Boussinesq-likiarvo
Boussinesqin approksimaatio on nesteen mekaniikka tarkoittaa approksimaatio Navier-Stokesin yhtälöt varten kokoonpuristumattomalla vapaa pinta virtaa, jossa on pystysuora tiheysgradienttia tuloksena ilman hydrostaattisen tasapainon . Tämän tyyppisen menetelmän otti käyttöön vuonna 1877 Joseph Boussinesq , Lillen yliopiston ja Pohjoisen teollisuusinstituutin ( École centrale de Lille ) mekaniikan professori .
Tämä likiarvo on perusta monille kehityksille, esimerkiksi nopeasti vaihteleville virtauksille (esimerkiksi kanavan vuoto), valtameren kiertoon ja aalto-ongelmiin meren pinnalla, kun se on kerrostunut, tiettyihin merenpinnan liikkeisiin. Ilmakehään, joka liittyy lämpötilan vaihteluun, kuten katabaattiset tuulet ja vapaat konvektio-ongelmat.
Ongelmat, joissa hydrostaattinen tasapaino säilyy (virtaa matalassa vedessä), kuuluvat Barré de Saint-Venantin yhtälöiden piiriin .
Navier-Stokes-yhtälöt vaihtelevalle tiheydelle
Oletetaan, että väliaineella on pieniä vaihteluja lämpötilassa T. Tämän seurauksena tiheyden ρ vaihtelut nimellisarvon ρ 0 ympärillä ovat myös pienet. Lisäksi massan lämpökapasiteetit vakiotilavuudella C V ja vakiopaineessa Cp voidaan sekoittaa ja näiden arvojen voidaan olettaa olevan riippumattomia lämpötilasta sekä lämmönjohtavuudesta.
Näillä oletuksilla kirjoitetaan Navier-Stokes-yhtälöt
D.ρD.t+ρ∇⋅V=0{\ displaystyle {\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}ρD.VD.t=-∇s+μ∇2V+ρg{\ displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {V}} {Dt}} = - \ mathbf {\ nabla} p + \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} + \ rho \ mathbf {g }}∂T∂t+V⋅∇T+β∇2T=0,β=λρVSs{\ displaystyle {\ dfrac {\ osittainen T} {\ osittainen t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} T + \ beta \, \ nabla ^ {2} T = 0 \ ,, \ ; \; \; \; \; \ beta = {\ frac {\ lambda} {\ rho C_ {p}}}}missä p on paine, μ nesteen dynaaminen viskositeetti , V nopeus, g painovoima, λ lämmönjohtavuus ja β lämpöhajonta .
Esittely
Säilyttäminen yhtälö sisäisen massa energian e on kirjoitettu kokoonpuristumaton virtauksen
ρ∂e∂t+ρV⋅∇e=-∇⋅(λ∇T){\ displaystyle \ rho {\ dfrac {\ osittainen e} {\ osittainen t}} + \ rho \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} e = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ lambda \ nabla T)}- Ominaislämpö C V = C p on vakio
∂e∂t=VSs∂T∂t{\ displaystyle {\ dfrac {\ partitali} {\ partitu t}} = C_ {p} {\ dfrac {\ osittainen T} {\ osittainen t}}}ja
V⋅∇e=VSsV⋅∇T{\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} e = C_ {p} \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} T}∇⋅(λ∇T)=λ∇2T{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ lambda \ nabla T) = \ lambda \ nabla ^ {2} T}
Boussinesq-likiarvo
Jatkuvuusyhtälö
Oletetaan minkä tahansa ilmiön aiheuttama tiheyden vaihtelu δρ
ρ=ρ0+5ρ{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} + \ delta \ rho}Jatkuvuusyhtälöstä tulee
0=D.D.t(ρ0+5ρ)+(ρ0+5ρ)∇⋅V=D.D.t5ρ+5ρ∇⋅V⏟=0+ρ0∇⋅V{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} 0 & = & {\ frac {D} {Dt}} (\ rho _ {0} + \ delta \ rho) + (\ rho _ {0} + \ delta \ rho) \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} \\ [0.6em] & = & \ alaosa {{\ frac {D} {Dt}} \ delta \ rho + \ delta \ rho \, \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V}} _ {= 0} + \ rho _ {0} \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} \ end {array}}}joko, kuten väliaineelle, jolla on vakiotiheys
∇⋅V=0{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}
Momentumin yhtälö
Momenttiyhtälölle oletetaan pieni tiheyden vaihtelu
|5ρ|<<ρ0{\ displaystyle | \ delta \ rho | << \ rho _ {0}}niin
ρ0D.VD.t=-∇s+μ∇2V+ρg{\ displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {D \ mathbf {V}} {Dt}} = - \ mathbf {\ nabla} p + \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} + \ rho \ mathbf {g}}Lisäksi g saadaan potentiaalista (esimerkiksi Φ = gz laboratoriossa)
g=-∇ϕ{\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ phi}siksi
-∇s+ρg=-∇(s+ρ0ϕ)+g5ρ{\ displaystyle - \ nabla p + \ rho \ mathbf {g} = - \ nabla (p + \ rho _ {0} \ phi) + \ mathbf {g} \ delta \ rho}Tiheyden vaihtelu itsessään liittyy lämpötilan vaihteluun
5ρ=-aρ05T{\ displaystyle \ delta \ rho = - \ alpha \ rho _ {0} \ delta T}missä α on lämpölaajenemiskerroin . Joko viimein
ρ0D.VD.t=-∇(s+ρ0ϕ)+μ∇2V+ρ0f{\ displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {D \ mathbf {V}} {Dt}} = - \ nabla (p + \ rho _ {0} \ phi) + \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} + \ rho _ {0} \ mathbf {f}}missä otimme käyttöön kelluvuuden
f=-ga5T{\ displaystyle \ mathbf {f} = - \ mathbf {g} \ alpha \, \ delta T}
Energiayhtälö
Me kirjoitamme
T=T0+5T{\ displaystyle T = T_ {0} + \ delta T}Tämä lauseke sisältyy energiayhtälöön
∂T0∂t+V⋅∇T0+β∇2T0⏟=0+∂5T∂t+V⋅∇5T+β∇25T=0{\ displaystyle \ underbrace {{\ dfrac {\ osittainen T_ {0}} {\ ositettu t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} T_ {0} + \ beta \, \ nabla ^ { 2} T_ {0}} _ {= 0} + {\ dfrac {\ osittainen \ delta T} {\ osittainen t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ delta T + \ beta \ , \ nabla ^ {2} \ delta T = 0}Joten yhtälö lämpötilan vaihtelusta on identtinen itse lämpötilan kanssa.
Viitteet
-
J. Boussinesq , " Essee juoksevien vesien teoriasta ", Proceedings of the Academy of Sciences , voi. 23,1877, s. 1-680 ( lue verkossa )
-
(in) Oscar Castro-Orgaz ja Willi H. Hager, ei-hydrostaattiset vapaat pintavirrat , kinkku, springer ,2017, 690 Sivumäärä ( ISBN 978-3-319-47969-9 , ilmoitus BnF n o FRBNF45566508 , lue verkossa )
-
(in) Geoffrey K. Vallis, ilmakehän ja Oceanic Fluid Dynamics , Cambridge University Press ,2017( ISBN 978-1-1075-8841-7 )
-
(in) DJ Tritton Fyysinen Fluid Dynamics , Clarendon Press ,1988( ISBN 978-0-19-854493-7 )
Katso myös
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">