ {x_ {i}}}$ ${\ displaystyle x ^ {i} -v ^ {i} t}$ $t = 0$

Lie-algebra Killing-vektoreista

Lie koukku kaksi tappaminen vektoreita ja on myös tappaminen vektori $\ xi$ $\ zeta$

Esittely

Par koukun Lie koukku on kirjoitettu komponentteina, $\ xi$ $\ zeta$

{\ displaystyle \ zeta ^ {b} D_ {b} \ xi ^ {a} - \ xi ^ {b} D_ {b} \ zeta ^ {a}}

Jotta tämä vektori olisi tappava vektori, sen täytyy ja riittää, että se täyttää tappamisyhtälön. Siksi laskemme

{\ displaystyle D_ {a} \ vasen (\ zeta ^ {c} D_ {c} \ xi _ {b} - \ xi ^ {c} D_ {c} \ zeta _ {b} \ oikea) -D_ {b } \ vasen (\ zeta ^ {c} D_ {c} \ xi _ {a} - \ xi ^ {c} D_ {c} \ zeta _ {a} \ oikea)}

{\ displaystyle = \ zeta ^ {c} \ vasen (D_ {ac} \ xi _ {b} -D_ {bc} \ xi _ {a} \ oikea) + \ xi ^ {c} \ vasen (D_ {bc } \ zeta _ {a} -D_ {ac} \ zeta _ {b} \ oikea) + D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {b} -D_ {c} \ zeta _ {b} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {a} + D_ {c} \ zeta _ {a } \; D_ {b} \ xi ^ {c}}

Termejä, jotka sisältävät kahden ensimmäisen johdannaisen tuotteita, voidaan manipuloida käyttäen Killing-yhtälöä ja niin, että indeksi c ei liity kovariaattijohdannaiseen, vaan vektoriin. Joten meillä on $\ xi$ $\ zeta$

{\ displaystyle D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {b} -D_ {c} \ zeta _ {b} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {a} + D_ {c} \ zeta _ {a} \; D_ {b} \ xi ^ {c} = - D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {b} \ xi _ {c} + D_ {b} \ zeta _ {c} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ { c} \; D_ {a} \ xi _ {c} + D_ {a} \ zeta _ {c} \; D_ {b} \ xi ^ {c} = 0}

koska ehdot peruuttavat toisensa. Toisten johdannaisten sisältäville termeille Killingin yhtälöitä käytetään myös poistamaan c- indeksi kovariaattijohdannaisista. Meillä on

{\ displaystyle \ zeta ^ {c} \ vasen (D_ {ac} \ xi _ {b} -D_ {bc} \ xi _ {a} \ oikea) + \ xi ^ {c} \ vasen (D_ {bc} \ zeta _ {a} -D_ {ac} \ zeta _ {b} \ oikea) = \ zeta ^ {c} \ vasen (-D_ {ab} \ xi _ {c} + D_ {ba} \ xi _ { c} \ oikea) + \ xi ^ {c} \ vasen (D_ {ba} \ zeta _ {c} -D_ {ab} \ zeta _ {c} \ oikea).}

Tunnistamme kovariaattisten johdannaisten kommutaattorin, jonka voimme kirjoittaa uudelleen Riemannin tensorilla :

{\ displaystyle \ zeta ^ {c} \ vasen (-D_ {ab} \ xi _ {c} -D_ {ba} \ xi _ {c} \ oikea) + \ xi ^ {c} \ vasen (D_ {ba } \ zeta _ {c} -D_ {ab} \ zeta _ {c} \ oikea) = \ zeta ^ {c} R _ {\; ohjaamo} ^ {d} \ xi _ {d} - \ xi ^ { c} R _ {\; cba} ^ {d} \ zeta _ {d}}

Käyttämällä lopulta antisymmetriasuhteita Riemannin tensorin kahdella indeksiparilla ja kääntämällä hiljaiset indeksit c ja d yhteen tuloksen kahdesta jäsenestä, saadaan

{\ displaystyle \ zeta ^ {c} R _ {\; ohjaamo} ^ {d} \ xi _ {d} - \ xi ^ {c} R _ {\; cba} ^ {d} \ zeta _ {d} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {dcab} - \ xi ^ {c} \ zeta ^ {d} R_ {dcba} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {dcab } - \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {cdba} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} (R_ {dcab} -R_ {cdba}) = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} (R_ {dcab} -R_ {dcab}) = 0}

. Joten kahden Killing-vektorin Lie-koukku on myös Killing-vektori.

Tämä antaa mahdollisuuden varustaa Killing-vektorien tila Lie-algebra- rakenteella . Yleisesti suhteellisuusteoria on, että tämän kautta suoritetaan tiettyjä aika-aikojen luokituksia, kuten edellä mainittu Bianchi-luokitus, joka koskee nelidimensionaalisia avaruusaikoja, joiden tilalohkot ovat homogeenisia .

Yhteensopiva muutos

Aikana conformal muutos , Killing vektori menettää perusominaisuus ja ei enää täytä Killing yhtälö. Se täyttää kuitenkin toisen yhtälön, joka voi joissakin tapauksissa osoittautua mielenkiintoisiksi. Sitten puhumme konformisesta tappavektorista .

Staattinen aika-aika

On yleinen suhteellisuusteoria , tila-aika (tai sen alueen) sanotaan olevan staattinen, jos se sallii aika-tyypin tappaminen vektori, joka voidaan nähdä normaalin hyperpintoja. Tätä varten Killing-yhtälön lisäksi Killing-vektorin on oltava verrannollinen gradienttiin (hyperpinnat voidaan nähdä alueina, joissa tietty parametri on vakio). Tämä viimeinen ehto kirjoitetaan muodossa

{\ displaystyle \ xi _ {[a} D_ {b} \ xi _ {c]} = 0}

jonka todistamme Frobeniuksen lauseen ansiosta . Neliulotteisessa avaruudessa tämä ehto on sitten vastaava siihen liittyvän kaksoismuodon kanssa ,

{\ displaystyle \ epsilon ^ {dabc} \ xi _ {[a} D_ {b} \ xi _ {c]} = 0}

missä on täysin antisymmetrinen tensori kaikissa indekseissään. $\ epsilon$

Schwarzschild metriikka on esimerkki staattinen tila-aika-alueen ulkopuolella Schwarzschildin säde . Reissner-Nordström metrinen on sama ominaisuus. Tällaisten välilyöntien metriikka voidaan kirjoittaa tiettyyn koordinaatistoon muodossa ${\ displaystyle (t, x ^ {i})}$

{\ displaystyle {\ mathrm {d}} s ^ {2} = V ^ {2} (x ^ {k}) - \ summa _ {ij} h_ {ij} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d}} x ^ {i} \; {\ mathrm {d}} x ^ {j}}

Staattisuus näkyy:

Sillä, että metriikka ei riipu koordinaatista t (Killing yhtälö)
Sillä, että termeissä (ortogonaalisuus hyperpintoihin) ei ole termejä ${\ displaystyle {\ mathrm {d}} t \; {\ mathrm {d}} x ^ {i}}$

Kiinteä aika-aika

Aika-ajan sanotaan olevan paikallaan, jos se sallii aikatyyppisen tappovektorin ilman, että viimeksi mainitulla olisi ortogonaalisuuden ominaisuus hyperpintoihin. Edellisessä koordinaatistossa siihen liittyvä mittari on yleisempi:

{\ displaystyle {\ mathrm {d}} s ^ {2} = V ^ {2} (x ^ {k}) - \ summa _ {ij} h_ {ij} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d}} x ^ {i} \; {\ mathrm {d}} x ^ {j} + \ summa _ {i} N_ {i} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d} } t \; {\ mathrm {d}} x ^ {i}}

Aksymmetrinen aika-aika

Aika-ajan sanotaan olevan aksymmetrinen, jos se on paikallaan (sillä on siis aikamainen tappovektori , katso edellä) ja sillä on toinen avaruuden kaltainen tappovektori, jonka virtaus muodostaa suljetut käyrät ja joka kulkee edellisen kanssa: $\ xi$ $\ eta$

{\ displaystyle [\ xi, \ eta] = 0}

Kerr metrinen ja Kerr-Newman metrinen ovat tunnettuja esimerkkejä aksisymmetrinen mittareita. Sanoi bivector , ilmeisistä syistä, tappamisen tärkeä rooli todisteiden singulariteetti lauseet . ${\ displaystyle \ xi _ {[a} \ eta _ {b]}}$

Aika-aika suurimmalla symmetrialla

Aika-ajan sanotaan olevan suurimmalla symmetrialla - tai maksimaalisesti symmetrisellä - jos sillä on enimmäismäärä tappovektoreita, nimittäin: missä on aika-ajan ulottuvuuksien lukumäärä. ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} n \ vasen (n + 1 \ oikea)}$ $ei$

Yleistykset

Killing-yhtälötyypin yhtälö voidaan yleistää korkeamman asteen tensoreihin . Sitten puhutaan valitun yleistyksen mukaan tappotensorista tai Killing-Yano-tenorista . In puitteissa teoreemojen erikoisen , joskus käyttöön käsite Killing bivector , muodostetaan kahdella Killing vektoreita.

Huomautuksia ja viitteitä

Huomautuksia

Termi vektori on väärinkäyttöä klassisen kielen fysiikan, joka helposti rinnastetaan elementti ja asettaa, vektori ja vektorien kentän .
konservoitunut määrä on Lorentzin tekijä γ, joka on vakio yhtä ei-relativistisen rajoitettu summa massa energian ja liike-energia .
Relativistisessa tapauksessa konservoitunut määrä on sijainti kerrottuna Lorentz-kertoimella , joka itse on konservoitunut määrä, koska se on tappovektori (katso yllä). $\ osittainen _ {t}$

Viitteet

Alkseevskiĭ 1995 , s. 391, pylväs 2 .
Penrose 2007 , . 14 , § 14.7 , s. 312.
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Killing (vector of), s. 411, pylväs 1 .
Hawkins 2000 , luku. 4 , § 4.5 , s. 128, n. 20 .
Hawkins 2000 , s. 530.
Misner, Thorne ja Wheeler 1973 , luku. 25 , 25.2 § , s. 650, n. historioitsija. .
Misner, Thorne ja Wheeler 1973 , s. 1238, col. 1 .
Tappaminen 1892 , s. 167.
Peter ja Uzan vuonna 2012 , 2 e käsin. , luku. 3 , lahko. 3,6 , § 3.6.1 , s. 176.
Barrau ja Grain 2016 , luku. 7 , lahko. 7.1 , § 7.1.2 , s. 129.
Heyvaerts 2012 , luku . 10 , lahko. 10.2 , § 10.2.1 , s. 142.
Carroll 2019 , luku. 3 , § 3.9 , s. 140.
Hawking ja Ellis 1973 , luku. 2 , § 2.6 , s. 44.

Katso myös

Bibliografia

(en) Robert M. Wald , yleinen suhteellisuusteoria , University of Chicago Press ,1984, 498 Sivumäärä ( ISBN 0226870332 ), sivut 119, 120, 312 - 324 ja 441 - 443.
(en) D. Kramer , Hans Stephani , Malcolm Mac Callum ja E. Herlt , Einsteinin kenttäyhtälöiden tarkat ratkaisut , Cambridge, Cambridge University Press ,1980, 428 Sivumäärä ( ISBN 0521230411 ), luku 6 (s. 76 ja 77), luku 8 (s. 94-97 ja 99-102) ja luku 17 (s.192).
[Hawking ja Ellis 1973] (en) SW Hawking ja GFR Ellis , Avaruustilan laajamittainen rakenne [" Avaruuden aikainen suuri rakenne"], Cambridge, CUP , al. ” Cambridge Monogr. Matematiikka. Phys. ",1973, 1 st ed. , 1 til. , XI -391 Sivumäärä , sairas. , 15,1 x 22,7 cm ( ISBN 978-0-521-20016-5 ja 978-0-521-09906-6 , EAN 9780521099066 , OCLC 299342801 , important BNF n o FRBNF37358308 , DOI 10,1017 / CBO9780511524646 , Bibcode 1973lsss .book .. ... H , SUDOC 004735110 , online-esitys , lue verkossa ).
[Hawkins 2000] (en) Th. Hawkins , Valeryhmien teorian syntyminen : essee matematiikan historiassa,1869-1926 ["Valeryhmien teorian ilmaantuminen: essee matematiikan historiassa, 1869-1926 »], New York, Springer , kokoonpano ” Stud lähteet. Hist. Matematiikka. Phys. Sci. ",Heinäkuu 2000, 1 st ed. , 1 til. , XIII -564 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 0-387-98963-3 , EAN 9780387989631 , OCLC 468567740 , ilmoitusta BNF n o FRBNF37734028 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1202-7 , SUDOC 058886435 , online-esitys , lukea verkossa ).
[Lachièze-Rey 2006] M. Lachièze-Rey , "Avaruus ja kosmologian tarkkailijat" , julkaisussa M. Lachièze-Rey ( ohj. ), Fyysinen tila matematiikan ja filosofian välillä , Les Ulis, EDP Sci. , coll. "Ajattelu tieteiden kanssa",Maaliskuu 2006, 1 st ed. , 1 til. , 362 Sivumäärä , sairas. 17 x 24 cm: n ( ISBN 978-2-86883-821-6 , OCLC 469695981 , BNF huomautus n o FRBNF40034776 , SUDOC 103231013 , online-esitys ) , chap. 15 , s. 325-344.
[Misner, Thorne ja Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner , KS Thorne ja JA Wheeler , gravitaatio ["Gravitaatio"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 st ed. , 1 til. , XXVI -1279 Sivumäärä , sairas. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 ja 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , ilmoitusta BNF n o FRBNF37391055 , Bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , lukea verkossa ).
[Penrose 2007] R. Penrosen ( käännetty mistä Englanti by C. Laroche ), lakien selville maailmankaikkeuden: Hämmästyttävää historia matematiikan ja fysiikan [" Tie todellisuuteen: täydellinen opas lakien Maailmankaikkeuden ”], Pariisi, O.Jacob , kokoelma "Sciences",elokuu 2007, 1 st ed. , 1 til. , XXII -1061 Sivumäärä , sairas. ja kuva. , 15,5 x 24 cm ( ISBN 978-2-7381-1840-0 , EAN 9782738118400 , OCLC 209307388 , ilmoitusta BNF n o b41131526q , SUDOC 118177311 , online-esitys , lukea verkossa ).

Kurssioppaat

[Barrau ja Grain 2016] A. Barrau ja J. Grain , Yleinen suhteellisuusteoria (kurssit ja korjatut harjoitukset), Malakoff, Dunod , coll. "Sciences Sup. ",elokuu 2016, 2 nd ed. ( 1 st ed. elokuu 20111 til. , VIII -231 Sivumäärä 17 x 24 cm: n ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958388884 , ilmoitusta BNF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195038134 , online-esitys , lukea verkossa ).
[Carroll 2019] SM Carroll , Avaruusaika ja geometria : johdanto yleiseen suhteellisuusteoriaan [“Aika-aika ja geometria: johdanto yleiseen suhteellisuusteoriaan]], Cambridge, CUP , hors coll. ,elokuu 2019, 3 ja toim. ( 1 st ed. Syyskuu 20031 til. , XIV -513 Sivumäärä , sairas. , 19,2 x 25,2 cm ( ISBN 978-1-108-48839-6 , EAN 9781108488396 , OCLC 1101387240 , ilmoitusta BNF n o FRBNF45756876 , DOI 10,1017 / 9781108770385 , SUDOC 237699117 , online-esitys , lukea verkossa ).
[Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts , Astrofysiikka: tähdet, maailmankaikkeus ja suhteellisuusteoria (kurssit ja korjatut harjoitukset), Paris, Dunod , coll. "Sciences Sup. ",Elokuu 2012, 2 nd ed. ( 1 st ed. Syyskuu 20061 til. , X -384 Sivumäärä , sairas. ja kuva. 17 x 24 cm: n ( ISBN 978-2-10-058269-3 , EAN 9782100582693 , OCLC 816556703 , ilmoitusta BNF n o FRBNF42740481 , SUDOC 163817030 , online-esitys , lukea verkossa ).
[Peter ja Uzan 2012] P. Peter ja J.-Ph. Uzan ( préf. Of Th. Damour ), Primordial kosmologian , Pariisi, Belin , Coll. "Tikkaat",Helmikuu 2012, 2 nd ed. ( 1 st ed. Syyskuu 20051 til. , 816 Sivumäärä , sairas. 17 x 24 cm: n ( ISBN 978-2-7011-6244-7 , EAN 9782701162447 , OCLC 793482816 , ilmoitusta BNF n o FRBNF42616501 , SUDOC 158540697 , online-esitys , lukea verkossa ).

Sanakirjat ja tietosanakirjat

[Alkseevskiĭ 1995] (en) DV Alkseevskiĭ , " Killing vector " , julkaisussa M. Hazewinkel ( toim. ), Encyclopaedia of mathematics , t. III : Hea - äiti , Dordrecht ja Boston, Kluwer Academic ,1995, 1 st ed. , 1 til. , 950 Sivumäärä , sairas. , 30 cm ( ISBN 1-556-08010-7 , EAN 9781556080104 , OCLC 36916612 , DOI 10.1007 / 978-1-4899-3793-3 , SUDOC 030252288 , online-esitys , lue verkossa ) , sv Killing vector [" Killing vector " ”], S. 391-392.
[Taillet, Villain ja Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain ja P. Febvre , Fysiikan sanakirja , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , paitsi coll. ,Tammikuu 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Toukokuu 20081 til. , X -956 Sivumäärä , sairas. ja kuva. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , online-esitys , lue verkossa ) , sv Killing (vector of), s. 411, pylväs 1.

Alkuperäinen artikkeli

[Tappaminen 1892] (de) W. Killing , " Über die Grundlagen der Geometrie " , J. queen angew. Matematiikka. , voi. 109,Joulu 1892, s. 121-186 ( Bibcode 1892JRAM..109 ..... K , lukea verkossa ).

Aiheeseen liittyvät artikkelit