Noetherin lause (fysiikka)

Otetaan ensin vapaan hiukkasen tapaus, joten meillä on Lagrangian

L=12mq→˙2{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ vec {q}}} ^ {2}}

muuttumaton käännöksellä. Voimme selvästi nähdä, että jos muutamme koordinaattien alkuperää, se ei muuta vapaan hiukkasemme fysiikkaa. Lagrangialainen on siis muuttumaton käännösmuunnoksen avulla

jossa komponentit vektorin kuvataan käännös. Näemme täällä, että meillä on vektorin äärettömän pienelle käännökselle yleisten koordinaattien muunnos, joka on pätevä . Siksi tähän muunnokseen liittyvät konservoituneet määrät ovat ai{\ displaystyle \ alpha _ {i}}5a→=5aie→i{\ displaystyle {\ vec {\ delta \ alpha}} = \ delta \ alpha _ {i} {\ vec {e}} _ {i}}5qi=q~i-qi=5ai{\ displaystyle \ delta q_ {i} = {\ tilde {q}} _ {i} -q_ {i} = \ delta \ alpha _ {i}}

Minäi=∑j∂L∂q˙j∂qj∂ai=∑j∂L∂q˙j5ij=mq˙i=si{\ displaystyle I_ {i} = \ summa _ {j} {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {j}}} {\ frac {\ osittainen q_ {j}} { \ partituali \ alpha _ {i}}} = \ summa _ {j} {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {j}}} \ delta _ {ij} = m { \ dot {q}} _ {i} = p_ {i}} kanssa Kronecker Delta , löydämme komponentit vauhtia vektorin. 5ij{\ displaystyle \ delta _ {ij}} Elokuvahetki

Tarkastellaan nyt tapausta, jossa järjestelmä on invariantti pyörimällä, otetaan esimerkiksi hiukkanen, joka on sijoitettu keskipotentiaaliin , joka meillä sitten on . Järjestelmä on invariantti pyörimällä (nopeusnormi on invariantti pyörimällä), näyttää olevan merkitystä sijoittamalla pallomaisiin koordinaatteihin, meillä on sitten Φ(r){\ displaystyle \ Phi (r)}L=12mq→˙2-Φ(r){\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ vec {q}}} ^ {2} - \ Phi (r)}

L=m2(r˙2+r2θ˙2+r2synti2⁡(θ)ϕ˙2)-Φ(r).{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ vasen ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ piste {\ phi}} ^ {2} \ oikea) - \ Phi (r).}

Transformaatio pyörimiseen liittyvän pallokoordinaateissa voidaan kirjoittaa , jossa ja kaksi kulmat kuvaavat muutosta. Äärettömän pienen muutoksen vuoksi meillä on ja . Siksi voimme nähdä, että nämä kaksi säilytettyä määrää ovat (r,θ,ϕ)→(r,θ~=θ+χ,ϕ~=ϕ+ψ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (r, {\ tilde {\ theta}} = \ theta + \ chi, {\ tilde {\ phi}} = \ phi + \ psi)}χ{\ displaystyle \ chi}ψ{\ displaystyle \ psi}5θ=5χ{\ displaystyle \ delta \ theta = \ delta \ chi}5ϕ=5ψ{\ displaystyle \ delta \ phi = \ delta \ psi}

Minäθ=∂L∂θ˙∂θ∂χ=mr2θ˙etMinäϕ=∂L∂ϕ˙∂ϕ∂ψ=mr2synti2⁡(θ)ϕ˙{\ displaystyle I _ {\ theta} = {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {\ theta}}}}} {\ frac {\ osallinen \ theta} {\ osallinen \ chi}} = herra ^ {2} {\ dot {\ theta}} \ qquad \ mathrm {et} \ qquad I _ {\ phi} = {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {\ phi}}}}} {\ frac {\ partituali \ phi} {\ osittainen \ psi}} = herra ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ piste {\ phi}}} eli kulmamomentin kaksi kulmakomponenttia kerrottuna massalla. Ole kuitenkin varovainen indeksien suhteen, meillä on ja , ja meillä on tietysti ristituotteen määritelmä. L→=r→×v→{\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ kertaa {\ vec {v}}}Minäθ=mLϕ{\ displaystyle I _ {\ theta} = ml _ {\ phi}}Minäϕ=mLθ{\ displaystyle I _ {\ phi} = ml _ {\ theta}}Lr=0{\ displaystyle L_ {r} = 0} Energia

Jos se oli tällä kertaa järjestelmä on aikainvariantti, silloin on olemassa Lagrangen joka on riippumaton ajasta , . Muunnos on tässä käännös ajallisesti, ja sen kääntää ajalliset koordinaatitL(t+5t)=L(t){\ displaystyle L (t + \ delta t) = L (t)}∂tL=0{\ displaystyle \ osittainen _ {t} L = 0}

mikä johtaa pidätettyyn määrään

Minä=∑i∂L∂qi˙∂qi∂t.{\ displaystyle I = \ summa _ {i} {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {q_ {i}}}}}} {\ frac {\ osallinen q_ {i}} {\ osallinen t} }.} Lagrangialainen on myös säilynyt, meillä on kokonaismäärä

H=∑i∂L∂q˙iq˙i-L{\ displaystyle H = \ summa _ {i} {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} {\ piste {q}} _ {i} -L}

joka on konservoitunut, mutta se ei ole mitään muuta kuin järjestelmän Hamiltonin. Hamiltonin (energia) on siis säilynyt (nimenomaisesti) ajasta riippumattomille järjestelmille.

Klassinen kenttäteoria

Noetherin lause on pätevä myös klassisessa kenttäteoriassa, jossa Lagrangian korvataan Lagrangian tiheydellä, joka riippuu kentistä eikä dynaamisista muuttujista. Lauseen muotoilu on suunnilleen sama:

Noetherin lause  -  Kaikki äärettömän pienet muunnokset, jotka jättävät järjestelmän invariantin Lagrangian-tiheyden kvadridivergenssiin asti, vastaavat konservoitunutta määrää.

Että on sanoa Lagrangen tiheys , jossa merkitsee riippuvuus Lagrangen tiheys skalaarikentistä (todistus voidaan yleistää vektori tai tensorial kentät) ( ) ja niiden eri osittaisderivaatoista tilassa ja ajassa ( on operaattori johdannaisen verrattuna hakemistoon eli :) . Kukin kenttä riippuu ainutlaatuinen tila-aika-muuttuja , jossa edustaa aikaa ja on yksi kolmesta tilaa muuttujia . Mukaan periaatteessa vähiten , toiminta kiinteä on oltava paikallaan: L=L[φi(x),∂μφi(x),x]{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x), \ osittainen _ {\ mu} \ varphi _ {i} (x), x]}[φi(x),∂μφi(x),x]{\ displaystyle [\ varphi _ {i} (x), \ osittainen _ {\ mu} \ varphi _ {i} (x), x]}EI{\ displaystyle N}φi(x){\ displaystyle \ varphi _ {i} (x)}i=1,...,EI{\ displaystyle i = 1, ..., N}∂μ{\ displaystyle \ osittainen _ {\ mu}}μ∈{0,...,3}{\ displaystyle \ mu \ sisään \ {0, ..., 3 \}}∂μ≡∂∂xμ{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ equiv {\ frac {\ partial} {\ osittain x ^ {\ mu}}}}x≡(x0,...,x3){\ displaystyle x \ equiv (x ^ {0}, ..., x ^ {3})}x0{\ displaystyle x ^ {0}}xj{\ displaystyle x ^ {j}}j=1,...,3{\ displaystyle j = 1, ..., 3}S[φi(x)]{\ displaystyle S [\ varphi _ {i} (x)]}

S≡∫L[φi(x),∂μφi(x),x]d4x{\ displaystyle S \ equiv \ int {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x), \ osittainen _ {\ mu} \ varphi _ {i} (x), x] d ^ {4} x}

5S=0.{\ displaystyle \ delta S = 0.}

Tämä kiinteän toiminnan periaate johtaa suoraan kenttäteoriassa oleviin Euler-Lagrange-yhtälöihin :

∂μ(∂L∂(∂μφi))-∂L∂φi=0{\ displaystyle \ partituali _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ partitali {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osaa _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ partituali {\ mathcal {L}}} {\ partituali \ varphi _ {i}}} = 0}

missä tässä käytetään Einsteinin toistettujen indeksien sopimusta . Antaa olla äärettömän pieni muutos yhden aloilla , joilla edustaa muodonmuutos kentän ja on äärettömän parametri (todistus voidaan helposti yleistää muodonmuutos useilla aloilla samanaikaisesti). Jos Lagrangian tiheys on muuttumaton lukuun ottamatta kvadri-divergenssiä tämän äärettömän pienen muutoksen alla, eli: φi(x)→φi′(x)=φi(x)+aΔφi(x){\ displaystyle \ varphi _ {i} (x) \ rightarrow \ varphi _ {i} '(x) = \ varphi _ {i} (x) + \ alpha \ Delta \ varphi _ {i} (x)}Δφi(x){\ displaystyle \ Delta \ varphi _ {i} (x)}a{\ displaystyle \ alfa}

L→L+aΔL=L+a∂μJμ(x){\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ rightarrow {\ mathcal {L}} + \ alpha \ Delta {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} + \ alpha \ osittainen _ {\ mu} J ^ {\ mu} (x)}

tiettyä toimintoa varten . Sitten vertaamalla termejä Lagrangian tiheyden Taylorin laajenemisen ensimmäiseen järjestykseen: Jμ{\ displaystyle J ^ {\ mu}}

aΔL=∂L∂φi(aΔφi)+(∂L∂(∂μφi))∂μ(aΔφi)=a∂μ(∂L∂(∂μφi)Δφi)+a[∂L∂φi-∂μ(∂L∂(∂μφi))]Δφi.{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ alpha \ Delta {\ mathcal {L}} & = {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}}} {\ partis \ varphi _ {i}}} (\ alpha \ Delta \ varphi _ {i}) + \ vasen ({\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) \ osal _ {\ mu} (\ alfa \ Delta \ varphi _ {i}) \\ & = \ alfa \ ositettu _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} { \ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ Delta \ varphi _ {i} \ oikea) + \ alfa \ vasen [{\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}}} {\ partituali \ varphi _ {i}}} - \ osaa _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osaa _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) \ oikea] \ Delta \ varphi _ {i}. \ end {tasattu}}}

Toinen termi on tyhjä, koska se toimii kentän Euler-Lagrangen yhtälöllä . Siksi lopuksi suoralla vertailulla: φi{\ displaystyle \ varphi _ {i}}

∂μJμ(x)=∂μ(∂L∂(∂μφi)Δφi){\ displaystyle \ osal _ {\ mu} J ^ {\ mu} (x) = \ osaa _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}}} {\ osallinen (\ osittainen _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ Delta \ varphi _ {i} \ oikea)}

Siten järjestelmästä pidätetty määrä on seuraava:

jμ≡Jμ(x)-∂L∂(∂μφi)Δφi{\ displaystyle j ^ {\ mu} \ equiv J ^ {\ mu} (x) - {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ varphi _ { i})}} \ Delta \ varphi _ {i}}

koska

∂μjμ=0.{\ displaystyle \ osittainen _ {\ mu} j ^ {\ mu} = 0.}

Mittaa muuttumattomuus ja Noetherin toinen lause

Harkitsemme yleensä mitä tahansa Lagrangin tiheyttä

jonka liittyvän toiminnan on oltava paikallaan kenttien äärettömän pienessä muutoksessa Hamiltonin periaatteen mukaisesti . Joten meillä on

5S=∫d4x[∂L∂ψi5ψi+∂L∂(∂μψi)5∂μψi]=∫d4x[(∂L∂ψi-∂μ∂L∂(∂μψi))5ψi+∂μ(∂L∂(∂μψi)5ψi)]=0{\ displaystyle \ delta S = \ int d ^ {4} x \; \ left [{\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen psi _ {i}}} \ delta \ psi _ {i} + {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ osaa _ {\ mu} \ psi _ {i} \ right] = \ int d ^ {4} x \; \ left [\ left ({\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen \ psi _ {i}}} - \ osittainen _ {\ mu} {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittainen _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ oikea) \ delta \ psi _ {i } + \ osittain _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osaa _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ psi _ {i} \ oikea) \ oikea] = 0}

missä käytimme Einsteinin sopimusta toistuvien indeksien summaamiseen ja jossa jätimme sivuun mahdolliset aika-ajan muunnokset (otimme ). Siksi näemme, että voimme muotoilla tämän tuloksen uudelleen yleisesti 5xμ=0{\ displaystyle \ delta x ^ {\ mu} = 0}

[ψ]idψi=-∂μ(∂L∂(∂μψi)5ψi),[ψ]i=∂L∂ψi-∂μ∂L∂(∂μψi){\ displaystyle [\ psi] _ {i} d \ psi _ {i} = - \ osa _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osio {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittainen _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ psi _ {i} \ oikea), \ qquad [\ psi] _ {i} = {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}} } {\ osittainen \ psi _ {i}}} - \ osittainen _ {\ mu} {\ frac {\ osittainen {\ matekal {L}}} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ psi _ {i })}}}

kanssa sen vuoksi edustaa

[ψ]i{\ displaystyle [\ psi] _ {i}}

ψi{\ displaystyle \ psi _ {i}}

Olemme nyt kiinnostuneita muuttumattomasta Lagrangian-tiheydestä mittarimuunnoksen eli paikallisen kenttämuutoksen alla. Tässä tapauksessa näemme, että sovellamme Noetherin toista lausea tällä kertaa.

Tarkemmin sanottuna pidämme tässä invarianttia Lagrangian-tiheyttä äärettömän ulottuvuuden muunnosryhmässä, joka on jatkuvasti riippuvainen toiminnoista , ryhmän, jonka huomaamme . Näemme, että tällaisen muunnoksen tapauksessa yllä olevan yhtälön kenttien ääretön pieni vaihtelu hajoaa ρ{\ displaystyle \ rho}sa(xμ),a=1,...,ρ{\ displaystyle p _ {\ alpha} (x ^ {\ mu}), \; \; \ alpha = 1, \; ..., \; \ rho}G∞ρ{\ displaystyle G _ {\ infty \ rho}}5ψi{\ displaystyle \ delta \ psi _ {i}}

5ψi=∑a[kloai(ψi,∂μψi,xμ)Δsa(xμ)+baiv(ψi,∂μψi,xμ)∂vΔPa(xμ)]{\ displaystyle \ delta \ psi _ {i} = \ summa _ {\ alpha} \ vasen [a _ {\ alpha i} (\ psi _ {i}, \ osittainen _ {\ mu} \ psi _ {i} , x ^ {\ mu}) \ Delta p _ {\ alpha} (x ^ {\ mu}) + b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} (\ psi _ {i}, \ osittainen _ {\ mu} \ psi _ {i}, x ^ {\ mu}) \ osittainen _ {\ nu} \ Delta P _ {\ alpha} (x ^ {\ mu}) \ oikea]}

missä merkinnät merkitsevät sitä, että katsomme äärettömän pieneksi. Siksi näemme, että voimme käyttää edellistä yhtälöä integraalimuodossa saadaksesi Δsa{\ displaystyle \ Delta p _ {\ alpha}}sa{\ displaystyle p _ {\ alpha}}

∫d4x[ψ]i(kloaiΔsa+baiv∂vΔsa)=∫d4x(kloai[ψ]i-∂v(baiv[ψ]i))Δsa+∫d4x∂v(baiv[ψ]i∂vΔsa){\ displaystyle \ int d ^ {4} x \, [\ psi] _ {i} \ vasen (a _ {\ alfa i} \ Delta p _ {\ alpha} + b _ {\ alfa i} ^ {\ nu} \ osittainen _ {\ nu} \ Delta p _ {\ alpha} \ oikea) = \ int d ^ {4} x \, \ vasen (a _ {\ alfa i} [\ psi] _ {i} - \ osittainen _ {\ nu} \ vasen (b _ {\ alfa i} ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ oikea) \ oikea) \ Delta p _ {\ alpha} + \ int d ^ { 4} x \, \ osittainen _ {\ nu} \ vasen (b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ osittainen _ {\ nu} \ Delta p _ {\ alfa} \ oikea)} ⟹∫d4x(kloai[ψ]i-∂v(baiv[ψ]i))Δsa=-∫d4x∂μ(∂L∂(∂μψi)5ψi+baiμ[ψ]iΔsa){\ displaystyle \ Longrightarrow \ qquad \ int d ^ {4} x \ left (a _ {\ alfa i} [\ psi] _ {i} - \ osittainen _ {\ nu} \ vasen (b _ {\ alfa i } ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ oikea) \ oikea) \ Delta p _ {\ alpha} = - \ int d ^ {4} x \, \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ( {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittainen _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ psi _ {i} + b _ {\ alfa i} ^ {\ mu} [\ psi] _ {i} \ Delta p _ {\ alpha} \ oikea)} kuitenkin näemme täällä, että toisen yhtälön toinen termi on reunatermi, ja toiminnot ovat mielivaltaisia, joten voimme aina valita ne niin, että tämä termi perutaan. Sitten saadaan Noetherin toinen lausesa{\ displaystyle p _ {\ alpha}}

Lause  -  Jos toiminta S on muuttumaton muunnosryhmän alla, on olemassa suhteita . G∞ρ{\ displaystyle G _ {\ infty \ rho}}ρ{\ displaystyle \ rho}kloai[ψ]i-∂v(baiv[ψ]i)=0{\ displaystyle a _ {\ alfa i} [\ psi] _ {i} - \ osittainen _ {\ nu} \ vasen (b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ oikea) = 0}

Esimerkki

Harkitse esimerkiksi Lagrangian tiheyttä

L=(∂μ+iqATμ)ψ(∂μ+iqATμ)ψ∗-m2ψψ∗-14FμvFμv{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = (\ osittainen _ {\ mu} + iqA _ {\ mu}) \ psi (\ osittainen ^ {\ mu} + iqA ^ {\ mu}) \ psi ^ {* } -m ^ {2} \ psi \ psi ^ {*} - {\ frac {1} {4}} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu}} missä riippuu vain (ainakin abelin tapauksesta) ensimmäisistä johdannaisista . Se on muuttumaton paikallisen raideleveyden muutoksessa Fμv{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}}ATμ{\ displaystyle A _ {\ mu}}

ψ→ψ~=eiqθ(x)ψ,ψ∗→ψ~∗=e-iqθ(x)ψ∗,ATμ→AT~μ=ATμ+∂μθ(x){\ displaystyle \ psi \ rightarrow {\ tilde {\ psi}} = e ^ {iq \ theta (x)} \ psi, \ qquad \ psi ^ {*} \ rightarrow {\ tilde {\ psi}} ^ {* } = e ^ {- iq \ theta (x)} \ psi ^ {*}, \ qquad A _ {\ mu} \ rightarrow {\ tilde {A}} _ {\ mu} = A _ {\ mu} + \ osittainen _ {\ mu} \ theta (x)}

missä näemme, että tässä meillä on yksi jatkuva toiminto muunnosryhmässämme, jonka olemme huomanneet . Tämä muunnos vastaa äärettömän pienessä muodossa sa{\ displaystyle p _ {\ alpha}}θ(x){\ displaystyle \ theta (x)}

5ψ=iq5θψ,5ψ∗=-iq5θψ∗,5ATμ=∂μθ{\ displaystyle \ delta \ psi = iq \ delta \ theta \ psi, \ qquad \ delta \ psi ^ {*} = - iq \ delta \ theta \ psi ^ {*}, \ qquad \ delta A _ {\ mu} = \ osittainen _ {\ mu} \ theta} meillä sitten on kloψ=iqψ,kloψ∗=-iqψ,bψ=bψ∗kloATμ=0,bATμv=5μv.{\ displaystyle a _ {\ psi} = iq \ psi, \ qquad a _ {\ psi ^ {*}} = - iq \ psi, \ qquad b _ {\ psi} = b _ {\ psi ^ {*} } a_ {A_ {\ mu}} = 0, \ qquad b_ {A _ {\ mu}} ^ {\ nu} = \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu}.}

Johtopäätöksenä on, että tämän Lagrangien-tiheyden tapauksessa meillä on suhde

[ψ]iqψ+[ψ∗](-iqψ∗)=∂μ([ATv]5vμ)=∂μ[ATμ].{\ displaystyle [\ psi] iq \ psi + [\ psi ^ {*}] (- iq \ psi ^ {*}) = \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ([A _ {\ nu}] \ delta _ {\ nu} ^ {\ mu} \ right) = \ osittain _ {\ mu} [A _ {\ mu}].}

Sitten näemme täällä, että jos liikkeen yhtälöt täyttyvät kahdelle massakentälle ja meillä on sitten ψ{\ displaystyle \ psi}ψ∗{\ displaystyle \ psi ^ {*}}

∂μ(∂L∂ATμ-∂v∂L∂(∂vATμ))=0{\ displaystyle \ osittain _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osal {\ mathcal {L}}} {\ osio A _ {\ mu}}} - \ osaa _ {\ nu} {\ frac { \ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osaa _ {\ nu} A _ {\ mu})}} \ oikea) = 0}

tai tietäen, että meillä on, ja päätämme, että tässä virta säilyy. Tämä tarkoittaa erityisesti, että se on täysin antisymmetrinen ja siksi rakennettu . ∂L∂ATμ=0{\ displaystyle {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen A _ {\ mu}}} = 0}∂L∂(∂vATμ)=Fμv{\ displaystyle {\ frac {\ partitali {\ mathcal {L}}} {\ partituali (\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} = F ^ {\ mu \ nu}}Jμ=∂vFμv{\ displaystyle J ^ {\ mu} = \ osittainen _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu}}Fμv{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}∂μATv-∂vATμ{\ displaystyle \ osittainen _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ osittainen _ {\ nu} A _ {\ mu}}

Samoin, jos päinvastoin määräämme, että sähkömagnetismin yhtälöt täyttyvät, ts. Saadaan tavallisen kvadri-sähkövirran säilytysyhtälö [ATμ]=0{\ displaystyle [A _ {\ mu}] = 0}

∂μjμ=0,jμ=iq(ψ∗(∂μ+iqATμ)ψ-ψ(∂μ+iqATμ)ψ∗).{\ displaystyle \ osittainen _ {\ mu} j ^ {\ mu} = 0, \ qquad j ^ {\ mu} = iq \ vasen (\ psi ^ {*} (\ osittain ^ {\ mu} + iqA ^ { \ mu}) \ psi - \ psi (\ osittain ^ {\ mu} + iqA ^ {\ mu}) \ psi ^ {*} \ oikea).}

Sisäiset symmetriat

Huomautuksia ja viitteitä

1. .
2. "  Yhteenveto välisestä suhteesta Noetherin lauseen ja Lagrangen  " , on www-cosmosaf.iap.fr (vapaa käännös J. Fric on Noetherin lauseen pähkinänkuoressa mukaan J. Baez ).
3. (en) Herbert Goldstein , Klassinen mekaniikka , s.  589.
4. (in) Katherine Brading ja Harvey R. Brown, "  Noetherin n lauseet ja mittari Symmetriat  " , arXiv ,2000( lue verkossa ).

Katso myös

Bibliografia

• Amaury Mouchet, Symmetrian tyylikäs tehokkuus , luku.  10 , Dunod , 2013 ( ISBN  9782100589371 ) 240 sivua.
• (en) Nina Byers , "  E. Noetherin löytö symmetrian ja luonnonsuojelulakien välisestä syvästä yhteydestä  " , Procmy of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether , Bar-Ilan University , Israel,2.-4. Joulukuuta 1996, ”  Fysiikka / 9807044  ” , vapaa pääsy tekstin puolesta arXiv .
• (en) G. Sardanashvily  (en) , Noetherin säilyttämislainsäädäntö klassisessa mekaniikassa , 2003. “  math-ph / 0302027  ” , vapaa pääsy tekstiin, arXiv .
• (en) G. Sardanashvily, Noetherin säilyttämislainsäädäntö kvanttimekaniikassa , 2003. “  quant-ph / 0302123  ” , vapaan pääsyn teksti, arXiv-sivustolla .
• [Kosmann-Schwarzbach 2006] Yvette Kosmann-Schwarzbach (kanssa Collab. Laurent Meersseman) Teoreemat Noether: invarianssi ja säilyttäminen lakeja XX th  luvulla: käännöksen alkuperäinen artikkeli, "  muuttumattomia Variationsprobleme  " Palaiseau, Ecole polytechnique , Coll.  "Matematiikan historia",Heinäkuu 2006( uusintapainos. Joulu 2010) 2 e  ed. ( 1 st  ed. Syyskuu 20041  til. , 201  Sivumäärä , portr. ja faksi. 17 x 24  cm: n ( ISBN  2-7302-1138-1 ja 978-2-7302-1138-3 , EAN  9782730211383 , OCLC  793156865 , ilmoitusta BNF n o  FRBNF39289569 , SUDOC  15030952X , online-esitys , lukea verkossa ).
• [Serra ja Ménétrier 2009] Gérard Serra ja Marc Ménétrier , "  Noetherin teoreemat  ", fysiikan ja kemian opettajien liiton tiedote , voi.  103, n °  914,Toukokuu 2009, s.  549-561 ( yhteenveto , lue verkossa [PDF] ).

• [Noether 1918] (de) Emmy Noether , " Invariante Variationsprobleme  " [