Lagrangian

In fysiikka , Lagrangen on dynaaminen järjestelmä on funktio on dynaaminen muuttujien , joka mahdollistaa liikeyhtälöt järjestelmän kirjoitetaan tiiviisti . Sen nimi tulee Joseph-Louis Lagrangelta , joka vahvisti prosessin periaatteet (vuodesta 1788 ).

Liikkeen yhtälöt

Tarkastellaan dynaamista järjestelmää, joka tunnistetaan sijaintiparametreilla $q i$ (kutsutaan myös yleistetyiksi koordinaateiksi ). Ajan myötä nämä parametrit vaihtelevat, ja niiden muutosnopeus on . Joukko järjestelmän parametrien koostuu $q$ $i$ , des ja aika t . Useissa tilanteissa on mahdollista määrittää funktio , joka, jos asetamme: ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d} q_ {i}} {\ mathrm {d} t}}}$ $\ varphi _ {i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i}]}$

si=∂L∂q˙i{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}}} ${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}}}$

(osittainen johdannainen lasketaan ikään kuin parametrit olisivat toisistaan riippumattomia), niin liikeyhtälöt saadaan:

dsidt=∂L∂qi.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen q_ {i}}} .} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen q_ {i}}} .}$

Muodollisesti huomaamme, että nämä yhtälöt saadaan soveltamalla vähiten toiminnan periaatetta (tai äärimmäisen toiminnan periaatetta), joka on kirjoitettu:

5S5φi=0{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0}$

jossa toiminta . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (s)] {} \, \ mathrm {d} ^ {n} s}}$

Saadut liikeyhtälöt vastaavat sitten edellisestä periaatteesta johtuvia Euler-Lagrange-yhtälöitä . Dynaaminen järjestelmä, jonka liikeyhtälöt voidaan saada Lagrangianista, on Lagrangian dynaaminen järjestelmä . Tämä pätee vakiomallin klassiseen versioon , Newtonin yhtälöihin , yleisen suhteellisuusteorian yhtälöihin ja puhtaasti matemaattisiin ongelmiin, kuten geodeettisiin yhtälöihin tai Plateau-ongelmaan .

Lagrangian klassisessa mekaniikassa

Lagrangian mekaniikka oli historiallisesti klassisen mekaniikan uudelleen muotoilu käyttäen Lagrangianin käsitettä. Tässä yhteydessä Lagrangian määritellään yleensä kineettisen energian E c = T ja potentiaalisen energian E p = V erolla :

L=Evs.-Es=T-V.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.} ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.}$

Tällä formalismilla Lagrangen yhtälö kirjoitetaan:

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osallinen q_ {k}}}.} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osallinen q_ {k}}}.}$ Esittely

Tarkastellaan järjestelmää, joka koostuu $m i: n materiaalipisteistä$ . Näiden pisteiden sijainnit ovat sijaintiparametrien $q$ $k$ funktio , jotka jälkimmäiset vaihtelevat ajan myötä. Nämä pisteet altistuvat sitoutumisvoimille , muiden voimien seurauksena . Jos kitkaa ei ole, sidosvoimien virtuaalinen työ virtuaalisen siirtymän aikana on nolla. Kunkin hiukkasen nopeuden antaa: ${\ vec r} _ {i}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i}}$ $\ vec F_i$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} _ {i}}$

ri→˙=dr→idt=∑j∂r→i∂qjdqjdt=∑j∂r→i∂qjq˙j.{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ summa _ {j} {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ summa _ {j} {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittain q_ {j}}} {\ piste {q}} _ {j} .}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ summa _ {j} {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ summa _ {j} {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittain q_ {j}}} {\ piste {q}} _ {j} .}

Se on t: n ,

q j: n

ja: n funktio .

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j}}

Järjestelmän kineettinen energia saadaan:

T=12∑imir˙→i2.{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

Ottaen huomioon edellisen lausekkeen :

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}}

∂T∂q˙k=∑imi⟨r→˙i,∂r→˙i∂q˙k⟩=∑imi⟨r→˙i,∂r→i∂qk⟩{\ displaystyle {\ frac {\ osal T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} = \ summa _ {i} m_ {i} \ vasen \ langle {\ piste {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ piste {\ vec {r}}} _ {i}} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} \ oikea \ rangle = \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} { \ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {\ osal T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} = \ summa _ {i} m_ {i} \ vasen \ langle {\ piste {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ piste {\ vec {r}}} _ {i}} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} \ oikea \ rangle = \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} { \ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle}

jossa havaitsimme vektorien välisen skalaarisen tuloksen ⟨,⟩. Joten meillä on: ddt∂T∂q˙k=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∑imi⟨r→˙i,ddt∂r→i∂qk⟩=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∑imi⟨r→˙i,∑j∂2r→i∂qk∂qjq˙j⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} = \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osal {{vec} {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ { k}}} \ oikea \ rangle + \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle = \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osal {{vec} {r}} _ {i}} {\ osaa q_ {k}}} \ oikea \ rangle + \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ osittainen ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k} \ osittainen q_ {j}}} {\ piste {q}} _ {j} \ oikea \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} = \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osal {{vec} {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ { k}}} \ oikea \ rangle + \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle = \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osal {{vec} {r}} _ {i}} {\ osaa q_ {k}}} \ oikea \ rangle + \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ osittainen ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k} \ osittainen q_ {j}}} {\ piste {q}} _ {j} \ oikea \ rangle.}

Mutta ei kukaan muu kuin . Siksi :

{\ displaystyle \ summa _ {j} {\ frac {\ osittainen ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k} \ osallinen q_ {j}}} {\ piste { q}} _ {j}}

{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {}} {\ osallinen q_ {k}}} \ summa _ {j} {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osallinen q_ { j}}} {\ dot {q}} _ {j} = {\ frac {\ osittainen {\ piste {\ vec {r}}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}}}

ddt∂T∂q˙k=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∑imi⟨r→˙i,∂r→˙i∂qk⟩=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∂T∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} = \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osal {{vec} {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ { k}}} \ oikea \ rangle + \ summa _ {i} m_ {i} \ vasen \ langle {\ piste {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ piste {\ vec {r}}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle = \ summa _ {i} m_ {i} \ vasen \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle + {\ frac {\ osittainen T} {\ osallinen q_ { k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} = \ summa _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osal {{vec} {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ { k}}} \ oikea \ rangle + \ summa _ {i} m_ {i} \ vasen \ langle {\ piste {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ piste {\ vec {r}}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle = \ summa _ {i} m_ {i} \ vasen \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle + {\ frac {\ osittainen T} {\ osallinen q_ { k}}}}

siksi : ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ osittainen T} {\ osallinen q_ {k}}} = \ summa _ {i} m_ {i} \ vasen \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ osittainen T} {\ osallinen q_ {k}}} = \ summa _ {i} m_ {i} \ vasen \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle.}

Dynaamisen perusperiaatteen soveltaminen on, ottaen huomioon, että yhteysvoimien suhteen :

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {f}} _ {i}, {\ frac {\ osal {{vec} {r}} _ {i}} {\ osaa q_ {k}}} \ oikea \ rangle = 0}

ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑i⟨F→i,∂r→i∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partituali} {\ partituali q_ {k}}} = \ summa _ {i} \ vasen \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partituali} {\ partituali q_ {k}}} = \ summa _ {i} \ vasen \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} \ oikea \ rangle.}

Oletetaan, että kukin voima johtuu potentiaalisesta

U

i

-funktiosta , niin että (missä merkitsee gradienttia). Sitten meillä on:

\ vec F_i

{\ vec r} _ {i}

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i} = - {\ vec {\ nabla}} U_ {i}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}

⟨F→i,∂r→i∂qk⟩=-⟨∇→Ui,∂r→i∂qk⟩=-∂Ui∂qk{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ partitali q_ {k}}} \ oikea \ rangle = - \ vasen \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittain q_ {k}}} \ oikea \ rangle = - {\ frac {\ osittainen U_ {i}} {\ osittainen q_ {k}}}}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ partitali q_ {k}}} \ oikea \ rangle = - \ vasen \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ osittainen {\ vec {r}} _ {i}} {\ osittain q_ {k}}} \ oikea \ rangle = - {\ frac {\ osittainen U_ {i}} {\ osittainen q_ {k}}}}

ja niin : ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=-∑i∂Ui∂qk=-∂V∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ osal T} {\ osittain q_ {k}}} = - \ summa _ {i} {\ frac {\ osaa U_ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} = - {\ frac {\ osittainen V} {\ osittainen q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ osal T} {\ osittain q_ {k}}} = - \ summa _ {i} {\ frac {\ osaa U_ {i}} {\ osittainen q_ {k}}} = - {\ frac {\ osittainen V} {\ osittainen q_ {k}}}}

mikä kesti

V

summa

U i

. Toiminto

V

riippuu vain

q k

niin, jos asetamme , saamme:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osallinen q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}}} {\ osallinen q_ {k}}}}

mikä on todellakin ilmoitettu Lagrangen yhtälö.

Lagrangian ainutlaatuisuus

Tietyn Lagrangianin tapauksessa , jos se on mahdollista kirjoittaa uudestaan siten, että missä $F$ on mikä tahansa järjestelmän yleistettyjen koordinaattien jatkuva ja erilainen funktio, se täyttää myös Euler-Lagrange-yhtälöt. ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ piste {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F (q_ {i}, t)} {\ mathrm {d} t}}}$ $L '$

Esittely

Antaa olla Lagrangian . Oletetaan, että voimme kirjoittaa sen uudelleen missä tahansa yleisten koordinaattien ja ajan funktiossa (tällainen funktio voi esiintyä suorittamalla esimerkiksi järjestelmän koordinaattien muunnoksen). Tässä tapauksessa meillä on: ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ piste {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle F = F (q_ {i}, t)}$

0=ddt(∂L∂q˙i)-∂L∂qi=ddt(∂L′∂q˙i)-∂L′∂qi+ddt(∂∂q˙idFdt)-∂∂qidFdt.{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {q }} _ {i}}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ matrm {d} t }} \ vasen ({\ frac {\ partituali L '} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen L'} {\ osittainen q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ partitali {{osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ oikea) - {\ frac {\ partituali {\ osittainen q_ {i}}} {\ frac {\ matrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {tasattu}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {q }} _ {i}}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ matrm {d} t }} \ vasen ({\ frac {\ partituali L '} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen L'} {\ osittainen q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ partitali {{osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ oikea) - {\ frac {\ partituali {\ osittainen q_ {i}}} {\ frac {\ matrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {tasattu}}}$

Voimme kirjoittaa $F$ : n kokonaisjohdannaisen uudelleen seuraavasti :

dFdt=∑k∂F∂qkdqkdt+∂F∂t=∑k∂F∂qkq˙k+∂F∂t{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ summa _ {k} {\ frac {\ osittainen F} {\ osallinen q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen t}} \\ & = \ summa _ { k} {\ frac {\ osittainen F} {\ osallinen q_ {k}}} {\ piste {q}} _ {k} + {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen t}} \\\ loppu { tasattu}}} ${\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ summa _ {k} {\ frac {\ osittainen F} {\ osallinen q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen t}} \\ & = \ summa _ { k} {\ frac {\ osittainen F} {\ osallinen q_ {k}}} {\ piste {q}} _ {k} + {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen t}} \\\ loppu { tasattu}}}$

Joten . Lisätään tämä yllä olevaan Euler-Lagrange-yhtälöön: ${\ displaystyle {\ frac {\ partituali {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen q_ {i}}}}$

0=ddt(∂L′∂q˙i)-∂L′∂qi+ddt∂F∂qi-∂∂qidFdt=ddt(∂L′∂q˙i)-∂L′∂qi{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ osal L '} {\ osio {\ piste { q}} _ {i}}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen L '} {\ osittainen q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ partitio F} {\ partitali q_ {i}}} - {\ frac {\ partitali {\ osittainen q_ {i}}} {\ frac {\ matrm {d} F} {\ matrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ osal L '} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen L '} {\ osittainen q_ {i}}} \ loppu {tasattu}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ osal L '} {\ osio {\ piste { q}} _ {i}}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen L '} {\ osittainen q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ partitio F} {\ partitali q_ {i}}} - {\ frac {\ partitali {\ osittainen q_ {i}}} {\ frac {\ matrm {d} F} {\ matrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ osal L '} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen L '} {\ osittainen q_ {i}}} \ loppu {tasattu}}}$

ja näin ollen näemme, että Lagrangian tyydyttää myös Euler-Lagrange-yhtälöt. $L '$

Tämä Lagrangian muunnosominaisuus osoittaa, että järjestelmän Lagrangian-arvo ei ole koskaan ainutlaatuinen, koska Lagrangian- muotoon voidaan aina lisätä muodon termi säilyttäen liikkeen yhtälöt. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$

Esimerkki suorakulmaisissa koordinaateissa

Aika johdannainen muuttuvan ilmaistaan kohta sen yläpuolella. Joten jos on sijainti, ilmoittaa nopeuden ja kiihtyvyyden. $\ vec {x}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ piste {\ vec {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ vec {v}}} = {\ ddot {\ vec {x}}}}$

Lagrangen on ei- relativistic hiukkasen massa m on kolmiulotteinen Euclidean tilan , altistetaan mahdollinen $E$ $p on$ kirjoitettu:

L(x→,x→˙) = Evs.-Es = 12 m v→2 - V(x→) = 12 m x→˙2 - V(x→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})} ${\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})}$

tai

L(x→,x→˙) = s→22m - V(x→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

{\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

missä p on liikemäärä: s→ = m v→ = m x→˙{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

Sovelletaan Euler-Lagrange-yhtälöitä suorakulmaisissa koordinaateissa :

d dt (∂L∂x˙i) - ∂L∂xi = 0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ vasen (\, {\ frac {\ osal L} {\ osittainen {\ piste {x}} _ {i }}} \, \ oikea) \ - \ {\ frac {\ osittainen L} {\ osittain x_ {i}}} \ = \ 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ vasen (\, {\ frac {\ osal L} {\ osittainen {\ piste {x}} _ {i }}} \, \ oikea) \ - \ {\ frac {\ osittainen L} {\ osittain x_ {i}}} \ = \ 0}

jossa indeksi i osoittaa yhden kolmesta paikkamuuttujasta:

x 1 = x

x 2 = y

x 3 = z

. Vastaavat johdannaiset antavat sitten:

L (\ vec {x}, \ piste {\ vec {x}})

∂L∂xi = - ∂V∂xi{\ displaystyle {\ frac {\ osal L} {\ osittain x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ osaa V} {\ osaa x_ {i}}}} ${\ displaystyle {\ frac {\ osal L} {\ osittain x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ osaa V} {\ osaa x_ {i}}}}$

∂L∂x˙i = ∂ ∂x˙i(12 m x→˙2) = mx˙i{\ displaystyle {\ frac {\ osal L} {\ osittainen {\ piste {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ osaa ~} {\ osallinen {\ piste {x}} _ { i}}} \, \ vasen (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ osal L} {\ osittainen {\ piste {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ osaa ~} {\ osallinen {\ piste {x}} _ { i}}} \, \ vasen (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}}$

d dt (∂L∂x˙i) = mx¨i{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ vasen (\, {\ frac {\ osal L} {\ osittainen {\ piste {x}} _ {i }}} \, \ oikea) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ vasen (\, {\ frac {\ osal L} {\ osittainen {\ piste {x}} _ {i }}} \, \ oikea) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}}$

joten saamme nimenomaisesti jokaiselle tila-akselille i :

mx¨i + ∂V∂xi = 0{\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ osa V} {\ osittain x_ {i}}} \ = \ 0} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ osa V} {\ osittain x_ {i}}} \ = \ 0}$

Vuonna Galilein viitekehys ja kun voima on peräisin mahdollisista V

F→tuloksellinen = - ∇→V(x){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)} ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)}$ löydämme Newtonin toisen lain :

m klo→ =m x→¨ = F→tuloksellinen.{\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.} ${\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.}$

Pallomaisissa koordinaateissa

Tarkastellaan kolmiulotteista avaruutta pallomaisissa koordinaateissa ja Lagrangian: $(r, \ theta, \ varphi)$

L=m2(r˙2+r2θ˙2+r2synti2⁡(θ)φ˙2)-V(r,θ,φ).{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ vasen ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).} ${\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ vasen ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).}$

Sitten kirjoitetaan Euler-Lagrange-yhtälöt:

ddt(5(L)5(r˙))-5(L)5(r)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ oikea) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ oikea) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

ddt(5(L)5(θ˙))-5(L)5(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ oikea) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ oikea) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

ddt(5(L)5(φ˙))-5(L)5(φ)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ oikea) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ oikea) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

Joko täällä:

mr¨-mr(θ˙2+synti2⁡(θ)φ˙2)+Vr′=0,{\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ oikea) + V_ {r} '= 0,} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ oikea) + V_ {r} '= 0,}$

(mr2θ¨)+2mrr˙θ˙-mr2synti⁡(θ)cos⁡(θ)φ˙2+Vθ′=0,{\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,} ${\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,}$

m(r2synti2⁡(θ)φ¨+2rr˙synti2⁡(θ)φ˙+2r2cos⁡(θ)synti⁡(θ)θ˙φ˙)+Vφ′=0.{\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.} ${\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.}$

Tässä parametrisarja supistetaan ajallaan , ja dynaamiset muuttujat ovat hiukkasten reittejä . $jos}$ $t$ $\ varphi_i (s)$ $\ vec x (t)$

Lagrangian kenttäteoriassa

Luokitus

Kiinteä on Lagrangen ajan on toiminta , huomattava . Vuonna kenttään Teoriassa , joskus erottaa Lagrangen , jonka integraali ajan on toimia: $S$ $L$

S=∫Ldt{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

Lagrangian tiheydestä , joka integroidaan koko aika-ajan toiminnan saamiseksi: $\ mathcal {L}$

S[φi]=∫L[φi(x)]d4x.{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

Lagrangian on siis Lagrangian tiheyden spatiaalinen integraali. Sitä kutsutaan kuitenkin usein yksinkertaisesti Lagrangianiksi, varsinkin nykyaikaisessa käytössä. Se on yksinkertaisempaa relativistisissa teorioissa, joissa tila määritellään paikallisesti. Nämä kaksi Lagrangian-tyyppiä voidaan nähdä erityistapauksina yleisemmästä kaavasta riippuen siitä, lisätäänkö paikkamuuttuja hakemistoihin vai parametreihin kirjoitusta varten . Kvanttiteoria alan hiukkasfysiikan, kuten Kvanttisähködynamiikka , kirjoitetaan yleensä kannalta Lagrangen tiheydet , nämä termit ovat helposti muuntaa antamaan sääntöjä, joiden perusteella arvioidaan Feynman kaavioita . $\ mathcal {L}$ $\ vec x$ $i$ $s$ $\ varphi_i (s)$ $\ mathcal {L}$

Euler-Lagrange-yhtälöt

Euler-Lagrange-yhtälöt kenttäteoriassa kirjoitetaan : ${\ displaystyle \ kaikki i}$

0=∂μ(∂L∂(∂μφi))-∂L∂φi.{\ displaystyle 0 = \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ partitali {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}}.} ${\ displaystyle 0 = \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ partitali {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}}.}$

Lagrangian tiheyden ainutlaatuisuus klassisessa kenttäteoriassa

Mitä tulee Lagrangian ainutlaatuisuuteen, Lagrangian tiheys kenttäteoriassa ei ole ainutlaatuinen. Olkoon sitten Lagrangin tiheys , jos voimme kirjoittaa sen uudelleen siten, missä on kvadrivektori, joka riippuu vain kentistä (eikä niiden johdannaisista) ja avaruus-vektorista, täyttävät sitten samat Euler-Lagrange-yhtälöt . $\ mathcal {L}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} '+ \ osittain _ {\ mu} F ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu} = F ^ {\ mu} [\ varphi, x]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Esittely

Alkaen alkuperäisen Lagrangian-tiheyden Euler-Lagrange-yhtälöistä, meillä on kaikki : $i$

0=∂μ(∂L∂(∂μφi))-∂L∂φi=∂μ(∂L′∂(∂μφi))-∂L′∂φi+∂μ[∂∂(∂μφi)∂vFv]-∂∂φi∂vFv{\ displaystyle {\ begin {tasattu} 0 & = \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen \ varphi _ {i}}} \\ & = \ osaa _ {\ mu} \ vasen ({ \ frac {\ osal {{mathcal {L}} '} {\ osittainen (\ osaa _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L} } '} {\ partituali \ varphi _ {i}}} + \ osittainen _ {\ mu} \ vasen [{\ frac {\ osallinen} {\ osittainen (\ osaa _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ osittainen _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ oikea] - {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ varphi _ {i}}} \ osittainen _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {tasattu}}} ${\ displaystyle {\ begin {tasattu} 0 & = \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}}} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osittainen \ varphi _ {i}}} \\ & = \ osaa _ {\ mu} \ vasen ({ \ frac {\ osal {{mathcal {L}} '} {\ osittainen (\ osaa _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L} } '} {\ partituali \ varphi _ {i}}} + \ osittainen _ {\ mu} \ vasen [{\ frac {\ osallinen} {\ osittainen (\ osaa _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ osittainen _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ oikea] - {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ varphi _ {i}}} \ osittainen _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {tasattu}}}$

Voimme kirjoittaa vektorin kvadridivergenssin uudelleen seuraavasti : ${\ displaystyle F ^ {\ nu}}$

∂μFμ[φi,x]=∑i∂Fμ∂φi∂μφi→∂∂(∂μφi)∂vFv=∂Fv∂φi.{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ osittainen _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ summa _ {i} {\ frac {\ osittainen F ^ {\ mu}} {\ partituali \ varphi _ {i}}} \ osittainen _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ oikeanpuoleinen nuoli {\ frac {\ osallinen} {\ osittainen (\ osaa _ {\ mu} \ varphi _ {i})}}} osittainen _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ osittainen F ^ {\ nu}} {\ osittainen \ varphi _ {i}}}. \ loppu {tasattu}}}

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ osittainen _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ summa _ {i} {\ frac {\ osittainen F ^ {\ mu}} {\ partituali \ varphi _ {i}}} \ osittainen _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ oikeanpuoleinen nuoli {\ frac {\ osallinen} {\ osittainen (\ osaa _ {\ mu} \ varphi _ {i})}}} osittainen _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ osittainen F ^ {\ nu}} {\ osittainen \ varphi _ {i}}}. \ loppu {tasattu}}}

Siten lisäämällä tämä identiteetti yllä olevaan yhtälöön saadaan:

0=∂μ(∂L′∂(∂μφi))-∂L′∂φi+∂μ[∂Fμ∂φi]-∂∂φi∂vFv=∂μ(∂L′∂(∂μφi))-∂L′∂φi{\ displaystyle {\ begin {tasattu} 0 & = \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}} '} {\ osittainen (\ ositettu _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}} '} {\ osittainen \ varphi _ {i}}} + \ osaa _ {\ mu} \ vasen [{\ frac {\ osittainen F ^ {\ mu}} {\ osittainen \ varphi _ {i}}} \ oikea] - {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ varphi _ {i}}} \ osittainen _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}} '} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}} '} {\ osittainen \ varphi _ {i}}} \ loppu {tasattu}}}

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} 0 & = \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}} '} {\ osittainen (\ ositettu _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}} '} {\ osittainen \ varphi _ {i}}} + \ osaa _ {\ mu} \ vasen [{\ frac {\ osittainen F ^ {\ mu}} {\ osittainen \ varphi _ {i}}} \ oikea] - {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ varphi _ {i}}} \ osittainen _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osallinen {\ mathcal {L}} '} {\ osittainen (\ osittain _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {L}} '} {\ osittainen \ varphi _ {i}}} \ loppu {tasattu}}}

ja siten Lagrangin tiheys täyttää samat Euler-Lagrange-yhtälöt kuin tiheys . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Sähkömagneettinen Lagrangian

Yleensä Lagrangian mekaniikassa Lagrangian on syytä:

L=T-V{\ displaystyle L = TV}

{\ displaystyle L = TV}

missä T on kineettinen energia ja V on potentiaalinen energia.

Kun otetaan huomioon sähköisesti varautunut hiukkanen m ja varaus q sekä nopeus skalaaripotentiaalin ja vektoripotentiaalin sähkömagneettisessa kentässä, hiukkasen kineettinen energia on: ${\ vec {vb}}$ $\ phi$ $\ vec {A}$

T=12mv→⋅v→{\ displaystyle T = {1 \ yli 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

{\ displaystyle T = {1 \ yli 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

ja sen potentiaalinen energia on: V=qϕ-qv→⋅AT→.{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

Tällöin sähkömagneettinen Lagrangian on:

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅AT→.{\ displaystyle L = {1 \ yli 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

{\ displaystyle L = {1 \ yli 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

Esittely

Sähkömagneettinen Lagrangian on rakennettu Lorentz-voiman ilmaisusta, joka on, muistakaamme, ei-konservatiivinen voima. Jos se ei johdu klassisesta potentiaalista, se johtuu toisaalta potentiaalista, joka tunnetaan yleistettynä Lagrange-yhtälöiden merkityksessä . Sen potentiaalinen energia V todellakin täyttää seuraavan yhtälön:

F→=ddt∂V(r→,v→,t)∂v→-∂V(r→,v→,t)∂r→(∗).{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ osittainen {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ osittainen V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ osittainen {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ osittainen {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ osittainen V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ osittainen {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

Lorentz-voima ilmaistaan seuraavasti:

F→=q(E→+v→×B→).{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ kertaa {\ vec {B}}).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ kertaa {\ vec {B}}).}

Maxwellin mukaan:

B→=∇→×AT→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {A}}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {A}}}

∇→×E→=-∂B→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {E}} = - {\ frac {\ osittainen {\ vec {B}}} {\ osittainen t}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {E}} = - {\ frac {\ osittainen {\ vec {B}}} {\ osittainen t}}}

Siksi : ∇→×E→=-∂∂t(∇→×AT→)=∇→×(-∂AT→∂t){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {E}} = - {\ frac {\ parts} {\ part t}} ({\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ kertaa \ vasemmalle (- {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} \ oikea)}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {E}} = - {\ frac {\ parts} {\ part t}} ({\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ kertaa \ vasemmalle (- {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} \ oikea)}

⇒∇→×(E→+∂AT→∂t)=0{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ kertaa \ vasen ({\ vec {E}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} \ oikea) = 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ kertaa \ vasen ({\ vec {E}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} \ oikea) = 0}

joten on olemassa sellainen potentiaali , että $\ phi$ ${\ displaystyle {\ vec {E}} + {\ frac {\ osal {{vec} {}}} {\ osittainen t}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi}$

Siksi: . ${\ displaystyle {\ vec {F}} = q (- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} + {\ vec { v}} \ kertaa ({\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {A}})}}$

Nyt Gibbsin kaavan mukaan: $\ vec v \ kertaa (\ vec \ nabla \ times \ vec A) = \ vec \ nabla (\ vec v \ cdot \ vec A) - (\ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A$

⇒F→=q[-∇→ϕ-∂AT→∂t+∇→(v→⋅AT→)-(v→⋅∇→)AT→]{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

=-q[∂AT→∂t+(v→⋅∇→)AT→]+q[-∇→ϕ+∇→(v→⋅AT→)]=-q[∂AT→∂t+(v→⋅∇→)AT→]+q∇→[-ϕ+(v→⋅AT→)]{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osittainen t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ vasen [{\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ oikea] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osittainen t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ vasen [{\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ oikea] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

=-q[∂AT→∂t+(v→⋅∇→)AT→]-∂∂r→q[ϕ-(v→⋅AT→)].{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ osal {{vec} {}}} {\ osittainen t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ partic} {\ daļ {{vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ osal {{vec} {}}} {\ osittainen t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ partic} {\ daļ {{vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

Let: . $V '= q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)] \ quad \ Rightarrow \ quad \ vec F = -q \ left [\ frac {\ partial \ vec A} {\ part t} + ( \ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A \ oikea] - \ frac {\ osittainen V '} {\ osittainen \ vec r}$

Määritetään : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osaa V '} {\ osittainen {\ vec {v}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partisali V '} {\ partituali \ \ vec {v}}}} = - q {\ vec {A}} \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} {\ frac {\ osal V '} {\ osittainen {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm { d} t}}}

Kulta: ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}} = {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} \, \ mathrm {d} t + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittain x}} \, \ mathrm {d} x + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen y}} \, \ mathrm {d } y + {\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osittainen z}} \, \ mathrm {d} z \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec { A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osaa t}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} { \ osal x}} {\ piste {x}} + {\ frac {\ osallinen {\ vec {A}}} {\ osioinen y}} {\ piste {y}} + {\ frak {\ osallinen {\ vec {A}}} {\ osittainen z}} {\ piste {z}}}$

⇒ddt∂V′∂v→=-qdAT→dt=-q∂AT→∂t-q[+∂AT→∂xx˙+∂AT→∂yy˙+∂AT→∂zz˙].{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osal V '} {\ osittainen {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} - q \ vasen [+ {\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osallinen x}} {\ piste {x}} + {\ frak {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osallinen y} } {\ piste {y}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen z}} {\ piste {z}} \ oikea].}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osal V '} {\ osittainen {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen t}} - q \ vasen [+ {\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osallinen x}} {\ piste {x}} + {\ frak {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osallinen y} } {\ piste {y}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen z}} {\ piste {z}} \ oikea].}

Voimme huomata ohimennen:

∂AT→∂xx˙+∂AT→∂yy˙+∂AT→∂zz˙=(x˙∂ATx∂x+y˙∂ATx∂y+z˙∂ATx∂zx˙∂ATy∂x+y˙∂ATy∂y+z˙∂ATy∂zx˙∂ATz∂x+y˙∂ATz∂y+z˙∂ATz∂z)=(x˙∂∂x+y˙∂∂y+z˙∂∂z)(ATxATyATz)=[(x˙y˙z˙)⋅(∂∂x∂∂y∂∂z)](ATxATyATz){\ displaystyle {\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osallinen x}} {\ piste {x}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osallinen y} } {\ piste {y}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen z}} {\ piste {z}} = {\ aloita {pmatrix} {} {\ piste {x }} {\ frac {\ osittainen A_ {x}} {\ osittainen x}} + {\ piste {y}} {\ frac {\ osittainen A_ {x}} {\ osallinen y}} + {\ piste {z }} {\ frac {\ osa A_ {x}} {\ osittainen z}} \\ {\ piste {x}} {\ frac {\ osittainen A_ {y}} {\ osallinen x}} + {\ piste { y}} {\ frac {\ osittainen A_ {y}} {\ osittainen y}} + {\ piste {z}} {\ frac {\ osittainen A_ {y}} {\ osittainen z}} \\ {\ piste {x}} {\ frac {\ osittainen A_ {z}} {\ osallinen x}} + {\ piste {y}} {\ frac {\ osittainen A_ {z}} {\ osittainen y}} + {\ piste {z}} {\ frac {\ partituuli A_ {z}} {\ osittainen z}} \ end {pmatrix}} = ({\ piste {x}} {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen x}} + {\ piste {y}} {\ frac {\ osittainen} {\ osallinen y}} + {\ piste {z}} {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen z}}) {{aloita {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ vasen [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partitali} {\ partituali x}} \\ {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen y}} \\ {\ frac {\ partituali {\ osittainen z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osallinen x}} {\ piste {x}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osallinen y} } {\ piste {y}} + {\ frac {\ osittainen {\ vec {A}}} {\ osittainen z}} {\ piste {z}} = {\ aloita {pmatrix} {} {\ piste {x }} {\ frac {\ osittainen A_ {x}} {\ osittainen x}} + {\ piste {y}} {\ frac {\ osittainen A_ {x}} {\ osallinen y}} + {\ piste {z }} {\ frac {\ osa A_ {x}} {\ osittainen z}} \\ {\ piste {x}} {\ frac {\ osittainen A_ {y}} {\ osallinen x}} + {\ piste { y}} {\ frac {\ osittainen A_ {y}} {\ osittainen y}} + {\ piste {z}} {\ frac {\ osittainen A_ {y}} {\ osittainen z}} \\ {\ piste {x}} {\ frac {\ osittainen A_ {z}} {\ osallinen x}} + {\ piste {y}} {\ frac {\ osittainen A_ {z}} {\ osittainen y}} + {\ piste {z}} {\ frac {\ partituuli A_ {z}} {\ osittainen z}} \ end {pmatrix}} = ({\ piste {x}} {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen x}} + {\ piste {y}} {\ frac {\ osittainen} {\ osallinen y}} + {\ piste {z}} {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen z}}) {{aloita {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ vasen [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partitali} {\ partituali x}} \\ {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen y}} \\ {\ frac {\ partituali {\ osittainen z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

Siksi: . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osittainen t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osa V '} {\ osittainen {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q \ left [{\ frac {\ osal {{vec {A}}} {\ osaa t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] \ Rightarrow {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partituali {\ osittainen {\ vec {v}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} )] - {\ frac {\ partial} {\ osittainen {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}$

V′=q[ϕ-(v→⋅AT→)]{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

täyttää edellä esitetyn Lagrangen yhtälön (*). on siis potentiaalienergia suhteessa Lorentzin voimaan, jonka Lagrangian on .

V '

\ quad L = \ frac {1} {2} m \ vec {v} ^ 2 - q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)]

Toinen mielenosoitus

Tässä lisäyksessä ehdotetaan tarkistaa, että Lagrangian

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅AT→{\ displaystyle L = {1 \ yli 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

{\ displaystyle L = {1 \ yli 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

antaa dynamiikan perusperiaatteen massahiukkaselle m ja sähkövaraukselle q, joka altistetaan Lorentzin voimalle. Siksi se on mielenosoitus edelliseen päinvastaiseen suuntaan.

Kirjoitamme nimenomaisesti indeksoiduilla suorakulmaisilla koordinaateilla $L$ $x_1, x_2, x_3.$

Joten meillä on:

L=12m∑i=13xi˙2+q∑i=13xi˙ATi-qϕ,{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} ^ {2} + q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} ^ {2} + q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

- vektoripotentiaalin komponentin n kanssa i ja

A_i = A_i (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t)

\ vec {A}

\ phi = \ phi (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t).

Arvioidaan komponentin n ° 1 Lagrangen yhtälöt:

∂L∂x1=q∑i=13xi˙∂ATi∂x1-q∂ϕ∂x1jaddt∂L∂x1˙=ddt(mx1˙+qAT1)=md2x1dt2+qdAT1dt.{\ displaystyle {\ frac {\ osal L} {\ osittain x_ {1}}} = q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {i}} {\ osittainen x_ {1}}} - q {\ frac {\ osittainen \ phi} {\ osittain x_ {1}}} \ qquad {\ teksti {ja}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {x_ {1}}}}}} = {\ frac {\ matrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ oikea) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ osal L} {\ osittain x_ {1}}} = q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {i}} {\ osittainen x_ {1}}} - q {\ frac {\ osittainen \ phi} {\ osittain x_ {1}}} \ qquad {\ teksti {ja}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {x_ {1}}}}}} = {\ frac {\ matrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ oikea) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

Kokonaisjohdannainen ajan suhteen on kuitenkin yhtä suuri kuin sen hiukkasjohdannainen:

A_1

dAT1dt=∂AT1∂t+∑i=13xi˙∂AT1∂xi.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen t}} + \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen x_ {i}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen t}} + \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen x_ {i}}}.}

Tästä johtuen komponentin nro 1 liikeyhtälön ilmaisu: md2x1dt2+qdAT1dt=q∑i=13xi˙∂ATi∂x1-q∂ϕ∂x1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {i}} {\ osittain x_ { 1}}} - q {\ frac {\ osittainen \ phi} {\ osittainen x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {i}} {\ osittain x_ { 1}}} - q {\ frac {\ osittainen \ phi} {\ osittainen x_ {1}}}}

md2x1dt2+q∂AT1∂t+q∑i=13xi˙∂AT1∂xi=q∑i=13xi˙∂ATi∂x1-q∂ϕ∂x1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen t}} + q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittain x_ {i}}} = q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {i}} {\ osittain x_ {1}}} - q {\ frac {\ osittainen \ phi} {\ osittainen x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen t}} + q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittain x_ {i}}} = q \ summa _ {i = 1} ^ {3} {\ piste {x_ {i}}} {\ frac {\ osittainen A_ {i}} {\ osittain x_ {1}}} - q {\ frac {\ osittainen \ phi} {\ osittainen x_ {1}}}}

Yksinkertaistamalla se pysyy: md2x1dt2=-q∂AT1∂t-q∂ϕ∂x1+qx2˙(∂AT2∂x1-∂AT1∂x2)+qx3˙(∂AT3∂x1-∂AT1∂x3).{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ osittainen A_ {1}} { \ ositettu t}} - q {\ frac {\ osallinen \ phi} {\ osaa x_ {1}}} + q {\ piste {x_ {2}}} \ vasen ({\ frac {\ osaa A_ {2} } {\ partituali x_ {1}}} - {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen x_ {2}}} \ oikea) + q {\ piste {x_ {3}}} \ vasen ({ \ frac {\ osittainen A_ {3}} {\ osallinen x_ {1}}} - {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen x_ {3}}} \ oikea).}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ osittainen A_ {1}} { \ ositettu t}} - q {\ frac {\ osallinen \ phi} {\ osaa x_ {1}}} + q {\ piste {x_ {2}}} \ vasen ({\ frac {\ osaa A_ {2} } {\ partituali x_ {1}}} - {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen x_ {2}}} \ oikea) + q {\ piste {x_ {3}}} \ vasen ({ \ frac {\ osittainen A_ {3}} {\ osallinen x_ {1}}} - {\ frac {\ osittainen A_ {1}} {\ osittainen x_ {3}}} \ oikea).}

Kanssa ja myönnämme oikealla yhdenvertaisuuden ilmaus ensimmäinen komponentti Lorentzin voima.

\ vec B = \ vec \ nabla \ kertaa \ vec A

\ vec E = - \ frac {\ osittainen \ vec A} {\ osittainen t} - \ vec \ nabla \ phi

Esimerkkejä Lagrangian tiheydestä kvanttikenttäteoriassa

Diracin lagrangi

Dirac-kentän (sisään) Lagrangian tiheys on:

L=ψ¯(iℏvs.⧸D.-mvs.2)ψ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ vasen (i \, \ hbar \, c \ not \! Dm \, c ^ {2} \ right) \ psi}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ vasen (i \, \ hbar \, c \ not \! Dm \, c ^ {2} \ right) \ psi}

jossa on spinori , on sen Diracin sijainen , on covariant johdannainen mittari , ja on Feynmanin merkintätapa varten .

\ psi

\ bar \ psi = \ psi ^ \ tikari \ gamma ^ 0

D.

\ ei \! D

\ gamma ^ \ sigma D_ \ sigma

Kvanttielektrodynamiikan Lagrangian

Lagrangian tiheys QED: ssä on:

LQED.=ψ¯(iℏvs.⧸D.-mvs.2)ψ-14μ0FμvFμv{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ yli 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ yli 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

missä on sähkömagneettinen tensori .

F ^ {\ mu \ nu}

Kvanttikromodynamiikan Lagrangian

QCD : n Lagrangian-tiheys on:

LQVSD.=∑eiψ¯ei(iℏvs.⧸D.-meivs.2)ψei-14GaμvGaμv{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ summa _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ ei \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ yli 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ summa _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ ei \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ yli 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

jossa on covariant johdannainen mittari on QCD, ja on tensor on kentänvoimakkuus gluoni .

D.

G ^ \ alfa {} _ {\ mu \ nu}

Matemaattinen formalismi

Eli

erilaisia dimension , ja erilaisia määränpäähän . Antaa on joukko toimintoja ja on nimeltään kokoonpano tilaa .

M

ei

T

\ mathcal {C}

\ mathcal {C} ^ \ infty

M

T

Ensinnäkin annetaan esimerkkejä:

klassisen mekaniikka, ja Hamilton formalismissa , on jakotukki ulottuvuus 1 , joka edustaa aikaa, ja kohde tila on kotangentin

nippu tilan yleisen tehtävissä;

M

\ mathbb {R}

on kenttäteoriassa avaruus-aika-jakotukki ja kohdetila on joukko kenttien mahdollisia arvoja kussakin kohdassa. Jos esimerkiksi on

todellisia skalaarikenttiä φ 1 , ..., φ m , niin kohdesarja on . Jos meillä on todellisten vektorien kenttä, kohdesarja on isomorfinen kohtaan . On itse asiassa tyylikkäämpi tapa käyttää tangenttipakettia, mutta pidämme kiinni tästä versiosta.

M

m

\ R ^ m

\ mathbb {R} ^ {n}

Oletetaan, että nyt on toiminnallinen , nimeltään fyysinen toiminta. Tämä on sovellus , ei fyysisiin syihin. ${\ displaystyle S: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$

Tarvitsemme lisärajoituksia, jotta toiminta olisi paikallista. Jos määräämme, että

S [ φ ] on integraali M : n funktiosta φ, sen johdannaisista ja positioista, joita kutsumme lagrangilaisiksi . Toisin sanoen,

\ varphi \ sisään \ mathcal {C},

{\ mathcal {L}} (\ varphi, \ osittainen \ varphi, \ osaa ^ {2} \ varphi, \ pistettä, x)

∀φ∈VS,S[φ]≡∫MdeixL(φ(x),∂φ(x),∂2φ(x),...,x).{\ displaystyle \ forall \ varphi \ muodossa {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ osittainen \ varphi (x), \ osittainen ^ {2} \ varphi (x), \ piste, x).} ${\ displaystyle \ forall \ varphi \ muodossa {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ osittainen \ varphi (x), \ osittainen ^ {2} \ varphi (x), \ piste, x).}$

Suurimman osan ajasta vaaditaan, että Lagrangian riippuu vain kenttien arvosta, ensin niiden johdannaisista, mutta ei korkeamman asteen johdannaisista. Se on itse asiassa vain mukavuuden vuoksi, eikä se ole totta yleensä. Oletamme, että tämän artikkelin loppuosassa.

Korjataan rajaedellytykset , lähinnä data: n tiedot rajoilla, jos M on kompakti , tai limit : n

raja , kun x pyrkii äärettömään (mikä on käytännöllistä osien integroinnin aikana). Funktioiden The alatila siten, että kaikki toiminnon S funktionaaliset johdannaiset φ: ssä ovat 0 ja että φ täyttää rajaedellytykset, on fyysisten ratkaisujen tila.

\ mathcal {C}

Ratkaisu saadaan Euler-Lagrange-yhtälöillä (käyttämällä rajaehtoja):

55φS=-∂μ(∂L∂(∂μφ))+∂L∂φ=0.{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osallinen (\ osittainen _ {\ mu} \ varphi)}} \ oikea) + {\ frac {\ partitu {\ mathcal {L}}} {\ partituali \ varphi}} = 0.} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ osittainen _ {\ mu} \ vasen ({\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osallinen (\ osittainen _ {\ mu} \ varphi)}} \ oikea) + {\ frac {\ partitu {\ mathcal {L}}} {\ partituali \ varphi}} = 0.}$

Löydämme funktionaalisen johdannaisen vasemman puolen toiminnasta φ verrattuna.

Huomautuksia ja viitteitä

(en) http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html .
(in) [PDF] http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf .
(in) [PDF] " http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf " ( Arkisto • Wikiwix • Archive.is • Google • Mitä tehdä tehdä? ) .

Katso myös

Bibliografia

Francis Halbwachs ja Jean-Marie Souriau , "Analyyttinen mekaniikka", Encyclopedia Universalis , 1989, t. 14 , s. 764-767

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Hamiltonin mekaniikka
Noetherin lause (fysiikka)
Toiminta (fyysinen)
Vähiten toimien periaate
Hamiltonin operaattori : Lagrangian operaattorin Legendre-muunnos
Hamiltonin kenttäteoriassa