Yhteensopiva tappamisvektori

In Riemannin geometria , joka on conformal tappaminen vektori tai konforminen tappaminen vektori kenttä tai konforminen kenttä on vektori kenttä vastaa äärettömän pieni vaihtelu muodonmukaisen isotopy varten pseudoriemannian metrinen . Jaksollisten kiertoradojen puuttuessa metristä oikein valitun konformaalisen muunnoksen jälkeen vektorikentästä tulee Killing-vektorikenttä ; tämä voidaan tehdä ainakin paikallisesti. Ilman välttämättä tappamista, konformisella kentällä on samanlaiset ominaisuudet.

Tappovektorit ovat erityisen osallisina yleisessä suhteellisuudessa .

In symplectic geometria , aloilla laajenemisen ovat ekvivalentteja.

Määritelmä

Annetaan pseudoriemannian metrinen g on ero jakotukin M , joka on konformikuvaus ja M on diffeomorfismi sellainen, että missä f on ehdottomasti positiivinen toiminto. Metriikan sanotaan olevan g: n mukainen . Isometrinen Riemannin ovat erikoistapauksia yhteensopivia sovelluksia. Kaikki yhteensopivat sovellukset muodostavat alaryhmän M : n diffeomorfismiryhmästä . Oikeilla rakenteilla se on Lie-alaryhmä . ${\ displaystyle \ Phi: M \ oikeanpuoleinen nuoli M}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {*} g = fg}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {*} g}$

Määritämme konformaalisen tappovektorin vektorien X kentäksi, joiden virtaus koostuu konformisista kartoista. Tässä virtaus määritetään vain paikallisesti: X ei välttämättä ole täydellinen. Tämä ominaisuus vastaa sitä, että Lie-johdannainen on verrannollinen g: hen . Killing-vektorit ovat siis määritelmän mukaan konformaalisten isotooppien ensimmäisiä muunnelmia (konformaalisten sovellusten isotooppi). Tarkemmin sanottuna, jos on konforminen isotooppi, niin ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g}$ $g_t$

{\ displaystyle X_ {t} = {\ frac {dg_ {t}} {dt}} \ circ g_ {t} ^ {- 1}}

on tappovektoreiden kenttä todellisesta parametrista t riippuen . Yllä oleva identiteetti antaa yhdenmukaisen vastaavuuden konformaalisten isotooppien ja konformisten Killing-vektorikenttien välillä todellisesta parametrista riippuen.

Mukautuvien tappovektoreiden joukko on vakaa lisäämällä ja kertomalla funktioilla. Se muodostaa vektorikentätilan alamoduulin. Lie koukku kaksi mukaisella tappaminen vektorit on mukaisella Killing vektori. Siksi tappovektorien joukko muodostaa vektorikenttäalgebran Lie- alialgebran. Tätä Lie-alialibraa voidaan pitää Lie- ryhmän konformaalisten kartoitusten Lie-algebrana . Tällä ryhmällä on ääretön ulottuvuus. $(M, g)$

Yhtälö paikallisessa kartassa

Tappovektori ξ määritetään yhtälöllä

{\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} = 0}

missä D on muuttujaan liittyvä muuttujajohdannainen. Konformaalisen muunnoksen aikana metrinen g muunnetaan

{\ displaystyle g_ {ab} \ - {\ bar {g}} _ {ab} = \ Omega ^ {2} g_ {ab}}

missä Ω on ei-peruuttava toiminto. Näitä määritelmiä käyttämällä on mahdollista laskea Killing-yhtälön ekvivalentti, jota vektori ξ noudattaa, mutta käyttämällä uuteen metriikkaan liittyvää kovariaattijohdannaista . Täten löydämme ${\ displaystyle {\ bar {D}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {g}} _ {ab}}$

{\ displaystyle {\ bar {D}} _ {a} \ xi _ {b} + {\ bar {D}} _ {b} \ xi _ {a} = {\ frac {2} {n}} \ vasen ({\ palkki {D}} _ {c} \ xi ^ {c} \ oikea) g_ {ab}}

missä n on tarkasteltavan avaruuden ulottuvuus.

Esittely

Uuden mittarin perusteella on mahdollista laskea uudet Christoffel-symbolit , jotka on kirjoitettu: ${\ bar g}$

{\ displaystyle {\ bar {\ Gamma}} _ {ab} ^ {c} = \ Gamma _ {ab} ^ {c} + {\ frac {\ osittainen ^ {c} \ Omega} {\ Omega}} g_ {ab}}

Uusi Killing-yhtälö kirjoittaa sen vuoksi uudelleen

{\ displaystyle {\ bar {D}} _ {a} \ xi _ {b} + {\ bar {D}} _ {b} \ xi _ {a} = D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} + 2g_ {ab} {\ frac {D ^ {c} \ Omega} {\ Omega}} \ xi _ {c}}

Ottaen tämän yhtälön jäljet ja muistamalla, että Tappavan vektorin divergenssi on nolla, tulee

{\ displaystyle 2 {\ bar {D}} _ {c} \ xi ^ {c} = 0 + 2n {\ frac {D ^ {c} \ Omega} {\ Omega}} \ xi _ {c}}

Uuden Killing-yhtälön oikea puoli voidaan näin muuttaa

{\ displaystyle {\ bar {D}} _ {a} \ xi _ {b} + {\ bar {D}} _ {b} \ xi _ {a} = {\ frac {2} {n}} \ vasen ({\ palkki {D}} _ {c} \ xi ^ {c} \ oikea) g_ {ab}}

Omaisuus

Jos v ja w ovat kaksi vektoria, jotka ovat tangentteja p: ssä ja kohtisuorassa aiemmin syötetylle metriikalle g , meillä on kaikilla mukautuvien tappovektorien kentillä

{\ displaystyle g (\ nabla _ {v} X, w) + g (v, \ nabla _ {w} X) = 0}

Jos X on tappovektorien kenttä, edeltävä identiteetti pysyy yleisesti totta kaikille vektorille v ja w tangentille p .

Selitykset Itse asiassa, meillä on oikeus huomioon kaksi vektori kentät V ja W vastaavasti yhtä kuin v ja w on p . Koska Levi-Civita-yhteys on määritelmän mukaan metrinen, voidaan g: n ( V , W ) johdannainen X : n suunnassa kirjoittaa:

{\ displaystyle X \ cdot g (V, W) = g (\ nabla _ {X} V, W) + g (V, \ nabla _ {X} W)}

. Tämän johdannaisen laskenta voidaan saada käyttämällä Lie-johdannaista . Koska yhteys on vääntymätön, löydämme:

{\ displaystyle X \ cdot g (V, W) = {\ mathcal {L}} _ {X} g (V, W) + g (\ nabla _ {X} V- \ nabla _ {V} X, W ) + g (\ nabla _ {X} W- \ nabla _ {W} X, V)}

Yhdistämällä edellä mainitut kaksi identiteettiä saamme:

{\ displaystyle g (\ nabla _ {V} X, W) + g (V, \ nabla _ {W} X) = {\ mathcal {L}} _ {X} g (V, W)}

Tätä identiteettiä voidaan arvioida kohdassa p . Koska X on konforminen tappaminen vektori, on propostional ja g s . Vektorit v ja w, jotka ovat ortogonaalisia g: lle , ovat: ja siksi:

{\ displaystyle \ left [{\ mathcal {L}} _ {X} g \ right] _ {p}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g (v, w) = 0}

{\ displaystyle g (\ nabla _ {v} X, w) + g (v, \ nabla _ {w} X) = 0}

Erityisesti, jos v on isotrooppinen vektori , v on itselleen kohtisuora. Millä tahansa X- yhteensopivalla Killing-vektorikentällä meillä on: ${\ displaystyle g (v, v) = 0}$

{\ displaystyle g (v, v) = 0 \ Rightarrow g (\ nabla _ {v} X, v) = 0}

Erityisesti jos c on isotrooppinen nopeusvektori geodeettinen, niin X: n skalaaritulos nopeusvektorin kanssa on vakio:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} g (X (c (t)), c '(t)) = g (\ nabla _ {c' (t)} X, c '(t)) + g (X, \ nabla _ {c '(t)} c' (t)) = 0 + g (X, 0) = 0}

Tämä suojeluominaisuus puuttuu erityisesti Lorentzian geometriaan valotyypin geodeettisen kohtelun suhteen.

Tässä on toinen tapa saada se käyttämällä vastaavien Killing-vektorikenttien ilmaisua paikallisissa kateissa. Jos merkitsemme metriikkaan liittyvän geodeettisen tangenttivektorin , saadaan supistamalla yhtälö, jonka tappavat vektorit noudattavat , ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {a}}$ ${\ bar g}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {a} {\ bar {u}} ^ {b}}$

{\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {a} {\ bar {D}} _ {a} \ vasen ({\ bar {u}} ^ {b} \ xi _ {b} \ right) = { \ frac {1} {n}} \ vasen ({\ bar {D}} ^ {c} \ xi _ {c} \ right) {\ bar {u}} ^ {d} {\ bar {u}} _ {d}}

Aikatyyppisen geodeesin tapauksessa normi on nollasta poikkeava eikä määrää yleensä säilytetä. Toisaalta, jos kyseessä on valotyyppinen geodeettinen, missä , niin määrä on säilynyt. ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {d} {\ bar {u}} _ {d}}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {b} \ xi _ {b}}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {d} {\ bar {u}} _ {d} = 0}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {b} \ xi _ {b}}$

Katso myös

Tappavan yhtälön vaatimustenmukaisuus (in)
Tappava vektori
Yhteensopiva muutos

Viite

(en) Robert M. Wald , yleinen suhteellisuusteoria , University of Chicago Press ,1984, 498 Sivumäärä ( ISBN 0226870332 ), sivut 443 ja 444.