Newtonin potentiaali
Potentiaalin käsite on olennaisesti matemaattinen käsite. Sitä käytetään paitsi mekaniikassa myös monilla muilla tieteenaloilla, kuten fysiikassa, sähkössä tai termodynamiikassa.
Kutsumme Newtonin potentiaalia minkä tahansa skalaaripotentiaaliksi "at ".
1r{\ displaystyle {\ tfrac {1} {r}}}![{\ displaystyle {\ tfrac {1} {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc177c75043de5867200268f273b23f2796162fa)
Voiman perustyön analyyttinen ilmaisu
Tässä artikkelissa olemme toimittaneet tasolle tai avaruudelle ortonormaalin koordinaattijärjestelmän , jossa kaikki koordinaatit ilmaistaan. Jokaisella pisteellä y on tyypin (x, y, z) koordinaatit.
Olkoon F pisteeseen P (x, y, z) kohdistettu voima . Heijastetaan voima :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2b5875f3997034668b7b97ed82ae892697ba9b)
F→=(XYZ){\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4aa6accb7d5a8da2f5cf8d992523dd49fdf3cac)
.
Oletetaan, että P liikkuu äärettömän pienellä pituudella "dl", joka ulottuu "dx", "dy" ja "dz" kolmelle akselille.
Alkutyöskentely on yhtä suuri kuin:
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2b5875f3997034668b7b97ed82ae892697ba9b)
dW=Xdx+Ydy+Zdz{\ displaystyle \ mathrm {d} W = X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}![{\ displaystyle \ mathrm {d} W = X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f6dc2ee09c01a42e14b3f5b5bc2b6eaed241ab)
.
dW on ” koko ero ” on voiman funktio, joka me nimeämme .
U(x,y,z){\ displaystyle U (x, y, z)}![{\ displaystyle U (x, y, z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d33205b6fa847c6b5a62b9913c775ab9d31263d)
Työn kokonaismäärä P: stä P: hen on:
W=∫ss′Xdx+Ydy+Zdz{\ displaystyle W = \ int _ {p} ^ {p '} X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}![{\ displaystyle W = \ int _ {p} ^ {p '} X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1fb31db2725c8abea62a83a96b088c1f7955fc)
.
Voimakenttä
Voimakenttä on määritelty kun tiedetään sen kussakin pistettä arvo ja suunta käytetyn voiman:
F→=(XYZ)=(f(x,y,z)g(x,y,z)h(x,y,z)){\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} f (x, y, z) \\ g (x , y, z) \\ h (x, y, z) \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} f (x, y, z) \\ g (x , y, z) \\ h (x, y, z) \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab313053c975daafbc9c61a083b35b98226d67a)
.
Painovoiman tapauksessa voimajohdot ovat olennaisesti pystysuoria:
X=0, Y=0 ja Z=-mg{\ displaystyle X = 0, ~ Y = 0 {\ text {ja}} Z = -mg}![{\ displaystyle X = 0, ~ Y = 0 {\ text {ja}} Z = -mg}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62712b7d5aff416797bb30557b3ffd98957f368)
.
Voima- ja potentiaalitoiminto
Voimakentän juontuu voima toiminto :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
U(x,y,z){\ displaystyle U (x, y, z)}![{\ displaystyle U (x, y, z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d33205b6fa847c6b5a62b9913c775ab9d31263d)
Xdx+Ydy+Zdz=∂U∂xdx+∂U∂ydy+∂U∂zdz{\ displaystyle X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z = {\ frac {\ osittainen U} {\ osittainen x}} \ matrm {d} x + {\ frac {\ osittainen U} {\ osittainen y}} \ mathrm {d} y + {\ frac {\ osittainen U} {\ osittainen z}} \ matrm {d} z}![{\ displaystyle X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z = {\ frac {\ osittainen U} {\ osittainen x}} \ matrm {d} x + {\ frac {\ osittainen U} {\ osittainen y}} \ mathrm {d} y + {\ frac {\ osittainen U} {\ osittainen z}} \ matrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5dc60102de9abd2220b9bfe27b052568b65506)
.
Siksi päätellään voiman ennusteet kolmelle akselille :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2b5875f3997034668b7b97ed82ae892697ba9b)
X=∂U∂x,Y=∂U∂y,Z=∂U∂z{\ displaystyle X = {\ frac {\ osittainen U} {\ osallinen x}}, \ quad Y = {\ frac {\ osittainen U} {\ osallinen y}}, \ quad Z = {\ frac {\ osallinen U } {\ osittainen z}}}![{\ displaystyle X = {\ frac {\ osittainen U} {\ osallinen x}}, \ quad Y = {\ frac {\ osittainen U} {\ osallinen y}}, \ quad Z = {\ frac {\ osallinen U } {\ osittainen z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996bf05f7d8aec83efc0779ea2b496ac8590fd9b)
.
Voimakentän voimat johtuvat mahdollisesta funktiosta , joka on yhtä suuri kuin funktio , muuttunut merkki:
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
V(x,y,z){\ displaystyle V (x, y, z)}
U(x,y,z){\ displaystyle U (x, y, z)}![{\ displaystyle U (x, y, z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d33205b6fa847c6b5a62b9913c775ab9d31263d)
V(x,y,z)=-U(x,y,z){\ displaystyle V (x, y, z) = - U (x, y, z)}![{\ displaystyle V (x, y, z) = - U (x, y, z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d2a5a1dc44f34aa39850d2efb869d1517dca13)
.
Päätelmistä voidaan päätellä seuraava suhde :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2b5875f3997034668b7b97ed82ae892697ba9b)
X=-∂V∂x,Y=-∂V∂y,Z=-∂V∂z{\ displaystyle X = - {\ frac {\ osittainen V} {\ osallinen x}}, \ quad Y = - {\ frac {\ osittainen V} {\ osittainen y}}, \ quad Z = - {\ frac { \ osittainen V} {\ osittainen z}}}![{\ displaystyle X = - {\ frac {\ osittainen V} {\ osallinen x}}, \ quad Y = - {\ frac {\ osittainen V} {\ osittainen y}}, \ quad Z = - {\ frac { \ osittainen V} {\ osittainen z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc0a49d1cfd00725a0db5c739f13dbc2e60b21d)
.
Gravitaatiopotentiaali
Tiedämme Isaac Newtonin ilmoittaman universaalin vetovoiman lain, jossa voima vaihtelee käänteisesti etäisyyden neliön mukaan:
f=Gmm′r2{\ displaystyle f = G {\ frac {mm '} {r ^ {2}}}}![{\ displaystyle f = G {\ frac {mm '} {r ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4927c0ab6c7804a33feb4a664f8cbbb4ac3319)
.
Tarkastellaan kahta yksikköpainoa, yksi pisteessä O (0,0,0) ja toinen pisteessä P (x, y, z). Antaa olla kahden massan painopisteiden välinen etäisyys:
r{\ displaystyle r}![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
r=‖OP→‖=x2+y2+z2{\ displaystyle r = \ | {\ overrightarrow {OP}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}![{\ displaystyle r = \ | {\ overrightarrow {OP}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cda694129ef477c182e7f8f7717005da5f32410)
.
Osittaisderivaatat tätä toimintoa ovat:
∂r∂x=12x2+y2+z2.2x=xr{\ displaystyle {\ frac {\ partitu r} {\ partituali}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} } .2x = {\ frac {x} {r}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ partitu r} {\ partituali}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} } .2x = {\ frac {x} {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1936008bdefd1ede31246ee03d9342b779644859)
ja (samoin)
∂r∂y=yr,∂r∂z=zr{\ displaystyle {\ frac {\ partitu r} {\ osioinen y}} = {\ frac {y} {r}}, \ quad {\ frac {\ partisal} {\ partis z}} = {\ frac { z} {r}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ partitu r} {\ osioinen y}} = {\ frac {y} {r}}, \ quad {\ frac {\ partisal} {\ partis z}} = {\ frac { z} {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00e2e7d8b84bc300f2b8bab297db66804e15849)
.
Ne ovat siis:
U: =1r{\ displaystyle U: = {\ frac {1} {r}}}![{\ displaystyle U: = {\ frac {1} {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b8a3ed54e35cbdfd38f7821518f928fceb1aa5)
∂U∂x=dUdr∂r∂x=-1r2xr=-xr3{\ displaystyle {\ frac {\ partitali U} {\ partituali}} = {\ frac {\ matrm {d} U} {\ matrm {d} r}} {\ frac {\ osallinen r} {\ osallinen x }} = - {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {x} {r}} = - {\ frac {x} {r ^ {3}}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ partitali U} {\ partituali}} = {\ frac {\ matrm {d} U} {\ matrm {d} r}} {\ frac {\ osallinen r} {\ osallinen x }} = - {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {x} {r}} = - {\ frac {x} {r ^ {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8d4dac63713cb7c84dbb29b0602152775c4147)
ja (vastaavasti):
∂U∂y=-yr3,∂U∂z=-zr3{\ displaystyle {\ frac {\ partitali U} {\ partituali}} - - {\ frac {y} {r ^ {3}}}, quad {\ frac {\ osittainen U} {\ osallinen z}} = - {\ frac {z} {r ^ {3}}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ partitali U} {\ partituali}} - - {\ frac {y} {r ^ {3}}}, quad {\ frac {\ osittainen U} {\ osallinen z}} = - {\ frac {z} {r ^ {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f795c62e6edd8646195b3831e4b2b6ddbdf0a4b)
.
xr{\ displaystyle {\ frac {x} {r}}}
, Ja ovat kosinit kulmat, jotka muodostavat kolmen akselin ja on houkutteleva voima (miinus merkki, koska se on suunnattu kohti alkuperä ”O”).
yr{\ displaystyle {\ frac {y} {r}}}
zr{\ displaystyle {\ frac {z} {r}}}
OP→{\ displaystyle {\ ylisuuri {OP}}}
-1r2{\ displaystyle - {\ frac {1} {r ^ {2}}}}
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2b5875f3997034668b7b97ed82ae892697ba9b)
Laskemme toisen asteen osittaiset johdannaiset kirjoittamalla ensimmäiset johdannaiset tuotteen muodossa " ". Saamme näin:
∂U∂x=-x.r-3{\ displaystyle {\ frac {\ osioinen U} {\ osallinen x}} = - xr ^ {- 3}}
uv{\ displaystyle uv}![uv](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6b4c628431f1c0bdf17baf5b94d2f46caa4c5f)
∂2U∂x2=v∂u∂x.u∂v∂x=-1r3+3x2r5{\ displaystyle {\ frac {\ partisal ^ {2} U} {\ partituali x ^ {2}}} = v {\ frac {\ osittain u} {\ osaa x}}. u {\ frak {\ osaa v } {\ partic x}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3x ^ {2}} {r ^ {5}}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ partisal ^ {2} U} {\ partituali x ^ {2}}} = v {\ frac {\ osittain u} {\ osaa x}}. u {\ frak {\ osaa v } {\ partic x}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3x ^ {2}} {r ^ {5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7c15e9eb78c9616110641c2c6b33794ec99b7f)
ja (samoin)
∂2U∂y2=-1r3+3y2r5,∂2U∂z2=-1r3+3z2r5{\ displaystyle {\ frac {\ partisaalinen ^ {2} U} {\ osallinen y ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3y ^ {2 }} {r ^ {5}}}, \ quad {\ frac {\ osal ^ ^ {2} U} {\ osaa z ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}} } + {\ frac {3z ^ {2}} {r ^ {5}}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ partisaalinen ^ {2} U} {\ osallinen y ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3y ^ {2 }} {r ^ {5}}}, \ quad {\ frac {\ osal ^ ^ {2} U} {\ osaa z ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}} } + {\ frac {3z ^ {2}} {r ^ {5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3c19c2bd4baf4b253935f678f80016f68ff1b5)
.
Yhteenlaskemalla saamme vihdoin:
-3r3+3r5(x2+y2+z2)=-3r3+3r5r2=-3r3+3r3=0{\ displaystyle - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }) = - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} r ^ {2} = - {\ frac {3} {r ^ { 3}}} + {\ frac {3} {r ^ {3}}} = 0}![{\ displaystyle - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }) = - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} r ^ {2} = - {\ frac {3} {r ^ { 3}}} + {\ frac {3} {r ^ {3}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38d218a7b718a3945007f85596031cd9f5f5619)
ja löydämme Laplacen löytämän suhteen :
∂2U∂x2+∂2U∂y2+∂2U∂z2=0{\ displaystyle {\ frac {\ osal ^ ^ {2} U} {\ osaa x ^ {2}}} + {\ frac {\ osaa ^ {2} U} {\ osaa y ^ {2}}} + { \ frac {\ ositettu ^ {2} U} {\ osittainen z ^ {2}}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ osal ^ ^ {2} U} {\ osaa x ^ {2}}} + {\ frac {\ osaa ^ {2} U} {\ osaa y ^ {2}}} + { \ frac {\ ositettu ^ {2} U} {\ osittainen z ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae026f9a96360254b653d17241e36da901b8ed18)
,
yhtälö, jonka huomaamme kompaktilla tavalla
ΔU=0{\ displaystyle \ Delta U = 0}![{\ displaystyle \ Delta U = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc15afdcbd260089782229afb870e314bf021913)
.
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">