Koherentti rengas

Koherentin renkaan käsite on heikompi kuin Noetherian rengas . Koherenttisilla renkailla on kuitenkin merkittäviä ominaisuuksia, jotka voidaan tiivistää sanomalla, että tällaisissa renkaissa rajallisen esityksen moduulit muodostavat moduuliluokan täydellisen abelilaisen alaluokan (kun taas Noetherian-renkaassa tämä pätee myös valmiisiin tyyppimoduuleihin). Määritämme myös käsitteen koherentista  renkaiden nippusta (in) topologisessa tilassa.

Koherentit renkaat

Määritelmät

• Antaa olla renkaan ja -moduulista. On vapaa moduuleja ja joita varten on olemassa tarkka sekvenssiR{\ displaystyle R}M{\ displaystyle M}R{\ displaystyle R}L1{\ displaystyle L_ {1}}L0{\ displaystyle L_ {0}}

L1⟶L0⟶M⟶0{\ displaystyle L_ {1} \ longrightarrow L_ {0} \ longrightarrow M \ longrightarrow 0}

jota kutsutaan esitys on . Moduuli on äärellisen tyyppinen, jos se on äärellistä tyyppiä, ja sen sanotaan olevan äärellisen esityksen, jos ja molemmat ovat äärellisiä. M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}L0{\ displaystyle L_ {0}}L0{\ displaystyle L_ {0}}L1{\ displaystyle L_ {1}}

• A- moduulin sanotaan olevan koherentti, jos se on äärellisen tyyppinen ja jos mikä tahansa sen äärellisen tyyppinen alimoduuli on äärellinen.R{\ displaystyle R}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}

• Renkaan sanotaan olevan koherentti vasemmalla, jos mikä tahansa äärellisen tyypin vasemmalla puolella oleva ideaali on äärellinen. Määritämme samalla tavalla koherentti rengas oikealla, ja koherentti rengas on koherentti rengas vasemmalla, joka on johdonmukainen oikealla.R{\ displaystyle R}R{\ displaystyle R}

• Esimerkiksi polynomien rengas, jolla on ääretön määrä epämääräisiä määriä kertoimilla Noetherian kommutatiivisessa renkaassa, on koherentti, mutta ei Noetherian.

Ominaisuudet

Joko rengas. R{\ displaystyle R}

• Antaa -moduulista vasemmalla. Seuraavat ehdot vastaavat:M{\ displaystyle M}R{\ displaystyle R}

1. M{\ displaystyle M} on johdonmukainen vasemmalla.
2. M{\ displaystyle M}on äärellisen tyyppinen ja minkä tahansa kokonaisluvun vasemmalla olevan moduulien minkä tahansa homomorfismin ydin on äärellisen tyyppinen.ei≥0{\ displaystyle n \ geq 0}R{\ displaystyle R}Rei⟶M{\ displaystyle R ^ {n} \ longrightarrow M}
3. M{\ displaystyle M}on äärellisen tyyppinen ja minkä tahansa moduulin vasemmalla puolella äärellisen tyyppinen, minkä tahansa homomorfismin tapauksessa se on äärellistä tyyppiä.R{\ displaystyle R}EI{\ displaystyle N}f:EI→M{\ displaystyle f: N \ oikeanpuoleinen nuoli M}ker⁡(f){\ displaystyle \ ker (f)}

• Lisäksi seuraavat ehdot ovat vastaavia:

1. R{\ displaystyle R} on johdonmukainen vasemmalla.
2. Mikä tahansa äärellisen tyyppinen vasemman vapaan moduulin äärellisen tyyppinen alamoduuli on äärellinen.R{\ displaystyle R}
3. Kaikki- moduuli äärellisen esityksen vasemmalla puolella on johdonmukainen.R{\ displaystyle R}
4. Minkä tahansa kokonaisluvun vasemmalla olevan moduulien minkä tahansa homomorfismin ydin on äärellisen tyyppinen.ei{\ displaystyle n}R{\ displaystyle R}Rei⟶R{\ displaystyle R ^ {n} \ longrightarrow R}

• Noetherian rengas vasemmalla on tasainen vasemmalla.

Yhtenäiset Sylvester-renkaat

• Joko Ore rengas . Tämä rengas on oikea koherentti Sylvester-rengas vain ja vain, jos minkä tahansa äärellisen rivimatriisin (tai minkä tahansa matriisin) oikea elementti on vapaalla.R{\ displaystyle R}R{\ displaystyle R}

• Esimerkiksi oikealla oleva Bezout-rengas on tasainen Sylvester-rengas oikealla.

• Kommutatiivinen Sylvester-rengas on johdonmukainen vain ja vain, jos se on gcd-rengas .R{\ displaystyle R}R{\ displaystyle R}

• Antaa olla avoin yksinkertaisesti kytketty monimutkainen taso. Rajattavien analyyttisten toimintojen Hardy- rengas on koherentti Sylvester-rengas, joka ei ole Bezout-rengas.D.{\ displaystyle D} H∞(D.){\ displaystyle H ^ {\ infty} \ vasen (D \ oikea)}D.{\ displaystyle D}

Yleistyminen Grothendieck-luokissa

Luokat Grothendieckiltä

Kutsumme Grothendieck- luokkaa abeliluokaksi, joka sallii mielivaltaiset sivutuotteet, jolla on generaattoriperhe ja joka täyttää ehdon AB5): if on objektin kohde , jos on subobjekti ja jos kasvava sub-suodatinperhe -objektit sitten VS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}(Gi)i∈Minä{\ displaystyle \ left (G_ {i} \ right) _ {i \ in I}}AT{\ displaystyle A}VS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}AT′{\ displaystyle A '}AT{\ displaystyle A}(ATi)i∈Minä{\ displaystyle \ vasen (A_ {i} \ oikea) _ {i \ sisään I}}AT{\ displaystyle A}

⋃i∈Minä(AT′∩ATi)=AT′∩(⋃i∈MinäATi){\ displaystyle \ bigcup \ nolimits _ {i \ in I} \ left (A ^ {\ prime} \ cap A_ {i} \ right) = A ^ {\ prime} \ cap \ left (\ bigcup \ nolimits _ { i \ sisään I} A_ {i} \ oikea)}.

Esimerkkejä

• Renkaan vasemmalla puolella olevien moduulien luokka on Grothendieck-luokka, jossa moduuli on generaattori .RMod{\ displaystyle _ {R} Mod}R{\ displaystyle R}RR{\ displaystyle _ {R} R}

• Antaa olla topologinen avaruus, nippu renkaita ja luokkaan niput on -modules on jäljellä . Tämä luokka on Grothendieck-luokka. Generaattoriperhe koostuu indusoiduista palkeista, joissa kuvataan aukkojen joukko .X{\ displaystyle X}OX{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}X{\ displaystyle X}OXMod{\ displaystyle _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} \ mathbf {Mod}}OX{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}X{\ displaystyle X}OXMod{\ displaystyle _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} \ mathbf {Mod}}OXMod{\ displaystyle _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} \ mathbf {Mod}}OX|U{\ displaystyle \ left. {\ mathcal {O}} _ {X} \ right \ vert U}U{\ displaystyle U}X{\ displaystyle X}

Koherentit esineet

• Antaa olla luokka Grothendieck. Kohde on sanotaan olevan rajallinen tyyppiä , ja jos jonkin lisätä suodatin perhe on sellainen, että on olemassa indeksin , josta . Kohde on sanotaan olevan yhtenäinen , jos se on rajallinen tyyppi ja jos jostain morfismi , jossa on äärellinen tyyppiä, on rajallinen tyyppiä.VS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}AT{\ displaystyle A}VS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}(ATi)i∈Minä{\ displaystyle \ vasen (A_ {i} \ oikea) _ {i \ sisään I}}AT{\ displaystyle A}⋃i∈MinäATi=AT{\ displaystyle \ bigcup \ nolimits _ {i \ in I} A_ {i} = A}j{\ displaystyle j}ATi=AT{\ displaystyle A_ {i} = A}AT{\ displaystyle A}VS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}f:B→AT{\ displaystyle f: B \ oikeanpuoleinen nuoli A}B{\ displaystyle B}ker⁡(f){\ displaystyle \ ker (f)}

• Olkoon Grothendieck-luokan generaattorina objekti jaVS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}G{\ displaystyle G}

0⟶AT′⟶AT⟶AT′′⟶0{\ displaystyle 0 \ longrightarrow A ^ {\ prime} \ longrightarrow A \ longrightarrow A ^ {\ prime \ prime} \ longrightarrow 0}

tarkka lyhyt jakso . Jos kaksi objektia tässä sarjassa ovat yhdenmukaisia, sama pätee myös kolmanteen. Lisäksi esine on äärellisen tyyppinen, jos ja vain, jos siinä on tarkka sekvenssi VS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}AT{\ displaystyle A}

∐i∈JGi⟶AT⟶0{\ displaystyle \ coprod \ nolimits _ {i \ in J} G_ {i} \ longrightarrow A \ longrightarrow 0}

missä on rajallinen joukko indeksejä, ja se on johdonmukainen, jos ja vain, jos se on äärellistä tyyppiä ja missä tahansa morfismissa , missä on äärellinen, on olemassa tarkka sekvenssi J⊂Minä{\ displaystyle J \ osajoukko I}AT{\ displaystyle A}∐i∈JGi⟶AT{\ displaystyle \ coprod \ nolimits _ {i \ in J} G_ {i} \ longrightarrow A}J⊂Minä{\ displaystyle J \ osajoukko I}

∐i∈KGi⟶∐i∈JGi⟶AT⟶0{\ displaystyle \ coprod \ nolimits _ {i \ in K} G_ {i} \ longrightarrow \ coprod \ nolimits _ {i \ in J} G_ {i} \ longrightarrow A \ longrightarrow 0}

missä se on valmis. K⊂Minä{\ displaystyle K \ osajoukko I}

Kaikkien koherenttien esineiden muodostama alaluokka , joka on merkitty , on abelilainen ja injektio on tarkka. VS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}VSohVS{\ displaystyle Coh {\ mathfrak {C}}}VSohVS⟶VS{\ displaystyle Coh {\ mathfrak {C}} \ longrightarrow {\ mathfrak {C}}}

Esimerkkejä

• Luokassa äärellisen tyyppiset objektit (koherentit) ovat äärellisen tyypin moduulit (koherentit).RMod{\ displaystyle _ {R} Mod}

• Luokassa äärellisen tyyppiset objektit (koherentit) ovat äärellisen tyyppisiä moduuleja (koherentit).OXMod{\ displaystyle _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} \ mathbf {Mod}}OX{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}

Koherentit renkaat

• Nippu renkaat sanotaan olevan johdonmukainen vasemmalla, jos missä tahansa avoimessa ja kaikki Homomorfismi ja -modules vasemmalla, ytimen tämä Homomorfismi on rajallinen tyyppiä.OX{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}U⊂X{\ displaystyle U \ osajoukko X}OXei|U⟶OX|U{\ displaystyle \ left. {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {n} \ right \ vert U \ longrightarrow \ left. {\ mathcal {O}} _ {X} \ right \ vert U}OX|U{\ displaystyle \ left. {\ mathcal {O}} _ {X} \ right \ vert U}

• Sitten meillä on seuraava tulos: nippu koherentteja renkaita vasemmalla. Sillä nippu -modules vasemmalla oltava johdonmukainen, se on välttämätöntä ja riittävää, että paikallisesti, se on isomorfinen cokernel of homomorfismi on -modules vasemmalla , eli missä tahansa avoimessa ei-tyhjä ja on olemassa tarkka järjestysOX{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}OX{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}OX{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}OXq⟶OXs{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {q} \ longrightarrow {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {p}}U{\ displaystyle U}X{\ displaystyle X}

OXq(U)|U⟶OXs(U)|U→F|U⟶0{\ displaystyle \ left. {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {q (U)} \ right \ vert U \ longrightarrow \ left. {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {p (U )} \ right \ vert U \ rightarrow \ left. {\ mathcal {F}} \ right \ vert U \ longrightarrow 0}.

Huomautuksia ja viitteitä

Huomautuksia

1. Bourbaki 2007
2. Cohn 1985 , s. 554
3. Bourbaki 2006 , kohta I.2, harjoitus 12 (f)
4. Bourlès ja Marinescu 2011 , Lem. 508
5. Katso muita vastaavia ehtoja Bourbaki 2006 , kohta 1.2, harjoitus 12
6. Dicks ja Sontag 1978 , Thm. 10
7. Dicks 1983 , Lem. 4.1
8. Quadrat 2003 , Cor. 3.31
9. Grothendieck 1957 , kohta 1.5
10. Grothendieck 1957 , Prop. 3.1.1
11. Grothendieck ja Dieudonné 1960 , (3.1.5)
12. Roos 1969 , osasto. 2, Def. 1
13. Oberst 1970 , luku. Minä
14. Grothendieck ja Dieudonné 1960 , §5
15. Kasvihuone 1955 , §2, ehdotus 7

Viitteet

• N. Bourbaki , Algebra, luku 10: homologinen algebra , Springer,2007, 216  Sivumäärä ( ISBN  978-3-540-34492-6 )
• N. Bourbaki , kommutatiivinen algebra, luvut 1–4 , Springer,2006, 364  Sivumäärä ( ISBN  354033937X )
• (en) Henri Bourlès ja Bogdan Marinescu , lineaariset aika-vaihtelevat järjestelmät: algebrallinen-analyyttinen lähestymistapa , Springer ,2011, 638  Sivumäärä ( ISBN  978-3-642-19726-0 , online-esitys )
• (en) Paul Moritz Cohn , Free Rings and their Relations (2. painos) , Academic Press,1985, 595  Sivumäärä ( ISBN  0121791521 )
• (en) Warren Dicks , "  Bézout-verkkotunnusten vapaat algebrat ovat Sylvester-verkkotunnuksia  " , Journal of Pure and Applied Algebra , voi.  27,1983, s.  15-28
• (in) Warren munat ja Eduardo D. Sontag , "  Sylvester Domains  " , Journal of Pure and Applied Algebra , Voi.  13,1978, s.  243-275 ( lue verkossa )
• Alexandre Grothendieck , ”  On some points of homological algebra I  ”, Tohoku Mathematical Journal , voi.  9,1957, s.  119-184 ( lue verkossa )
• Alexandre Grothendieck , ”  On some points of homological algebra II  ”, Tohoku Mathematical Journal , voi.  9,1957, s.  185-221 ( lue verkossa )
• Alexander Grothendieck ja Jean Dieudonné , "  Algebrallisen geometrian elementit: I. Kaavioiden kieli  ", Publications Mathematics of IHÉS ,1960, s.  5-228 ( lue verkossa )
• (en) John C. McConnell ja James C. Robson , Noncommutative Noetherian Rings , American Mathematical Society,2001, 636  Sivumäärä ( ISBN  0821821695 , lue verkossa )
• (en) Ulrich Oberst , "  Dual Theory for Grothendieck Categories and Linearly Compact Rings  " , Journal of Algebra , voi.  15, n °  4,1970, s.  473-542 ( lue verkossa )
• (en) Alban Quadrat , "  Murtolukuesitys lähestymistapa synteesiongelmiin: algebrallinen analyysinäkymä. Osa I: (heikosti) kaksinkertainen sopeutumiskerroin  ” , SIAM J.Control Optim. , voi.  42, n o  1,2003, s.  266-299
• (en) Jan-Erik Roos , ”  Paikallisesti noeerialaiset luokat ja yleisesti tiukasti lineaariset kompaktirenkaat. Sovellukset  ” , Luokkateoria, Homologiateoria ja niiden sovellukset II, Springer Verlag, Luentotiedot matematiikassa Vol. 92 ,1969, s.  197-277 ( lue verkossa )
• Jean-Pierre Serre , "  Koherentit algebralaiset pyörät  ", Annals of Mathematics , voi.  61, n °  21955, s.  197-278 ( lue verkossa )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">